1、19 轻杆物理模型的力学特征轻杆同轻绳及轻弹簧一起构成了力学中三类典型的关联物模型，它的受力情况、做功情况及能量转化情况对于物理问题的分析起着至关重要的作用，其力学特征主要概括以下几个方面。9。.1 轻杆的受力不一定沿杆的方向图 1 中水平轻杆长为 L，其左端 C 固定在竖直墙面上，在其右端 B 处用与杆成 300 角的轻绳系于墙面上的 A 点,若在距离 C 点为 的 P 点挂一质量为 m 的重物，则轻绳受到的45L拉力 T 可通过力矩平衡方程 求出，其大小为 ，方向沿绳 ABTDmg 1.6Tg指向左上。于是重力 mg、轻绳拉力 T 及轻杆在 C 端所受的弹力 N 在 O 点构成了同一平面内
2、共点的三力平衡系统，此时依据拉密定理 不难求出0sin12si(4)sin在这个例题中可以看到，只有将重物悬挂在杆的端点 B 时，轻杆014.8,.Nmg所受到竖直墙的弹力 N 才沿杆的方向；当重物的悬点 P 沿 BC 方向逐渐向左移动时， ，杆所受的弹力 N 将随 角的减小先减后增 (这是三力平衡条件下六要素中重力 mg 大小、方向不变，绳的拉力 T方向不变，大小改变，而杆所受弹力 N 的大小、方向均匀变化时，当三力有交汇点沿轻绳移动到 D 点时弹力 N 的大小减至最小，以后又逐渐增大的情况 )，而弹力 N 的方向与轻杆的方向的偏离程度则越来越大。9.2 当轻杆受力沿杆的方向时，杆所受的力可
3、以是拉力，也可以是压力在图 2 中倾角为 的固定斜面上，两木块 A 和 B 间用轻杆相连，木 A 的质量为 m1, 其与斜面的动摩擦因数为 ；木块 B 的质量为 m2, 其与斜面的动摩擦因数为, 分析当两木1块共同沿斜面下滑时轻杆的受力，此时轻杆受拉力还是压力？，其方向必定沿杆的方向。设想轻杆既不受压力也不受拉力(即杆中无弹力作用) 的情况，由于这相当于 A、B 各自独立下滑且其加速度相等，根据 11sincos,ag可知，这只在 时才有可22 12AC POP=mg NTD 300 B图 1A B 图 22能；由此可见，当 时，是 A 拉 B，轻杆受拉力作用；当 时，是 B 推 A，轻121
4、2杆受压力作用。9.3 轻杆受力可以突变图 3 中将质量均为 m 的物块分别由轻弹簧 (甲)和轻杆( 乙)栓接后置于水平支持面上处于静止状态，此时轻弹簧及轻杆都受到上面的物块的压力作用，其大小均为 mg。在突然撤去支持物的瞬间，对于甲图由于轻弹簧所受的弹力不能突变，因此两物块及轻弹簧的受力情况和与撤去支持物前相比，上面的物块仍处于受力平衡状态，其加速度为零面的物块所受的重力及弹簧弹力与撤力前相比虽无变化，但水平面的支持力突然消失，因此其加速度 a=2g 向下；而被压缩的轻弹簧所受上面的物块大小 mg 的压力仍然不变，这显然是由于弹簧弹力的改变需要一定的时间的积累的缘故。而对比乙图，在撤去支持物
5、，两物块及轻杆共同开始自由落体的情况下，两物块及轻杆均只受重力，此时轻杆不再受压力或拉力的作用，与甲 图相比发生了明显的突变，这说明受力情况能否发生突变，也是轻杆与轻弹簧的重要区别。9。.4 轻杆与轻绳竖直面内圆周运动物理模型的对照比较轻绳小球模型在球位于最高点处绳的受力只能是拉力，小球至少具有临界速度；而轻杆小球模型在球位于最高点处杆的受力可以是压力，也可以是拉力，小VgR球不存在临界速度。这是由于在竖直面内的最高点处，运动小球所需要的向心力，对绳来必须大于或等于小球的重力，绳不可能支持小球，对应向心力仅由重力一个力提供时的速度即为临界速度；而在最高点处轻杆的受力则可能是压力或拉力，只要小球
6、VgR在最高点的速度略大于零，小球不可以借助惯性完成竖直平面内的圆周运动。依据机械能守恒定律不难求出，对于轻绳，球在最低点水事平速度至少应为 ，而对于轻杆这一速度则为 。5g2gR例如：一长为 2L 的轻杆，两端各固定一小球 A 和 B，球 A 的质量为 M，球 B 的质量为 m，且 Mm。过杆的中点有一水平光滑的轴，杆mmmm(甲) (乙)图 3T2 MgMT1mgmAB图 43可以绕该轴在竖直平面内以角速度 转动。当转到竖直位置时，若球 A 恰好处于其上端，球 B 愉好位于其下端，则此时轻杆对于固定轴的作用力方向一定竖直向上的条件是 .。在分别作出 A、B 两球的受力图(图 4)，可列方程
7、组：，由于只有 的条件下，轻杆对转动作用力的方向才一定竖直21TmgLM21T向上，因此： ，所以： 。22gmLMmgMmgL在最低点及最高点处轻绳所受的拉力大小之差 6mg (更确切的说应该是球所受的弹力的矢量和为 6mg)， 对轻杆来说依然适用。对于轻杆在最高点拉力 的情况与轻绳相同，此结论无须再证。现对于轻杆2VgR在最高点处受到的压力 的情况予以证明：图 5 中球在最高点 B 受杆的支持力大小为 N2，方向竖直向上；在最低点 A 杆受到的拉力大小为 N1，方向竖直向上。根据 ， 及2VmgNR21VmgR，消去 V1、V 2 后可得：221V，即2gg结论得证。126Nm借助此结论判
8、断杆受力情况的方法极为简便，例如：长 L=0.5m 的轻杆 OA 可绕 O 点在竖直平面内无摩擦地转动，A 端拉着一个质量为m=2kg 的小球，当小球位于最低点 A 时，杆对球的拉力为 116N，则小球转到最高点 B 时，小球对杆的作用力情况是：( )A拉力，4N； B拉力，16N； C压力， 4N； D。压力，16N。由于球的重力 mg=20N, 又由于在最低点处球受拉力 116N 向上，根据球在最低及最高位置处所肥的关联物弹力矢量和等于 6mg 的结论，球在最高点应受轻杆 4N 支持力的作用，即球对杆的压力为 4N，所以选 C。BN2V2mgN1mgV1O图 549。.5 铰链轻杆与固定杆
9、图 6 中插入竖直墙体的固定轻杆的 B 端有一小滑轮，重物 m 用轻绳系着并通过滑轮连接在墙面上的 A 点。在将绳的端点 A 缓慢向上移少许到 的过程中，若不计滑轮的质量A及一切摩擦，绳的拉力 F 的大小将保持不变，而轻杆在 B 端所受的压力的大小及方向较之移动前相比均发生了变化：通过作图计算都能给出 T 的大小逐渐减小，T 的方向逐渐接近水平的结论。(图 6-甲)而如果将固定的轻杆改为在 O 点与墙面铰接的轻杆( 仍不计滑轮的质量及一切摩擦 )，此时将 A 点沿竖直墙面缓慢上移到 时，由于轻杆的位置将随悬点的位置的改变而自行调整( 沿顺时针方向转过一角度)，在这种情况下虽然绳的拉力大小仍不变
10、，轻杆在B 端所受压力的大小将同样随两绳夹角的增大而减小(图 6-乙) ，但铰接杆所受的压力却始终沿杆的方向，这也是铰接杆与固定杆的显著区别之一。9.6 轻杆对物体的弹力可以对物体做正功，也可以对物体做负功如图 7 中倾角为 的光滑斜面上放有两个质量均为 m 的小球 A 和 B，两球用一根长为L 的轻杆相连，下面的小球 B 离斜面底端的竖直高度为 h，使两球从静止开始下滑。若地面光滑且不计转弯处的能量损失，求：两球在光滑水平面上的运动速度大小；在上述过程中，轻杆对 A、B两球所做的功。我们把两球从光滑斜面上滑至光滑水平面上的全过程分解为三个时间段：从两球由静止释放到 B 滑至转弯处。从 B 滑
11、志弯处到 A 滑至转弯处。 从 A 滑至转弯处以后开始两球在光滑的水平 面上的匀速直线运动。在不计一切摩擦及能量损失的情条件下，对于系统整体可写出始末状态对比的能量守恒方程： ，其解：21sinmghLmVOATB(甲)OAB (乙)图 6hABL图 75就是两球沿光滑的水平面共同匀速运动时的速度大小。现在设想解2sinVghL除 A、B 间的约束后，单独将 B 球从原位置处释放，B 的理论速度 比 V 小，可2Bgh见在转弯处轻杆的弹力在促进 B 球运动的过程中必定对 B 球做了正功，且；设想单独将 A 球从原位置释放，A 球的理论速度2211sinBbWmVgL比 V 大，可见在转弯处轻杆的弹力必定阻碍着 A 球的加速并对它siAgh做了负功，且 。在上述关联系统转弯的复杂过程(第221sinAAmgL二时间段)中，轻杆的弹力作为变力，其方向并不沿杆的方向( 这一点不同于例 2 的情况)，它所做的功也不可能通过功的定义去直接计算，只是由于这一对弹力(非耗散力) 对 A、B做功的代数和为零，才使得这一对内力做功传递的能量不影响系统整体的机械能守恒(此时系统内每一单个物体的机械能都不守恒)，这才给出了上述问题中借助间接方式求解变力做功的惟一解法。
