1、第 7 章 代数系统,代数系统的概念； 运算的性质； 运算的特殊元素； 同态与同构,运算的性质； 运算的特殊元素； 代数系统的同态与同构。,同态与同构,7.1 运算,整数：存储方式，值的范围，可用运算,7.1.1 引言,C语言中的不同的数据类型？,整数的取反运算-：F-：ZZ，且：F-（x）=-x;,整数的加运算+：F+：ZZZ，且：F+ (）=x+y;,结论：运算是函数的另一种表示形式：A到A的函数是一元运算;AA到A的函数是二元运算；AAA到A的函数是三元运算。Ak=AAA AA到A的函数是k元运算。,7.1 运算,7.1.2 运算,1)集合A上的k元运算集合Ak到集合A 上的函数。,显然
2、，k=1和2时就是所谓的一元运算和二元运算。,2)说明,作为函数的另一种形式，运算通常写成新的表示形式，即表达式形式，如：- ()=x-y x-y,以后的讨论以二元运算为主，涉及的运算多为广义的运算，比如出现运算符*并不代表普通的乘法运算（除非特别申请）。,普通的除法，是定义在何集合上的？,7.1 运算,7.1.2 运算,3)几个术语,运算表表示函数运算关系的表,7.1 运算,7.1.2 运算,3)几个术语,运算封闭性,y,x,z,y,x,z=x*y,作为运算（函数）z自然应该在A中，但当x,y取自A的子集B时，Z是否也在B中？,7.1 运算,7.1.2 运算,3)几个术语,运算封闭性,y,x
3、,z=x*y,示例1：R中的普通加法(+)，对其子集N,示例2：R中的普通减法(-)，对其子集Z,示例3：R中的普通除法(/)，对其子集Z,示例4：R中的普通取反(单目-)，对其子集N,7.1 运算,7.1.2 运算,3)几个术语,- 对于A上的2元运算*，若对于A的子集B，任意的x,yB,有x*yB，则称运算*在B中的封闭的。,如，R中的普通减法运算，在整数集合Z中是？,R的普通减法运算，在N中？,R*的普通除法运算，在Z中？,R的普通加法运算，在x|x的某次幂可被16整除中？,R的普通加法运算，在x|x与5互质中？,R的普通加法运算，在x|x是30的因子中？,R的普通加法运算，在x|x是3
4、0的倍数中？,运算封闭性,7.1 运算,7.1.2 运算的性质,交换律设为S上的二元运算，若有x,yS，都有 xoy=yox，则称运算是可交换的（运算满足交换律）。,如，R上普通的加，乘法满足交换律，而减，除法不满足交换律。,满足交换律的运算运算表的特点：？,满足交换律的运算（特殊的二元关系）是否就是对称关系？,z=xoy=o() ,zo,其它可交换与不可交换的例子：,7.1 运算,7.1.2 运算的性质,交换律设为S上的二元运算，若有x,yS，都有 xoy=yox，则称运算是可交换的（运算满足交换律）。,满足交换律的运算运算表一定是对称的！,7.1 运算,7.1.2 运算的性质,结合律设为S
5、上的二元运算，若有x，y，zS，都有 xo(yoz)=(xoy)oz则称运算o是可结合的(满足结合律)。,如，R上普通的加，乘法满足结合律，而减，除法不满足结合律。,其它可结合与不可结合的例子,7.1 运算,7.1.2 运算的性质,分配律设和*为S上的二元运算，若有x,y,zS，都有:x*(yz)=(x*y)(x*z) (左分配)(yz)*x=(y*x)(z*x) (右分配)则称运算*对是可分配的(*对满足分配律) 。,其它可分配与不可分配的例子,如，R上普通乘对加,减法满足分配律，但加,减法对乘除法不满足分配律。,7.1 运算,7.1.2 运算的性质,吸收律设和*为S上的两个可交换的二元运算
6、，若x，yS，都有:x*(xy)=x 且 x(x*y)=x ，则称运算*和满足吸收律。,如，与，都满足吸收律，而R上的普通加，减，乘，除都不满足吸收律。,7.1 运算,7.1.2 运算的性质,例1 N为自然数集,x,yN，x*y=maxx，y,xy=minx，y，试证运算*，满足吸收律,证明：x，yN，x*（xy）=maxx，minx，y=xx（x*y）=minx，maxx，y=x运算*和满足吸收律,吸收律设和*为S上的两个可交换的二元运算，若x，yS，都有:x*(xy)=x 且 xo(x*y)=x ，则称运算*和满足吸收律。,7.1 运算,7.1.2 运算的性质,等幂的设o为S上的二元运算，
7、若xS，有xox=x，则称运算o是等幂的（称为满足等幂律）。,如，与，都是等幂的，而R上的普通加，减，乘，除都不是等幂的。,结论：在代数系统中，若运算*,o满足吸收律，则必满足等幂律。,a,b,cS，若有：,a*(aob)=a ao(a*b)=a,则必有：a*a=a aoa=a,这是因为：a*a=a*(ao(a*b)=a*(ao( ) =a,同理可得： aoa=a,7.1 运算,7.1.2 运算的性质,7.1 运算,7.1.3 运算的特殊元素,幂等元设o为S上的二元运算，若xS，有xox=x，则称x为运算o的幂等元。,R上的普通加，乘法不是等幂的，但是，加法运算中，0是幂等元，乘法运算中，0和
8、1是幂等元,如，与，都是等幂的运算，所以，集合中的任意元素都是幂等元。,7.1 运算,7.1.3 运算的特殊元素,么元（单位元）设o为S上的二元运算，若存在元素el(er)，xS，有 elox=x (xoer=x) ，则称el(er) 为左（右）么元。,如，R上的普通减法中的0，普通除法中的1，普通乘法中的1 ,强调忘我,7.1 运算,7.1.3 运算的特殊元素,么元（单位元）设o为S上的二元运算，若xS，存在元素el(er)，有 elox=x (xoer=x) ，则称el(er) 为左（右）么元。,这是因为根据左右么元的特点必有：eloer= el =er = e,若运算o既有左么元el，又
9、有右么元er，则其左右么元必相等且惟一，此时称为运算o的么元e（单位元）。,而如果我们假设还存在另外一个么元E，则必有： eoE= e = E,么元的例子：逻辑运算，集合，实数.,7.1 运算,7.1.3 运算的特殊元素,零元设o为S上的二元运算，若存在元素，xS，有 zlox=zl (xozr=zr) ，则称 zl(zr)为左（右）零元。,如，R上的普通除法中的0，普通乘法中的0，集合交，并运算中的空集与全集,强调自我,7.1 运算,7.1.3 运算的特殊元素，逆元，消去律,零元设o为S上的二元运算，若存在元素，xS，有 zlox=zl (xozr=zr) ，则称 zl(zr)为左（右）零元
10、。,这是因为根据左右么元的特点必有：zlozr= zl =zr = z,若运算o既有左零元zl，又有右零元zr，则其左右零元必相等且惟一，此时称为运算o的零元z。,而如果我们假设还存在另外一个零元Z，则必有： zoZ= z =Z,零元的例子：逻辑运算，集合，实数.,7.1 运算,7.1.3 运算的特殊元素,逆元设o为S上的有么元的二元运算，若对于元素aS，存在元素al-1，有 al-1oa = e ，则称元素al-1是的a左逆元（右逆元ar-1 ？）,结论：若运算o是有么元的可结合的二元运算，且元素a既有左逆元al-1 ，又有右逆元ar-1，则其左右逆元必相等且惟一，此时称它为元素a的逆元，记
11、为a-1。,如，矩阵乘法运算中的逆矩阵，R上普通加法中，元素x的逆？普通乘法中元素x的逆？,显然，任意二元运算的么元都是可逆的，且逆元就是它自己，而零元一般是不可逆的。,7.1 运算,7.1.3 运算的特殊元素,在讨论了上述概念之后，我们就可以讨论运算的另一个运算性质：消去律,设o为S上的二元运算，若对于任意元素x,y,zS，满足x非零元，且xoy=xoz y=zx非零元，且yox=zox y=z,则称运算o满足消去律。,集合的并运算：零元，可消去？,集合的笛卡尔积运算：零元，可消去？,矩阵乘法运算：零元，可消去？,R上普通的加法运算：零元，可消去？,课堂练习：P171 9 10 11 12
12、14课外作业：P172 13 15,7.2 代数系统,非空集合S和定义在S上的若干个运算o1,o2,on组成的整体称为一个代数系统，简称为代数，记为：V=,7.2.1 代数系统, +为普通的加法+，*,-为普通的加乘法和取反，+为矩阵的乘加法,7.2 代数系统,7.2.1 代数系统的代数常数,代数系统中运算的特殊元素，即运算的么元和零元统称为代数常数。,例2 设A=0,1,2,3,4，定义A上的运算 5 ， 5 分别为模5的加，乘法，讨论的运算性质和代数常数。,运算满足： 交换律，结合律,有么元：0,逆元：？,1与4，2与3，0与0,7.2 代数系统,7.2.1 代数系统的代数常数,运算满足：
13、 交换律，结合律,零元：0,逆元：？,2与3，4与4，1与1,有么元：1,0没有逆元,例2 设A=0,1,2,3,4，定义A上的运算 5 ， 5 分别为模5的加，乘法，讨论的运算性质和代数常数。,7.2 代数系统,设V=为代数系统，H为S的子集，若V1=也构成代数系统，则称V1是V的子代数系统。简称子系统。,7.2.2 子代数系统,以 V=为例和为其平凡子代数,代数系统均存在子代数，从集合的角度看，最大的是它自己，最小的可能是由代数常数构成的集合（平凡子代数）。,和是两个非平凡子代数。,7.2 代数系统,7.2.2 子代数系统,结论1：代数具有父代数系统相同的运算性质。,结论2：子代数与父代数
14、系统有相同的代数常数。,结论3：设V=为代数系统，H为S的子集，构成子代数当且仅当，运算o1,o2,.on在H中是封闭的。,对于 V= +为整数上普通的加法,V1= ？,V2= ？,则V1是V的子代数，而V2不是V的子代数。,N奇对运算+不满足封闭性。, ？ -为整数上普通的减法,7.3 同态与同构,考察：,7.3.1 引例,1)它们是两个完全无关的代数系统,2)它们具有非常相似的运算性质（交换律，结合律，吸收律，分配律，德摩根律）。,难道它们之间一点关系都没有？,7.3 同态与同构,1)同类型代数系统两个代数系统，若拥有相同的运算且对应的运算元数也相同。,7.3.2 同态与同构, 与 是相同
15、类型的代数系统。, 与 不是同类型的代数系统。,7.3 同态与同构,2)设V1=，V2=均为代数系统，其中的o1，o2 为二元运算， 1，2 为一元运算，如果存在映射f：S1S2 ，使得x,y,zS1有：,7.3.2 同态与同构,y,x,xo1y,f(x),f(y),f(x)o2f(y),f(xo1y)= f(x)o2f(y) f(1(x)=2(f(x) 则函数f为V1到V2的同态映射。,z,1(z),f(z),2(f(z),7.3 同态与同构,3)设V1与V2是两个同类型的代数系统，如果存在两个集合之间映射，对每对运算都为同态映射，则称这两个代数系统是同态的代数系统，简称同态。,7.3.2
16、同态与同构,若映射为单射，则称为单同态。,若映射为满射，则称为满同态。,若映射为双射，则称为同构 。,7.3 同态与同构,例3 设V1=，V2=，这里的+，*是R上的普通加法和乘法，定义f：RR为： f(x)=5x，证明V1与V2为单同态。,7.3.2 同态与同构,显然有： f(x+y)=5x+y,而： f(x)=5x f(y)=5y,所以有： f(x+y)=f(x)*f(y) =5x*5y =5x+y,所以f为同态映射,且xy时，有： 5x 5y,所以V1与V2为单同态映射。,证明：,7.3 同态与同构,例4 设V1=，V2=，这里的+，*是R上的普通加法和乘，证明， V1与V2同构。,7.
17、3.2 同态与同构,证明：可取 f(x)=ex,据前例显然有： f为单同态,下证f为满同态：,设yR+ ，取x=y，显然有：ex = ey = y,即任意的yR+ ，均存在源与其对应。f为满同态。,综上所述， V1与V2同构。,7.3 同态与同构,例5 对于非空集合S，证明代数系统与是满同态。,7.3.2 同态与同构,事实上，正是因为上述两个代数系统是满同态的，所以它们才有许多相同的运算性质。,证明思想：构造两个代数系统间的满同态映射？,由于S非空，我们任取元素aS，我们定义P(S)到0,1上的映射如下：,f(A)=集合A中包含元素a（逻辑值0或1）,即：f(A)=,1 当aA,0 当a A,
18、7.3 同态与同构,例5 对于非空集合S，证明代数系统与是满同态。,7.3.2 同态与同构,容易证明，上述映射是满同态的：,对于一元运算，显然有：f(A)=f(A),对于二元，显然有：f(AB)=f(A)f(B),对于二元，显然有：f(AB)=f(A)f(B),f对每个运算都为同态映射，且为满同态。,7.3 同态与同构,例5 对于非空集合S，证明代数系统与是满同态。,7.3.2 同态与同构,我们注意到：,且有： f()=0 f(S)=1么元映射到么元， 零元映射到零元,7.3 同态与同构,7.3.2 同态的性质, o1(或*1 )是可交换的 o2 (或*2 )是可交换的；,设V1=，V2=均为
19、代数系统，且V1与V2存在满同态映射f，则：,o1(或*1 )是可结合的 o2 (或*2 ) 是可结合的, o1对*1是可吸收的 o2 对*2 是可吸收的；, o1对*1是可分配的 o2 对*2 是可分配的；, e是o1 (或*1 )的么元 f(e)是o2 (或*2 )的么元；, z是o1 (或*1 )的零元 f(z)是o2 (或*2 )的零元；,x-1是x关于o1运算的逆元 f(x-1)是f(x)关于o2运算的逆元。, o1(或*1 )是幂等的 o2 (或*2 ) 是幂等的；,7.3 同态与同构,7.3.2 同态的性质, o1(或*1 )是可交换的o2 (或*2 )是可交换的；,作为示例，我
20、们证明：,证明 ：u,vS2，需要证明u,v对o2是可交换的:,由于S1满足交换律，即有：xo1y = yo1x,当然有： f(xo1y)=f(yo1x),根据同态映射性质有：f(x)o2f(y) =f(y)o2f(x),即： uo2v =v o2u,由于映射f是满同态，故u,vS2 ，存在元素x,yS1，使得： f(x)=u, f(y)=v,7.3 同态与同构,7.3.2 同态的性质,再来证明：, o1对*1是可吸收的 o2 对*2 是可吸收的；,证明 ：u,vS2，需要证明：uo2(u*2v)=u,由于o1对*1是可吸收的，即有：xo1(x*1y)=x,当然有： f(xo1(x*1y)=f
21、(x),根据同态映射性质有：f(x) o2(f(x) *2 f(y)=f(x),即： uo2(u *2v)=u,由于映射f是满同态，故u,vS2 ，存在元素x,yS1，使得： f(x)=u, f(y)=v,7.3 同态与同构,7.3.2 同态的性质,最后，我们证明：, z是o1的零元 f(z)是o2的零元；,证明 ：uS2，需要证明f(z)满足:f(z) o2u = u o2 f(z)=f(z),由于z是o1运算的零元，故有：x o1z = zo1x=z,当然有： f(xo1z)=f(zo1x)=f(z),根据同态映射性质有：f(x)o2f(z) =f(z)o2f(x)=f(z),即： f(z
22、)o2u =u o2f(z)=f(z),由于映射f是满同态，故uS2 ，存在元素xS1，使得： f(x)=u,所以，f(z) 为运算o2的零元。,7.3 同态与同构,例6 设V1=，V2=，其中：C为复数集合，+，*为复数的加、乘法，M为二阶实矩阵， 且满足：主对角线上元素相同，次对角线上元素相反，+，o为矩阵的加、乘法 。试证明这两个代数系统同构。,7.3.2 同态与同构,分析：核心问题是构造下列两个元素间的同态双射：,a+bi,x -y y x,事实上，可行的方案可能是：,a+bi,a -b b a,a b -b a,或,7.3 同态与同构,7.3.2 同态与同构,a -b b a,c -
23、d d c,*,因为(a+bi)* (c+di)=ac-bd+(bc+ad)i,=,ac-bd -ad-bc bc+ad ac-bd,故构造构造的映射应该是：,f(a+bi) =,a -b b a,容易证明这是一个双射，故同构。,课堂练习：P171 7.8.11.（子代数？）16. f(x)=2x课外作业：设V1=，V2=，其中：*,&分别为普通的乘法和逻辑与运算。 试证明： V1与V2同态，,关于求最大公因子的方法：1）简单算法：从大到小进行判断2）欧几里德算法：余数,关于质数的特殊函数：1）为判断范围： 2-？2）不同的判断方法,作业问题选讲：0，1与 （1/4，1/2）等势（构造的不是函数：无0/1的像）, *、 ,
