1、第一章 晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为 a。解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个 Na+和一个 Cl 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的原子和一个体对角线上的原子组成的原子对。由于 NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 123()()aajkij相应的晶胞基矢都为： ,.aibjck2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 与 ,如图所示。试写出123,4、 、 、 这四个晶面所属13OA31B25A56A晶面族的晶面指数 。hklm解：(1) 对
2、于 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：13， ，。所以，其晶面指数为 。212(2)对于 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：13AB， ， 。所以，其晶面指数为 。0(3)对于 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：， ， ， 。25 1所以，其晶面指数为 。10(4)对于 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：23456A， ， ，。所以，其晶面指数为 。013. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方： ；体心立方： ；面心立方： ；六角密集： ；金刚石：6382626。31证明：由于晶格常数为 a，所以：(1)构成简立方时，最大球半径为 ，每个原胞
3、中占有一个原子，2maR3426mVa3a(2)构成体心立方时，体对角线等于倍的最大球半径，即： ，每个43mRa晶胞中占有两个原子，33428mVa38a(3)构成面心立方时，面对角线等于倍的最大球半径，即： ，每个42mRa晶胞占有个原子，33426mVa36a(4)构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢 的长度的一半，由几何知识易知 。c 463mRc原胞底面边长为 。每个晶胞占有两个原子，2mR，3348mV原胞的体积为： 2 346sin082mR:23mV(5)构成金刚石结构时， 的体对角线长度等于两个最大球半径，即：14
4、，每个晶胞包含 8 个原子，324mRa334816mVa316a4. 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析的方法证明这一夹角为 。0928证明：如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常数为。选择体对角线 和 ，用坐标表示为 和ABCD1,。1,所以, 其夹角的余弦为： 1cos3:ar()09285. 试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为 a。解：如图所示，面 ABCD 即(110)面，面 CDE 即为(111)面。设该面心立方的晶格常数为a，则在(110)面内选取只包含一个原子的面 AFGD，其面积为 ，所以其原子
5、数面密度2a:为： 21a在(111)面内选取只包含一个原子的面 DHIG，其面积为： ，223()sin4a所以其原子数面密度为： 22143a6. 若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每个原胞内包含几个原子，设立方边长为 a。解：这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为：（个）183257. 底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子） 、侧心立方（立方顶角与四个侧面的中心处有原子）与边心立方
6、（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？解：这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为：底心立方： 18侧心立方： 432边心立方： 18第二章1. 由实验测得 NaCl 晶体的密度为 2.16g/cm3 , 它的弹性模量为 2.141010 N/m2 ，试求NaCl 晶体的每对离子内聚能 。 （已知马德隆常数 M=1.7476, Na 和 Cl 的原子量分别为 23cUN和 35.45）解：NaCl 晶体中 Na+和 Cl-的最近距离为 0r晶胞基矢长为 2 ， 一个晶胞中含有四对正负离子对0r一个原胞（一个 NaCl 分子）的体积为：=30v62
7、3(5.4)10mNNaCl 晶体中的正负离子的平衡间距为：802.1.rcnm由晶体体积弹性模量的公式：，240()36mMeBr并且由于 NaCl 晶体为面心立方结构，参数 =2，故由上式可得：4021mne=12941019236.4850(.80)1 .76.)=7.82由平衡时离子晶体的内聚能公式：， 20(1)4cNMeUrn将 n=7.82 代入得 NaCl 晶体的每对离子的内聚能为：20()ceNr=1922191.746(.0)()385.87.821.20J2. LiF 晶体具有 NaCl 结构，已由实验测得正负离子间的最近距离 =0.2014nm(1 摩尔的内0r聚能 1
8、012.8kJ/mol, 以孤立离子系统的内能为能量的零点)。试计算该晶体的体积弹性cU模量 ，并与它的实验植 进行比较。mB1026.7/Nm解： 由平衡时离子晶体的内聚能公式： ，其中 M=1.784201()4cNMeUrn计算 1mol 的内聚能时，N=Na=6.02 1023 ，且 =0.2014，计算得：n= 1024(1)crNe=99323123.850.4(0.8) 6.78.6)=6.33240(1)3mnMeBrLiF 晶体具有 NaCl 结构，将 =2，n =6.33, =0.2014 代入上式得：晶体的弹性模量0r为:= 7.242101 0 (N/m2)240(1)
9、36meBr相对误差为： 7.24.%7.93. 由气体分子的实验测得惰性气体 Xe 的伦纳德琼斯势参数在低温下 Xe 元素形成面心立方的晶体，试求 Xe 晶体的晶格常数0.2,.398eVnma,每个原子的内聚能 及体积弹性模量 Bm。若对 Xe 晶体施加压力 。cUN 82/610NmP试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算这些晶体的晶格常数 a 将变为多少？并求这时的内聚能 将变为多少？c解：原子间的平衡间距为 ： 01.9.03980.4rnm因结构为立方晶体，则晶格常数为： 2.61ra每个原子的内聚能为： 8.6.0.72cUeVN体积弹性模量： 3 9319752(81).6
10、0Bm=3.81109 N/m2由体积弹性模量的定义式可知： ()TPV因为：00lnVdPB 3Nr故 P 3lrm896103.0.4.42Beenmr晶格常数 2.5ra/1.09r内聚能 /612()8.475cUABN第三章1.一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色散关系。解：设第 个原子的势能函数为n2(0)12mnUx其中， 为与第 个原子的相距 的原子间的恢复力常数， 为晶格常数。则，第maa个原子的受力为nnFx(0)1)()(2mnnmnmxxx其中，利用了 。第 个原子的运动方程为nMF1(2)mnmnxx令其试解为 iqnatnxA
11、e代入运动方程得 212iqmaiMe21cos()14inmqa故， 221si()mM2. 聚乙烯链 的伸张振动，可以采用一维双原子链模型CHC 来描述，原胞两原子质量均为 ，但每个原子与左右的力常数分别为 和 ，M12原子链的周期为 。证明振动频率为a12122124sinqa解：单键及双键的长分别为 和 ，而1b212ab2121(,)(,)(,)(,)bnnnCHCH 原子 与 的运动方程分别为(,1)n,1 221(,),(,),21Mununnu令这两个方程的试解为 2()(,)iqnatbuAeB把试解代入运动方程得 1 22 12 21iqbiqbi iMeABeA有非零解的
12、条件为 12211 20iqbiqbiqbiqbeeM解得 22 212111212()() cos()0Mqb利用 ，方程的解为1ba12122124sinqa晶体中的衍射1. 试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。方法 1：面心立方：（1 ）123()()aajkij由正格子和倒格子的转换关系（2）1232132()/()/ba其中： 得：12()a（3 ）123()()bijkaijbijka在体心立方中（4）123()()ijaijkbij由（2）式可得（5）123()()jkaij比较（1）与（5） ， （3 ）与（4 ）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。方法 2：由方法一中的
13、（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系：2ijijab10ij,ij由此可得面心立方的倒格子基矢： 123()()kabijka同理可得体心立方的倒格子基矢： 123()bjkiaij比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。2. 为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l）的晶 面间距为,abc2221/(/)(/)(/)hkldakblc解： ,ij()abca由 知19(.7)p*2()/()/bcab可得： *22aibjck*2hkakblhijlkabc 再由 中 和 的关系： 可得：2phkld2/hhkld得222222()()()()()klhkl abchklabchd
14、 证。3. 设一二维格子的基矢 , , 夹角 a= ，试画出第10.5nm20.5an12与 0一与第二布里渊区。二维倒格子基矢 与正格子基矢间有如下关系：1b102,ijijijba ,ij解： 12.5;0.5anmanm令 1,i则 3iaj1 2233ijijbabjaa，1223baijbj令 。 则（ +）中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。晶格振动和晶体的热学性质1， 求一维单原子链的振动模式密度 ，若格波的色散可以忽略，其 具有什gg么形式，比较这两者的 曲线。解: 一维单原子链的晶格振动的色散关系为其中，sin2mqa2mM此函数为偶函数，只考虑 的情况，下式右边
15、乘 2。 区间振动模式数目0d:为 1()2lgddgra其中， 12cosmmqraq故色散关系为 122mlgaN其中， 为单链总长， 为晶格常数，因此， 为原子个数。l N若格波没有色散，既只有一个 （爱因斯坦模型） 。而且振动模式密度函 数2E g满足下面关系 gdN故， 为 函数E色散关系的曲线图如下：12g() g()=2N(m2)-1/g()=N(E)4. 金刚石（碳原子量为 12）的杨氏模量为 ，密度 。试估算120Nm 3.5gcm它的德拜温度 ?D解：德拜温度为 Bk将 ， ，代入上式1236DsNVY1236Bk123 134122323271.05606.4.5087.
16、5BYNKK 5. 试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。解：在德拜模型中，纵波与横波的最大振动频率均为 ，其中1236DsNV。3312sltV223,l tl tVgg纵波的零点振动能为 0DllUd2342316lDlV同理，两支横波的零点振动能均为02DttUgd23042316tDtV故，总的零点振动能为 00ltU44232323161698DDl tsltDVVNN7. 和 的原子量分别为 23 和 37。氯化钠立方晶胞边长为 ，在 方aCl 0.56nm10向可以看作是一组平行的离子链。离子间距 。 晶体的杨氏模量.28dnNaCl为 ，如果全放射的光频率与 的光频模频
17、率相等，求对应的光1025m 0q波波长（实验值为 ） 。6解：在一维双原子链模型中， 时，光频模频率为0q12102M杨氏模量为 2TLFdYAl故， 光波波长为 2cT121121254.6cMcdYm金属电子论1. 导出一维和二维自由电子气的能态密度。解：一维情形由电子的 Schrdinger 方程： 2dEmx得自由电子波函数解： 2dELLmzk 且有：2kE由周期性边界条件： 得：()(xL2kn在 到 区间： 2/kmEd22LLmdEZk那么： ，其中：1d()g11()g二维情形同上，由电子的 Schrdinger 方程： 2Em得自由电子波函数解： ，1()ieSkr2L且
18、：222()xykE由周期性边界条件：(,)(,)xLyx得： ，2Lxxknyyk在 到 区间：/mEd222()SLmLZkdE那么： 2dg其中： ()E2. He3 是费米子，液体 He3 在绝对零度附近的密度为 0.081 gcm 3。计算它的费米能EF 和费米温度 TF。解：He 3 的数密度： NMnVm其中 m 是单个 He3 粒子的质量。 112323Fk可得： 2223FkEm代入数据，可以算得：E F 6.857710 23 J = 4.28104 eV.则： 4.97 K.FTk5. 银是一价金属，在 T295 K 时，银的电阻率 1.61 106 cm ，在 T20 K时，电阻率 0.03810 8 cm。求在低温和室温时电子的自由程。银的原子量为 107.87，密度为 10.5 gcm 3。解：由可得：21FmVnel2Flne又： 00AAsNNMV其中 为阿伏加德罗常数， 为 Ag 的原子量， 为 Ag 的密度。将上式代As 0入 l 的表达式，并代入数据可得：当 T295 K 时，l = 3.7104 m,当 T20 K 时，l = 1.6 m.在计算过程中，已取 VF =106 m.
