1、第九章振动和波动基础,91简谐振动,广义振动任一物理量在某一数值附近作周期往复变化,机械振动， 电磁振动 ,一、简谐振动,1、弹簧振子的往复运动,第九章振动和波动基础,91简谐振动,广义振动任一物理量在某一数值附近作周期往复变化,机械振动， 电磁振动 ,一、简谐振动,1、弹簧振子的往复运动,2、LC振荡电路,3、简谐振动的微分方程（动力学方程）,4、简谐振动的运动学方程,物理量对时间的二阶导数与物理量自身成正比，但符号相反,5、简谐振动的特点（以弹簧振子为例）,从受力角度看 合外力大小与位移成正比，方向与位移方向相反 （线性回复力） 从加速度角度看，加速度大小与位移成正比，方向与位移方向相反从
2、位移角度看 位移是时间的周期性函数（正弦或余弦）,说明：证明物理量的简谐运动，只需证明以上三项中的一个最简单的方法，证明合外力是否为回复力。,.,.,c,c,o,o,x,2d,例，如图，两轮的轴互相平行，相距为2d，其转速相同，转向相反，将质量为m的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系数为，当木板偏离对称位置后，它将如何运动？,二、简谐振动的特征量,1、振幅 A 反映振动幅度的大小,定义：振动量 在振动过程中所能达到的最大值,2、周期和频率反映振动的快慢, 周期 T,定义：完成一次全振动所需要的时间，单位秒（s）,说明：A恒为正值A的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件决定, 频率
3、,定义：单位时间内的全振动次数，单位赫兹（Hz）, 圆频率 ,定义：2秒时间内的全振动次数，单位弧度/秒（rads-1）,说明：简谐振动的基本特征是其周期性周期或频率均由系统本身性质决定简谐振动的表达式,3、相位(t+)反映振动的状态, 相位： (t+)是决定简谐系统状态的物理量, 初相位 t0 时刻的相位,初相位与时间零点的选择有关, 相位差 ,两个振动在同一时刻的相位差 =（w2t+2）（w1t+1） 同一振动在不同时刻的相位差 =（wt2+）（wt1+）,说明（两个振动）：0 振动（2）超前于振动（1）0 振动（2）落后于振动（1）2k，k0,1,2，同相（步调相同）(2k+1)，k0,
4、1,2，反相（步调相反）,三、A 和 的确定,注意：一般取值在-（或0 2）,例，已知某质点作简谐运动，振动曲线如图所示，试根据图中数据写出振动表达式。,四、简谐振动的能量,1、弹簧振子的能量,2、LC振荡电路,五、旋转矢量法,1、旋转矢量图示法,P,注意：旋转是匀速的，旋转矢量的矢端在X轴上的投影点作简谐振动,参考圆,2、旋转矢量的应用,作振动图,求初相位,求速度和加速度,振动的合成,92简谐振动的合成,振动叠加原理系统的合振动等于各分振动的“和”。,一、同频率的平行简谐振动的合成,问题：物理量同时参与两个同频率的平行简谐振动,1、应用解析法,2、应用旋转矢量法,3、讨论（分振动同频同方向）
5、, 合振动仍然是简谐振动，且频率为, 合振动的振幅不仅与原振幅有关，而且与初相位差有关, 上述结论可推广到多个同频率平行简谐振动的合成,合振动也是简谐振动,振动的标量和用旋转矢量和的投影描述,二、不同频率平行简谐振动的合成,问题：物理量同时参与两个不同频率、相同振幅、相同初相位的平行简谐振动,合振动,讨论:合振动振幅的变化规律,两平行振动合成时,由于频率差别造成其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍,拍频,讨论:合振动振幅的变化规律,拍的应用,三、同频率的垂直简谐振动的合成,问题：物理量同时参与两个互相垂直的同频率简谐振动,消去时间t,椭圆方程，形状由分振动的振幅和相位差决定,讨论：,顺时针
6、,逆时针,（5）当 0 时，质点沿顺时针方向运动当 2 时，质点沿逆时针方向运动,四、不同频率的垂直简谐振动的合成,问题：物理量同时参与两个互相垂直的不同频率简谐振动,1、两个分振动的频率相差很小,2、两个分振动的频率相差很大，但有简单的整数比关系,四、不同频率的垂直简谐振动的合成,问题：物理量同时参与两个互相垂直的不同频率简谐振动,1、两个分振动的频率相差很小,2、两个分振动的频率相差很大，但有简单的整数比关系,93 阻尼振动 受迫振动 共振（了解）,一、阻尼振动振幅随时间变化而减小的振动,原因：能量损耗,应用： 减小阻尼：活塞 增大阻尼：弦乐器，减振器 利用临界阻尼：阻尼天平，灵敏电流计,
7、二、受迫振动在强迫周期外力作用下系统发生的振动,说明： 稳定状态时振动频率为强迫力的频率 振幅依赖于系统固有频率、阻尼大小及强迫力,应用：利用：乐器；收音机；核磁共振防止方法：改变固有频率，改变外力周期性，增大阻尼，减振,94 简谐波（机械波）,波动 振动状态的传播过程 机械波机械振动在介质中的传播（声波、水波、地震波） 电磁波电磁场在空间的传播（无线电波、光波）,波动的特点： 有一定的传播速度 能量的传播 反射、折射、干涉和衍射 相似的波动方程,一、机械波的产生和传播,1、产生机械波的条件 波源：产生机械振动 弹性介质：传播机械振动,2、波动的本质 波动中各质点并不随波前进，传播的是振动形式
8、和能量,4、波动与振动不同振动一个质点振动波动一系列质点在作振动,5、如何判断各质点振动方向,传播方向,3、波动的特点 沿传播方向各个质点的相位依次落后,a、横波,质点的振动方向与波的传播方向垂直。 波峰波形凸起部分 波谷波形凹下部分,二、波的类型,1、按介质质点的振动方向与波动传播方向分横波与纵波,二、波的类型,1、按介质质点的振动方向与波动传播方向来分横波与纵波,a、横波,质点的振动方向与波的传播方向垂直。 波峰波形凸起部分波谷波形凹下部分,b、纵波,质点的振动方向与波的传播方向平行。表现为疏密状态沿波传播方向移动。,b、纵波,质点的振动方向与波的传播方向平行。表现为疏密状态沿波传播方向移
9、动。,说明：横波的传播表现为波峰、波谷的传播纵波的传播表现为疏、密状态的传播,2、按波的波前来分平面波、球面波、柱面波,波射线（波线）,波振面（波面）,波前,在各向同性介质中波线恒与波面垂直,沿传播方向所作的带箭头的线,同一时刻，波动传播到的空间各点构成的曲面,最前面的波振面,平面波：波前为平面 球面波：波前为球面 柱面波：波前为柱面,3、按波动的传播来分行波和驻波,行波振动状态和振动能量由波源向外传播的波,驻波同一直线上振幅、频率相同，反向传播的两列波叠加而成,4、按波动的明显物理性质来分光波、声波、水波,5、按质点的振动行为来分脉冲波、周期波、简谐波,2、平面简谐波,3、建立波动方程的方法
10、： 写出某质点的振动方程 求出任一质点相对于该质点的相位差 写出波动方程,4、波动方程,结论：平面简谐波表达式的关键是波线上任一点的相位比已知点超前还是落后，这对于横波和纵波都是成立的。,理想化模型,三、平面简谐波的波动方程（波函数）,1、波动方程用已知波源的振动规律，表达出介质中各点的振动规律,说明： 波长一个完整的“波”的长度 横波：相邻两个波峰或波谷之间的距离 纵波： 密部或疏部 ,四、描述波动的物理量,1、波长同一波线上两个相邻的、相位差为2 的振动质点之间的距离,反映波动的空间周期性,2、周期和频率,反映波动的时间周期性,周期 T 波传播一个波长所需要的时间,频率,波在单位时间内前进
11、的距离中所包含的波长数,说明：波的周期等于波源振动的周期波的周期只与振源有关，而与传播介质无关,3、波速 v 波沿波线传播的速度,描速振动状态在介质中传播快慢程度,波速与介质有关,说明：波速是振动状态传播的速度，也是相位传播的速度相速区别波速和质点振动速度实验表明，波速取决于介质的弹性模量和密度，与振源无关波长、波速和周期间的关系 同一振源的波在不同介质中波长不同,小结： 频率、周期：决定于波源 波速：决定于介质 波长：由波源和介质共同确定,五、波动方程是时间和空间的函数,1、x一定，则位移仅是时间的函数,五、波动方程的物理意义,1、x一定，则位移仅是时间的函数,2、t 一定，则位移仅是空间的
12、函数,3、x 和 t 都变化,波的传播是相位的传播,结论：波动方程反映了波的时间和空间双重周期性；时间周期性由周期T代表。从质点看，每个质点振动周期为T；从波形看，t时刻的波形曲线与tT时刻的一致；空间周期性由波长代表。从质点看，相隔整数倍波长的质点同步；从波形看，波形在空间以波长为“周期”分布。,六、波动微分方程,平面波的波动微分方程,说明：任何物理量，只要其时空关系满足此微分方程，则该物理量就按波的形式传播(适用于一切波形)传播速度由方程直接给定推广到三维空间,2、固体,七、波速与媒质性质的关系,1、液体和气体（传播纵波）,95 波的能量 能流密度,一、波的能量 能量密度,1、波的能量,
13、动能, 势能, 总能量,弹簧振子的能量,95 波的能量 能流密度,一、波的能量 能量密度,1、波的能量, 动能, 势能, 总能量,结论：任一质元的动能和势能等大同相能量在平衡位置处最大，在振幅处为零,y,x,95 波的能量 能流密度,一、波的能量 能量密度,1、波的能量, 动能, 势能, 总能量,结论：任一质元的动能和势能等大同相能量在平衡位置处最大，在振幅处为零波动是能量的传递过程,2、波的能量密度,平均能量密度,二、能流和能流密度,1、能流,定义：单位时间内通过介质中某一面积的能量,一个周期内的能量密度的平均值,是位置和时间的共同函数,定义：单位时间内通过介质中某一面积的能量的平均值,2、
14、平均能流,定义：通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流,说明：单位：W.m-2 矢量，表示能量随波向前传播 平均能流密度，对于声波称为声强，对于光波称为光强,3、平均能流密度,波的强度,平面波振幅恒定，球面波振幅与距离成反比,麦克斯韦：1865年电磁场理论预言电磁场以波的形式传播，波速为光速。 赫兹：1888年用实验证明了电磁波的存在。 波波夫：1895年发明了无线电报接收机，1896年3月表演了距离为250m的无线电报传送。 马可尼：1897年第一次实现了9英里的无线电联系；1899年实现了横跨英吉利海峡的无线电通讯；1901年完成了从法国穿越大西洋到达加拿大的无线电通讯。1909年他获
15、得了诺贝尔物理学奖金。,96 电磁波,一、电磁辐射,原理：LC振荡电路能发射电磁波,问题：能量低，不利于辐射,解决方案：减小电容、减小自感,实际应用：采用发射天线振荡的电偶极子,电磁波以一定速度向周围传播的变化的电磁场,采用开放电路,H,E,二、电磁波的特点,电偶极子振动规律,远离电偶极子的空间中的电磁场,电磁波在介质中的波速,基本性质：,电场与磁场相互垂直，且都与传播方向垂直,电磁波是横波,在给定点上电场磁场同相位,电磁波的速度取决于介质的性质,实验表明：短波波源比长波波源更容易辐射,三、电磁波的能量（辐射能）,辐射强度：,坡印廷矢量（能流密度矢量）,电偶极子的平均辐射功率：,拉莫尔公式,9
16、7 惠更斯原理 波的衍射,1、前提条件,2、惠更斯原理,波动传到的各点，都可看作是发射子波的新波源；在其后任一时刻，这些子波的包迹决定该时刻的波振面。,一、惠更斯原理,3、波的传播方向,球面波,平面波,？,1、波的衍射现象,波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘继续前进的现象。,2、衍射现象的解释,二、波的衍射,三、波的反射与折射,波的反射,波在同一媒质中传播速度不变,波的折射,波在不同媒质中传播速度不同,不能说明子波的强度分布问题 不能说明波不能向后传播的问题,四、惠更斯原理的缺陷,98 波的叠加原理 波的干涉,一、波的叠加原理,几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征（频率、
17、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.,在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.,波的叠加原理（波的独立传播原理）,二、波的干涉,1、定量计算,相遇点分振动的相位差：, 对于空间一固定点振幅恒定,讨论： 两列波叠加区域，合振幅主要取决于相位差：,干涉相长,干涉相消,为其它值,若,两列波到固定点的波程差,分振动步调一致,分振动步调相反,2、实验现象,两列波，在空间相遇时，空间某些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布波的干涉现象,相干条件： 频率相同 振动方向相同 相位差恒定,相干波源及其
18、获得,三、驻波（干涉现象的特例）,振幅大小由空间位置确定,波节,波腹,波的反射：,波从波疏媒质传到波密媒质时发生半波损失,反射点为波节,波从波密媒质传到波疏媒质,反射点为波腹,遇障碍物反射,反射端固定,反射点为波节,反射端自由,反射点为波腹,在不同介质的界面处反射,半波损失,振动和波复习,四个方程能量问题旋转矢量法叠加问题惠更斯原理,1,说明下列运动是不是简谐振动（思考题2） （1）完全弹性球在硬地面上的跳动； （2）活塞的往复运动； （3）如图，一小球沿半径很大的光滑凹球面滚动（设小球所经过的弧线很短）；（4）竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置下拉一段距离（在弹性限度内），然后放手任
19、其运动； （5）一质点做匀速圆周运动，它在直径上的投影点的运动； （6）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。,2，同一弹簧振子，当它在光滑水平面上做一维简谐振动和它在竖直悬挂情况下做简谐振动，振动频率是否相同？如果它放在光滑斜面上，是否还做简谐振动，振动频率是否改变？如果把它拿到月球上，则频率有何变化？（思考题4）,3，试判断下面几种说法，哪些是正确的，哪些是错误的？（思考题8） （1）机械振动一定能产生机械波； （2）质点振动的速度和波的传播速度是相等的； （3）质点振动的周期和波的周期数值是相等的； （4）波动方程中的坐标原点是选取在波源位置上。,4，如何理解“半波损失”？（思考题17）,5,如何理解驻波没有传播？,7，弦线上有一列沿x轴正方向传播的简谐波，其波速100m/s,频率50Hz，振幅0.04m。已知弦线上离坐标原点x1=0.5m处的质点在t=0时刻的位移为+A/2，且沿y轴负方向运动，当传播到x2=10m的固定端时，被全部反射。试写出： （1）入射波和反射波的波动表达式； （2）入射波和反射波叠加的合成波在0x10区间内波腹和波节处各点的坐标； （3）合成波的平均能流。,
