1、1 1第五章 晶体中电子能带理论习题晶体常数为 的一维晶体中，电子的波函数为a（1） ,xixk3cos（2） 是某一函数，flf)(-l求电子在以上状态中的波矢解 答由固体物理教程 （5.14）式reRrkrinkn可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足 xaxi由此得(1) xe xaiaiixkiak 3cos3cos3cos于是1i因此得,53,ak若只取布里渊区内的值： ，则有k(2) .)1()( alxflaxfaxllk 令1得.xealxfaxkiakk 由上式知=1ie所以有,64,20ak因此得在布里渊区内的值为0k2.一维周期势场为 .1,2122 bnaxnxb
2、mWxV当 当其中 ， 为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值ba4解 答2 2图 5.1 一维周期势场如图 5.1 所示，由于势能具有周期性，因此只能在一个周期内求平均即可，于是得= =a1dxV2dxVb241= mWb4= bx3182= .63.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度解 答根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表示式为， ngVE2其中 是周期势场 傅里叶级数的系数，该系数可由固体物理教程 （5.22）式nVx= a1dexai2求得，第一禁带宽度为=21VEgdxeaai22=2baimW224=2 b dxbxcos12= .328第二禁带宽度
3、为=22VEgdxeaai241=2bbimW42=2 b dxxcos1223 3= 2bmW4.已知一维晶格中电子的能带可写成，kaakE2cos8172式中是晶格常数 是电子的质量，求（1）能带宽度，（2）电子的平均速度，（3）在带顶和带底的电子的有效质量解 答（1）能带宽度为.minaxE由极值条件0dk得上式的唯一解是 的解，此式在第一布里渊区内的解为sina.,当 取极小值 ，且有kE,0时min=in0当 ，E(k)取极大值 ,且有a,时axE.2max由以上可得能带宽度为.2minaxE（2）由固体物理教程 （5.81）式，得电子的平均速度为.sin41i1kadkv（3）由固
4、体物理教程 （5.87）式得，带顶和带底电子的有效质量分别为.322cos12 mkmkEmaaka .2cos2101020 kkk 对简立方结构晶体，其晶格常数为 a（1）用紧束缚方法求出对应非简并 态电子的能带；（2）分别画出第一布里渊区110方向的能带电子的平均速度、有效质量以及沿110方向有恒定电场时的加速度曲线解 答（1）非简并态电子的能带4 4.enRksatssJCEk式中 是晶体参考格点最近邻格矢对于简单立方晶体，任一格点有 6 个最近邻取参考格点的坐标为nR（0,0,0）,则 6 个最近邻点的坐标为.,0,0,简单立方体非简并 s 态电子的能带则为 .coscos2akak
5、JCEk zyxsat （2）在110方向上,0yxz能带变为,2cos40kaJEks其中,0satsC在110方向上,在第一布里渊区内,电子的能带如图 5.2 所示.图 5.2110方向电子的能带电子的平均速度.2sin21kaJkEv平均速度曲线如图 5.3 所示.图 5.3 平均速度曲线电子的有效质量,2cos22 kaJkEm有效质量曲线如图 5.4 所示.5 5图 5.4 有效质量曲线 在110方向有恒定电场情况下,电子的受力eF电子的加速度.2coskaJma设电场方向与110方向相反,加速度曲线则如图 5.5 所示.图 5.5 加速度曲线6.用紧束缚方法处理面心立方体晶格的 s
6、 态电子,试导出其能带, 2cos2cos2co4 akakakJCE xzzyyxsats并求出能带底的有效质量.解 答用紧束缚方法处理晶格的 s 态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,根据固体物理教程（5.60）式,其能带表示式为, 是最近邻格矢.nsatssJknRke对面心立方晶格,取参考点的坐标为(0,0,0),则 12 个最近邻格点的坐标为( , ,0),( ,0, ),(0, , ).22a2a将上述 12 组坐标带入能带的表示式,得nsatssJCEknRkesatsJ zyzyzyzkyai zkxaizkxaizkxaizx yxyxyxyx kaikaikaikai k
7、aikaikaikai eee2222 22222 2226 6 zyzyzx zxxysats kakakaJCE 2cos2cos2co.4 xysats能带底即 的最小值对应的 为(0,0,0),有固体物理教程(5.87)可得在能带底处电子的有效质量kk为.202aJkEmsxxi同理可得,2aJsy2aJsz其它交叉项的倒数全为零.7.用紧束缚方法处理体心立方晶体,求出（1） s 态电子的能带为;2cos2cos8akakJCEk zyxsat（2） 画出第一布里渊区111方向的能带曲线;（3） 求出带顶和带底电子的有效质量.【解 答】（1）用紧束缚方法处理晶格的 s 态电子,当只计及
8、最近邻格点的相互作用时,其能带的表示式为是最近邻格矢.enRksatsJk对体心立方晶格,取参考格点的坐标为（0,0,0）,则 8 个最近邻格点的坐标为（ ）.2,将上述 8 组坐标代入能带的表示式,的.enRksatssJCEk zkyxaizkyxaizkyxai zkyxaizkyxaizkyxaizkyxaizyx ee eisats 222 2222 2cos2coscoscos 2222 akeakJCE zzzzkaisats ykxaiykxaiykxaiyx 42ezykaisats xkaix.cosco8JEzyxsats（2）在111方向上7 7,kkzyx3且第一布里
9、渊区边界在,azyx于是能带化成,kJEs63co80其中 .图 5.6 为第一布里渊区111方向的能带曲线.satC0图 5.6 111方向的能带曲线（3）由能带的表示式及余弦函数的性质可知,当 时, 取最小值,即0zyxksE是能带底,电子的有效质量为0zyxk202aJkEmsxxi同理可得,2aJsy2aJsz其它交叉项的倒数全为零.而在布里渊区边界上的,0,0,处是能带顶,电子的有效质量为.2aJmszyx其它交叉项的倒数也全为零.8.某晶体电子的等能面是椭球面,3212kE坐标轴 1，2，3 相互垂.（1） 求能态密度;（2） 今加一磁场 , 与坐标轴的夹角的方向余弦分别为 ,写出
10、电子的运动方程;B （3） 证明电子在磁场中的回旋频率8 8,meBc其中.213211【解 答】（1） 由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为.22321EmkEk将上式与椭球公式22czbyax比较可知,在波矢空间内电子的等能面是一椭球面.与椭球的体积34比较可得到,能量为 的等能面围成的椭球体积E23132Em由上式可得.dd23134能量区间内电子的状态数目dEVzcc 2133232是晶体体积.电子的能态密度21332mdENc（2） 根据固体物理教程中（5.86）式得,31221211 FkEkFa,322122.323133 kkEa将3212m代入上述三式得运动方程为.
11、321,FaFa即. （1）1,dtvtvdtvm9 9当存在磁场 时,电子受到洛仑兹力B.veF其分量形式为,232322321 vBv,11312 3eve式中, .Be321,将上述结果代入运动方程（1）得（2）.,12133221vdtvmvdtv(3)上述方程可用不同的方法求解.解法一：对(2)式两边作拉普拉斯变换，并采用如下初始条件, ,10v20.30v得+ - = ,pL3L1m- + + = ,1323120- + = .2vvp由此解出.1L其中.BpAmpmpm 22321321312321 , .31A321B321301201102 20330231033201 Cp
12、vmvvm pvvpv ,0323,C.3因此得.BpAABpBpAvL 2231321 1上式两边取逆拉普拉斯变换得10 10.tBACtABCpv sincos12331 同理可得.tti23132 ,301312021, vmv.2033C及.tBACtABpv sincos13 102123021, vv.30313 mm可见电子回旋频率为 .解法二：由于电子作周期运动，将试探解,ticev102tic30（这里 一般为复数，电子的真实速度应为 的实部或虚部.）3021,v 321,v代入（2）式得+ - =0,1mic302v2+ - =0,031- + =0.2ic有不全为零的解的
13、充要条件是021,v.031212331miiiccc由此得.221321 cm于是.Bc 321这样，两种方法均给出电子回旋频率为.21321mBc 再将,eBe21,代入上式即得,c其中11 11.213211m9.求出一维、二维金属中自由的能态密度.解 答（1）一维情况自由电子的色散关系为.kE2由此得,dkEmd21即.k212对应同一个 ，在 方向各有一个 ，因此空间中 之间的区间为dEdkd与,E212在该范围内的状态数为,dmLdZ212其中 L 是晶格长度.于是，态密度.212EdEN（2）二维情况参照固体物理教程 （5.102）式可知，二维情况下态密度的一般表示式为.LkS2
14、其中 S 是晶格的面积，积分沿能量为 E 的等能线进行.由2yxm得 .kkk12于是有. 2122 mSkSEdLSNk 10.二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数 , ，原子为单价的.Aab4(1) 试画出第一、二布里渊区；(2) 计算自由电子费密半径；(3) 画出费密面在第一、二布里渊区的形状.【解 答】（1） 倒格子原胞基矢.jbiab2,112 12选定一倒格点为原点,原点的最近邻倒格矢有 4 个,它们是21,b这 4 个倒格矢的中垂线围成的区间即是第一布里渊区.即图 5.7 中所示区间.原点的次近邻倒格矢有 4 个,它们是21这 4 个倒格矢的中垂线围成的区间与第一布里渊区边界围
15、成的区间即是第二布里渊区.即图 5.7 中所示区间.图 5.7 二维矩形晶格第一、二布里渊区（2）在绝对零度时,二维金属中导电电子若看成自由电子,电子的能量 ,能量 区mkE2dE间的电子占据波矢空间 的范围.在此范围内的波矢数目为dk图 5.8 二维波矢空间,kdS2)(其中 是二维金属中导电电子的波矢密度,S 是金属面积。2)(S由 得mkE.2dE能量 区间的量子态数目则为.dEmSSz22)(能态密度.2ndzEN13 13在绝对零度时，费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有.02002FEEmSdNFF 由上式可得，nF其中 n 是金属中导电电子的密度。令,mkE20可得二维金属中
16、导电电子的费米半径为。1nF对于原胞面积为204s的单价金属，195.86.19mkF（3）图 5.9 划出了费米面在第一、第二布里渊区的形状。图 5.9 费米面在第一、二布里渊区的形状11.计算体心和面心一价金属的 比值.其中 是自由电子的费米半径， 是原点到第一布里mFkFmk渊区边界的最小距离.【解 答】体心立方格子的倒格基矢可取.2,231jiabkjab因为倒格子是面心立方结构，所以离原点最近的有 12 个倒格点，它们是14 14.2,21323123iakbjjaib由这 12 个倒格矢的中垂线围成的区间就是第一布里渊区.因此，原点到第一布里渊区边界的最小距离等于这 12 个倒格矢
17、中任一个倒格矢模的一半.所以.akm由固体物理教程 （6.4）式可知，自由电子的费米半径,312nF式中 n 为单位体积中的电子数.对单价金属体心立方格子，3a费米半径.432811ankF于是可得.870231akmF面心立方格子的倒格矢可取为.2,31kjiabkjib因为倒格子是体心立方结构，所以离原点最近的有 8 个倒格点，它们是., 321321b原点到第一布里渊区边界的最小距离等于这 8 个倒格矢中任一个倒格矢模的一半.所以.akm对单价金属面心立方格子，有34n将上式代入自由电子的费米半径,12kF得到.3a于是可得15 15.903231akmF12.对于六角密积结构，六角形的
18、两对边的间距为 a，基矢 ,2,2331 kcjijia试画出此晶格的第一布里渊区.【解 答】六角密积结构原胞的体积。2321caa六角密积结构的倒格矢.22,3,1331kcabjaib在包括和的平面内选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有 6 个，它们是.,2121b这 6 个倒格矢的中垂面围成的区间构成的正六边形属于第一布里渊区.图 5.1 正六边形属于第一布里渊区若考虑整个三维空间，原点的最近邻倒格矢有 8 个，它们是.,32121bb由这 8 个倒格矢的中垂面围成的区间就是第一布里渊区，它是一个正六棱柱.16 16图 5.11 第一布里渊区13.平面正三角形结构，相邻原子间距为 ，
19、试求a（1）正格矢和倒格矢；（2）画出第一和第二布里渊区内切圆半径.解 答（1） 正格原胞的基矢如图所示取为.jaiai23,21其中 和 是互相垂直的单位矢量.取单位矢量 垂直于 和 ，则 和 构成的体积ij kij21,ak.2图 5.12 平面正三角形结构原胞倒格原胞的基矢为.342,21jakbi（2） 选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有 6 个，它们是.,2121b这 6 个倒格矢的中垂线围成的区间构成了两部分，以原点为对称心的正六边形是第一布里渊区.正六边形外的 6 个三角形部分是第二布里渊区，即图 5.13 中所示区间.第一布里渊区内切圆的半径32ak图 5.13 第一和第
20、二布里渊区，第一布里渊区内切圆17 1714.已知某简立方晶体的晶格常数为 ，其价电子的能带a.coscosBakkAEzyx（1）已测得带顶电子的有效质量 ，试求参数 A;2*m（2）求出能带宽度；（3）求出布里渊区中心点附近电子的状态密度.【解 答】一、 假定 A 大于 0（1） 对于能带为.coscosBakakEzyx简单立方晶体中的电子，其能带顶在布里渊区中心.在布里渊区中心，电子的有效质量为.202Aakmi由此可知 .2A（2） 电子能带.coscosBkaEzyx的能带底在.,处.由带顶和带底的能量知能带宽度为 4.（3）在布里渊区中心附近， ,0k2222 222111.co
21、scoskaBBakaakEzyx xxxzy令 则上式化成,2EB.可见在布里渊区中心附近，等能面是球面.因此，能量 和能量 两等能面间的波失空间体积为Ed.4223dkVc相应的量子态数目.21323 EdBadzcc 能态密度.2132VENc二、 假定 A 小于 0（1） 对于能带为.oscosBakakzyx简单立方晶体中的电子，其能带顶在第一布里渊区 8 个角顶处18 18.,a在这些点，电子的有效质量为.22AakEmii由此可知 A=-2（2） 电子在能带顶的能量B在布里渊区中心的能带底的能量E2可见能带宽度为 4.（3） 在布里渊区中心附近， ,0k2222 222111.c
22、oscoskaBBakaazyx xxxzy令 则上式化成,2E.可见在布里渊区中心附近，等能面是球面.因此，能量 和能量 两等能面间波失空间体积为Ed.4223dkVc相应的量子态数目.21323 EdBadzcc 能态密度.21EkVNc15.设晶格常数为 ，原子数为 N 的单价一维简单晶格中，第 格点上电子的几率振幅 满足方程annC,11nnBCACi其中 A、 B 是常数， 为电子在第 -1, 和 +1 格点上的几率振幅，求,11nn和、（1） 电子的能量与波失的关系；（2） 带顶空穴及带底电子的有效质量；（3） 求 A0 时电子的能态密度；（4） 求 T0 时的费米能 .0FE【解
23、 答】（1） 设电子在第 个格点上的几率振幅分别为n,0tknaieC则电子在第（ 1）和（ +1）个格点上的几率振幅分别为19 19,101tEankineC.ti将以上三式代入方程,11nnBAi得到.ikaikeEi电子的能量则为.cos2（2） 是电子的能带底，在能带底电子的有效质量0k.202BakEm是电子的能带顶，在能带顶电子的有效质量ak.22BakEma带顶空穴的有效质量则为.2Bh（3） 如图 5.14 所示，在 能量区间波失数目为dE图 5.14 能带曲线相应的量子态数目dEkNadkz12.41sin22dEABB由此得到 A0 时的能态密度.220ENadEzNA20
24、 20（4） 晶体内有 N 个导电电子，在绝对零度时，这些电子都分布在费密能级及以下.采用 A0时的能态密度，得00 2.1)(FFEE dEBd利用积分公式xdx12sin1得到.2,sin,i000BEFF16.设有一维晶体，原胞基矢 ，晶格的周期势为abjia3,1且 ，,2coss,0yxVyx（1）画出第一、第二布里渊区；（2）以近自由电子模型求 的第一能带与 的第二能带交迭的条件；,xkEykE,0（3）若电子的波矢 ，求引起电子强烈散射的晶列指数.ba解答（1） 由已知条件可得出倒格子原胞基矢.2,1jib坐标原点的格点有 4 个最近邻，它们是 .它们的中垂线围成的区间就是第一布
25、里渊区.坐标21,b原点的格点有 4 个次近邻，它们是 .它们的中垂线和第一布里渊区边2121,界围成的区间即是第二布里渊区.图 5.15 示出了第一布里渊区和第二布里渊区的分布.图 5.15 第一布里渊区和第二布里渊区（2） 的第一能带顶的能量为0,xkE21 2122gAAEmaE其中 是 方向第一能带与第二能带间的能隙. 的第二能带底的能量为gAxkyk,0.22gBBb图 5.16 第一布里渊区其中 是 方向第一能带与第二能带间的能隙.E（）的第二能带与 E（）的第一能带交迭的条件是gBEyk.0222 gBABAbam即交迭的条件是.gBAE23当电子所处的点是两个或两个以上布里渊区
26、边界交汇的点.求电子的能隙必须应用平面波方法的中心方程求解.当电子所处的点不是布里渊区边界交汇的点，求电子的能隙（即是此种情况）可直接采用以下方法（也是由中心方程求得的）：,AgAKV其中 是与过 点的第一布里渊区边界垂直的倒格矢，且该边界是 的中垂面.由于满足该条件的倒格矢,21iab所以求出 即求是 而 是周期势场付里叶级数的系数.由,coss,0ybxVyx rjbirjiriaria ee 22220可求得00,VEKVgAA而,2BgB与 相类同A,2jb所以求出 即求得 ，而 是周期势场付里叶级数的系数.由周期势场付里叶级数的展式BKVgBEBKV得22 22002,VEKVgBB
27、于是， 的第二能带与 的第一能带交迭的条件是ykE,0xk.302ma（3） 若电子的波矢 末端落在了布里渊区边界上，则 满足k.nnKk设 将 和 一并代入上式，得到jqipKnjbia,02,02q即.,;,bap由上式可得的 三个解nKjbiaKjinn 2,2,231 上式说明，过 末端有三个布里渊区边界，它们分别与 垂直.这一点从第一jbak 321,nnK布里渊区的分布图即可看出.引起电子产生强烈散射的晶面（列）与布里渊区边平行，即与 垂直.设与,垂直的的晶列为 ，由 得出321,nnK21atsR 00,321 RRKnnn 和引电子产生强烈散射的晶列的指数分别为010 、 10
28、0和1 0.17.假定波函数 因子不显含波矢 k，以 N 个原子构成的一维原子为例，证xuexikk中明万尼尔函数具有定域性.解 答由固体物理教程 （5.50）式可知，一维晶格的万尼尔函数为.,1,kinaxeNxnaW按照布洛赫定理，晶体中电子的波函数.,uix上式中调制因子 是晶格的周期函数.将波函数代入万尼尔函数得ku.,1,knaxikena若调制因子 不显含波矢 k，则上式化为.x., knaxiuNW上式中.2,2lalk解法一：令,hl23 23万尼尔函数化成lnaxNliknaxi eueuNxnaW 11,hxaNi12.1hnaxinxieeu上式最后求和是一等比级数前 N
29、 项的和，所以NhnaxinaxixnaW121, naxNinaxinaxinaxi eeuN2221naxNiinaxieu211.s2naxNix由上式可知，当 时nax,0,W当 时，利用 ，得到万尼尔函数最大值nyeyy10.,xu可见万尼尔函数具有定域性.解法二：由于原子数 N 是一个很大的数目，波矢 的取值可看成准连续的，所以万尼尔函数.1,knaxiexna的求和项可化成积分，即anxidkNuW2,.sinaxunaxiexNiai 由上式可知，当 时nx,；0,a当 时，得到万尼尔函数峰值na.xuNW可见万尼尔函数具有定域性.24 2418.一维晶格，周期势为,1Nnax
30、AxV其中 为 函数.孤立原子中 s 态电子的波函数nax,2naxatse求晶格中 s 态电子的能带.解答从已知条件看，周期势场仅仅在格点处有很大的负值，稍稍偏离格点，周期势场的值就趋于 0.根据周期势场的这一特点可以断定，晶格中的电子被束缚在格点附近的几率远远大于它在偏离格点处的几率，也就是说，本题是典型的紧束缚模型.用紧束缚方法处理晶格的 态电子，当只计及最近邻格点的相互用时，由固体物理教程 （5.60）式，其能带表示式为, 是最近邻格矢，nsatssJCEknRke其中积分Naatsttss dxVx是将参考格点取为原点.如果取参考格点为 ，则有a atsNntss dxnA1. N
31、atsts dxnxx根据 函数的性质可知，上式积分 .而积分0sCNa atsNntss dxnAJ 1.atsts dxnxxxaNa nn eeAe 假设 x 轴是水平方向，在上式积分中只取了参考格点右边的最近邻格点，取左边的最近邻格点也有同样的结果.由参考点左右两个最近邻，又得.cos2nRk kaikai于是 s 态电子的能带.eAEaats19.证明迪阿哈斯范阿耳芬效应的周期为,21SB其中 S 是 的平面在费密球上所截出的面积.0zk解 答由热力学可知，当磁感应强度 B 增加 dB 时，磁场 H 所作的功,dVUc即系统内能的微分（1）,c其中 是晶体体积.cV由电磁学可知，磁感
32、应强度、磁场和磁化率 的关系是25 25（2）.10HB由（1） ， （2）两式可得（3）.0UVc其中 是真空中的磁导率.由上式可以看出，磁化率随磁场的倒数作振荡，应是系统内能的微商随 1/B 作振荡的反映.U我们知道，当不存在磁场时，能态在波矢空间分布是均匀的，当由磁场存在时能，能态重新分布，磁场的作用使电子的量子态高度简并，此时电子的状态密度为（4）ln ccnEmVEN0 212328令（5）,1,32 ncc ba则电子系统的能量lnEnEFF bddNU0210（6）.2233012ln nnFl aEab对上式求微商 ln nnnnF BbabBBU0 212321233（7）
33、.2320 1 ln nn nFnnFnnnbaba EEE因为.meBcn 所以（8）.21Bbn（7）式中有一项为（9）meBnEabbaFlonnF 21可见，每当26 26FEmeBn21时， 将成为极大值，磁化率 将变成极小值.设 时BUiB（10）Fi对应磁化率的一个极小值，相邻的一个极小值对应 时1i（11）FiEmen12其中我们假设 .由以上两式可得iiB大 于1（12）.1Fii上式的 是一个固定的常量，这说明，每当两个 的间距（周期）等于这一常量 时，磁化 BFmEe率曲线就多一个极小.也就是说，磁化率以磁场倒数 作振荡.因为 的平面在费密球上截得的圆面积0zk,2FkS
34、费密能,mE所以有 .21SeB20.从 能带都为F到0,220zyxmkE其中都是大于零的常数.求电子的能态密度,30nVNFc其中 n 为单位体积内的电子数.【解 答】由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为.1222 000 EmkEkmkzyx将上式与椭球公式122czba比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积34比较可得知，能量为 E 的等能面围成的椭球体积27 27.234230Emzyx由上式可得 .210ddzyx能量区间 内电子的状态数目E.2210323 EVz zyxcc 是晶体体积.电子的能态密度cV=dEzN21032mzyxc设电子的浓度为
35、 ，则 区间的电子的总数为 ，且nF0 nVcc.3230320 EzyxcE 将上式与能态密度=FN21032Fzyxc比较，得E.0nVFc21.证明NKrKki mnmnde.1,【解 答】当 时，公式mnKNKrKki mnmne.,成立.当 , 321bllkjilzlylklmnmn 设zyxL,321apapiLx其中分 别为晶体在 方向的长度， 是倒格子原胞基矢， 是正格子原zyxL,z,21b321,a胞基矢， 是整数.于是进一步得到321321,l .0 xyzlzlylxmn LKizyxNrKki dede由22321blliLl可知， 的整数 倍.不难得到2是xL00
36、10 lxLiKxliKxxiKx edelll由此得证NkrKki mnmne.,28 2822.证明.1,nnRkRieN【解 答】当 的取值个数为 N 个，所以公式Rn时 ， 因.,nnRkRie成立.当 ，并将321apapnn ， 设321bNllbl代入下式，得， 321lplRkkpn其中 分别是 方向晶体的原胞数目.于是321,N321,akRine 321 321l Nlplpie= ，123 321ll Nlpilpilpi e其中.,jlNjj令 则2jjjhl.12122jjjjj jjjjj NhlpiNhhpillpi eee上式是等比级数前项的和，于是.01222
37、12jjjjjj NpiNpipiNhlpi ee由此的证.,nnRkRi 23.证明.1,mnKknkieN【解 答】 因为29 29,2,31nmRKabb所以.11 nRKkiRKinkinki nmnmnn eNeNe 当 的取值个数为 N 个，所以由上式得mk， 因 为10 nnRKkinRki nmn .,mKk当 ，设，K321bNllblk，321，321bpbpk 321NnnRn则有.11 nRKkiRKinRkinki nmnmnn eeNe = =nkie 321 321nNpp= 123 32n npipiNpi e因为.,1,jjjjjnNpie2 .0122212 jjjjjj NpiNpipinNnpi ee由此得证.,mnKknRki
