1、1矢量三角形法则在物理解题中的应用夏显奇（云南师范大学 2011 级学科教学（物理）教育硕士）摘要：矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代，应用矢量三角形法则可以求解动态平衡问题，求物理量的极值及研究抛体运动，利用矢量三角形法则再结合数学知识，可以使很多物理问题迅速得到解决,而且非常直观显见、简捷。关键词：矢量三角形；动态平衡；极值；抛体运动；直观1. 引言矢量概念是高中物理教学中引进的重要概念之一，在物理中，将有大小和方向的量称为矢量，如力、位移、速度、加速度、动量、冲量等物理量都是矢量。平行四边形是一切矢量合成的普遍法则，在许多矢量合成与分解的问题中，尤其是一些动态变化的问
2、题，应用平行四边形法则导出的矢量三角形法则进行分析求解就显得很方便快捷。矢量三角形法则作图简单，线条较少，图象清晰，在讨论某些变化的矢量或矢量的增量时，有时比平行四边形法则更清楚、方便。矢量三角形不但可以处理力的问题，它同样可以处理与速度、加速度、动量等有关的矢量问题。2. 矢量三角形的建立2.1 矢量三角形 1oABC1F2 AC1F2oBC1F2o2在 图 1 甲中， 是共点力 和 的合力，构成平行四边形，F12F该平行四边形含有两个全等的三角形，每一个三角形都包含了三个矢量的大小和方向，因此，如果我们只取其中的一个三角形，如图1 乙所示，从 点出发，把代表 和 的线段 、 首尾相接地画O
3、1F2OAC出来，连接 和 ，从 指向 的矢量就表示合力 的大小和方向。CF上述作图法叫做力的三角形定则，其合矢量与分矢量的关系是：两个分矢量首尾相接，分矢量与合矢量首首相接，尾尾相接，作三角形 ，如图 1 丙所示，同样可以求出 和 的合力 。图 1 乙、OBC1F2F丙中矢量三角形的数学表达式为: 。122.2 矢量三角形 2三个力 、 、 使物体处于平衡状态，如图 2 甲，由力的平衡1F23知识知道， 、 的合力 与力 等大、反向，如果把 平移到3F3 3F的位置上，则构成如图 2 乙的三角形。图 2 乙中矢量三角形的数3学表达式为: 。若一个物体在三个共点力作用下处于平0321F衡状态，
4、则代表三个力的有向线段必定构成首尾相接的封闭三角形。3. 用矢量三角形解动态平衡问题力学中的动态平衡是指在控制某一或某些物理量不变的情况下，1F233 1F32图 1甲 丙乙图 2甲乙 丙3物体的状态发生缓慢连续的变化，在该变化过程中物体始终处于动态平衡。因此，我们也可以把动态平衡称为准静态平衡。3.1 常见动态平衡问题的分类3.1.1 三个参量不变高中阶段接触的力学动态平衡问题，一般物体只受三个力，分析这三个力的大小、方向总共六个参量中，大都会有三个参量不变。一般而言，三个不变的参量往往是一个恒力的大小和方向以及另一个力的大小或方向。3.1.1.1 一力为恒力，另一个力方向恒定情形三力中有一
5、个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定。如图 3 中 的大小和方向恒定，力1F的方向确定，三个力构成闭合矢量三角2F形，对应的就是物体所处动态平衡的相应状态。 的大小单调变化， 的大小变化2 3F不单调，存在极小值，且方向将变化。3.1.1.2 一力为恒力，另一个力大小恒定情形三力中有一个力确定，即大小方向不变，另一个力大小确定，这个力的方向及第三力的大小、方向变化情况待定。图 4 中若力 的大小确定，则2F的方向将变化， 的大小单调变化，2F3方向可能出现重复性。如果题目对力的角度加以限制，那么 的方向变化3 3F2F311F23图 3
6、的方向确定2图 4 的大小确定24也可能是单调的。因此，常规的动态平衡问题总体形态分布比较明确，抓住三个不变的参量，构建合理的力的矢量三角形，并抓住与状态动态变化相对应的特征物理量进行分析，就能使问题顺利得解。例 1 如图 5 所示，在“验证力的平行四边形定则”实验中，用、两只弹簧称把橡皮条上的节点拉到某一位置，这时两绳套、的夹角小于，现保持弹簧称的 示 数 不 变 而 改 变其拉力方向使 角减小，那么要使结点仍在位置，就应调整弹簧称的拉力大小及 角，则下列调整方法中可行的是（）增大的拉力，增大 角（）增大的拉力， 角不变（）增大的拉力，减小 角（）的拉力大小不变，增大 角解析：因为节点不变，
7、故左边橡皮条上的拉力大小和方向均确定，弹簧拉力 大小确定。AF如图 6 所示，取点为起始点，先作力的有向线段，以其箭头端点 为圆心，以大小不变力 的线段长度为半径作一圆，该圆的每O A条矢径均为力 矢量，从该圆周上各点指向点的各有向线段便是AF弹簧称的拉力 矢量，这样就画出了表示可能的三力关系的三角B形集合图，由图能很快得出正确选项为（） 、 （） 、 （） 。3.1.2 两个参量不变图 5图 65这样的动态平衡问题就很特殊。进一步分析可知，这两个不变的参量往往是某个力的大小、方向同时不变，即有一个力是恒力。恒力外的其他两力方向受条件（如空间方位、大小尺寸、运动轨迹等）的定性约束，从而可以判断
8、方向变化趋势，在这类特殊习题中，挖掘并正确解读这些信息对解决问题是至关重要的。3.1.2.1 三力中有一个力确定，即大小方向不变，另二力方向变化有依据，判断二力大小变化情况。例 2 建筑工人通过安装在楼顶的一个定滑轮，将建筑材料运送到高处，如图 7 所示，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人（未画出）要用绳 拉住材料，使它与竖直墙面总保持一定CD的距离 。若不计两根绳的重力，在建筑材料被提起的过程中，绳l的拉力 和绳 的拉力 的大小将如何变化。AB1F2F解析： 点在拉力 、 和 (材B1F2料对 点的拉力，大小等于材料的重力)3 个力作用下处于动态平衡状态，在建筑材料提起的过程中，的
9、大小和方向不变， 和水平方F1F向间的夹角逐渐减小， 和水平方向间的夹角逐渐增大， 点受力2 B情况用矢量三角形如图 7 乙所示，从图中可以看出， 、 都在增12大。3.1.2.2 一力为恒力，另两力夹角恒定情形恒力外的其他两力方向变化趋势确定，且方向间存在定量的约束关系，两力夹角始终不变。BCl 12F乙甲 图 76例 3 如图 8 所示，物体 用两根绳子悬挂，开始时绳 水平，GOA现将两绳同时顺时针缓慢转过 ，90转动过程中始终保持 角不变（） ，且物体始终静止。设绳90的拉力为 ，绳 的拉力为 ，OA1TOB2T则在此旋转过程中(A) 先减小后增大1(B) 先增大后减小T(C) 逐渐减小
10、2(D) 最终变为零解析： 、 的合力 的大小、方向两个参量是不变的，在绳子1T2T从水平到竖直的顺时针转动过程中，设绳 与竖直方向的夹角OA OA为 ，则 ，且不断减小。选取绳子在转动过程中的任一状09态，并构成如图 9 所示的力的矢量三角形 。由于两绳夹角 不1C变，其余各角如图 9 所示。由几何知识可知，力的矢量三角形的三个定点 、 、 位于同一圆周上， 是长度、位置均不变的固定C1AOO弦，因此所对的圆周角 大小也不变（角大小为 ） ，且小于CA1，如图所示。依据题意， 沿圆周从水平方向缓慢转到竖直位置90的过程中，弦 的长度先边长再变短，当弦恰好为直径时最长，此O1时三条弦恰好构成直
11、角三角形，表明力 的大小先变大后变小，存1T在着极大值 ；弦 一直变短，当弦 与弦 重合时，弦GsinCA1 CAO为零，即表明力 的大小一直减小，存在的极小值为零。CA1 2T3.1.2.3 一个力恒定不变，另外两个力的大小方向均发生变化图 8图 9乙甲7例 4 光滑半球固定在水平面上，悬点 处有一大小不计的定滑O轮，如图所示，小球在一穿过定滑轮的绳子的拉力作用下，沿半球面缓慢上滑一段距离。则半球对小球的支持力 和细绳对小球的拉N力 的大小将如何变化。T解析： 在小球沿半球面缓慢上滑过程中，除重力大小和方向之外的四个参量都可能变化，但小球在上滑时，绕半球的球心 在转动，O长度始终不变是该题的
12、重要特征。依题意知，与恒定的重力对应OA的竖直边 长度一定，且其余的对应边都互相平行或共线，将力的矢量三角形与几何三角形类比，对应边成比例。如图 10 所示，由三角形相似关系得 。由于半球的半径 长度不变，绳AOTNG OA长 逐渐变短，故支持力 大小不变，拉力 变小。AOT4. 用矢量三角形求物理量的极值求物理量的极值是中学物理中较常见的一类问题，求解方法很多。利用矢量三角形求物理量的极值，较其它方法有更为直观、简捷的优点。如果能熟练运用它，不仅节省时间，而且不容易出现错误。例 5 质量为 的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦m因素为 ，欲使物体匀速向右运动，求拉力 的最小值？F图 1
13、0甲 乙8解析：当物体匀速滑动时，物体受个力而平衡（如图 11 所示）。 和 正交，其合力为 。在 、 和 三力构成的矢量三角NFf F合 mgF合形中，当 和 正交时， 取最小值。由图可知：合， (1)tanfN2tansi1而 ，故 (2)minsiFgmin2Fg力与水平方向的夹角 arct例 6 表面光滑的均质球重 ，置于倾角为 的斜面上，如图g12 所示。当挡板与斜面的夹角 为何值时，挡板对球的作用力有极小值。解析： 图 12 所示球受三个力的作用，用三力平衡作矢量图。从矢量三角形可看出，当 与 正交时， 取极小值。即 时， 2NF12NF2。 (3)2minsiNFgFfFmgNv
14、 NFmg合mg2NF1 mg2NF1N图 11甲 乙图 12乙甲9例 7 把重为 的物体放在倾角为 的斜面上，物体与斜面间的mg动摩擦因数为 。若使物体沿斜面向上滑动，求拉力的最小值。解析：当物体沿斜面匀速向上滑动时 受力如图 13 所示，物体受 、 、 、 4 个力。根据力的平衡条件，做矢量图， 与mgNFf NF正交，合力为 。在 、 和 三力构成的矢量三角形中，当f 合 Fmg合和 正交时， 取最小值。合则 。 (4)minsi()Fg因 ，故 。 arctminsi(arctn)Fg(5)例 8 水面上有 、 两船， 船以速度 沿 直线，从 点如ABAAvMNP图所示方向匀速航行，同
15、时船从距直线为 的 点匀速追BdQ赶 船， 。若能赶上 船，APLA求 船的最小速度。解析：根据速度矢量的合成，若取船为参考系，则把船看成静止的。要使船匀速追上船，船相对船的速度必须从指向。设船的对地速度为 ，作船的速度矢量BvD船 B船AvBQdLPNgFNfFmgFNf合图 13乙甲图 1410三角形如图 14，只有当 与正交时， 才取极小值。BvBv故： (6)minsiBAAdvL方向： ，即图中 的方向。arcQD5. 用矢量三角形法研究抛体运动根据物体在刚抛出时的速度方向不同，抛体运动分为平抛运动和斜抛运动，描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，抛体运动是高中物理教学的
16、重点,是曲线运动的重要形式之一。在处理抛体运动问题时，学生往往是死搬硬套位移、速度大小公式，而忽视了它们的方向。实际上从它们的方向这一角度去处理抛体运动问题，会使问题迎刃而解，思路变得简单而又清晰。为此抛体运动中的位移矢量三角形、速度矢量三角形，值得老师和同学们高度重视。下面就几个例子说明这两个矢量三角形及其应用。抛体运动是匀变速运动，加速度恒定，为重力加速度 。由于位g移矢量和速度矢量随时间变化，所以通常解题时需要先确定研究的位置（状态） ，再根据平行四边形定则得到两个矢量三角形，即位移三角形和速度三角形。图 15 为平抛运动，图 16 为斜抛运动时的情形。Oylxvxy lxy位 移 三
17、角 形 vyx速 度 三 角 形11例 9 如图 17 所示，从倾角为 的斜面顶端，以初速度 水平=45 0v抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，则小球抛出后离开斜面的最大距离是多少？解析：此题常见的解决方法是分解法，即将小球的初速度和加速度沿斜面和垂直于斜面分解。这样分解比沿水平方向和竖直方向分解要简单。该解法见诸各种资料，此不赘述。下面从分析抛体运动的两个矢量三角形的方法解此题。由题意分析可知，当物体的速度方向平行于斜面时，离斜面最远。经过时间时作物体的位移矢量三角形和速度矢量三角形，如图 17，在位移矢量三角形中有 20tangtv(7)在速度矢量三角形中有 (8)0tangtv将
18、代入式（7） 、 （8 ）得rxy0vt2gtv0位 移 三 角 形0vt2gr速 度 三 角 形0vgtv0vt21gdl0vt图 15图 16图 17O0v120vtgtan0.5由几何知识有(9)0sin()covtd代入数据得(10)204vdg例 10 如图 18 所示，大炮在山脚直接对着倾角为 的山坡发射炮弹，炮弹初速度为 ，要在山坡上达到尽可能远的射程，则大炮的0v瞄准角 应为多少？最远射程有多少？（不计空气阻力）解析：此题常见解法是把速度与加速度沿斜面和垂直于斜面分解，建立两个方向的运动学方程求解。下面利用抛体运动的两个矢量三角形来解此题。如图 18 所示，作炮弹运动的位移矢量
19、三角形。由正弦定理有 (11)201sinsin()i()2gtvt l取前一个等号并化简得 0icosvtg0v0vl20vt21gt()图 1813代入第二个等号并解得20sinco()covlg(12)20sin()icovg由式可知，当 即 时，得42(13)20max1sincovlg例 11 从高处斜向上抛出一初速度大小为 的物体，讨论抛0v出角 为多大时，物体落地的水平位移最大。 （不计空气阻力）解析：例 10 用到了位移矢量三角形，本题尝试用速度矢量三角形来讨论。设落地时速度大小为 ，作速度矢v量三角形，如图 19 所示由动能定理，易得 的大小 (14)v20vmgh设矢量三角
20、形的面积为 ，则 (15)s1cost式中 即为物体水平方向的位移 因此，只需考虑何时矢量三0cosvtx角形有最大面积即可。由于三角形面积也可以写成 (16)01sin()2v因 ， 的大小确定，则当 时， 有最大值。0v 此时 (17)002arctnrtavvgh由面积相等 01sgxh0vgtv0v图 1914得水平位移最大值为 (18)20vghx6. 结论矢量运算在力学中占有重要的地位，利用矢量三角形法则可以使很多物理问题迅速得到解决,而且非常直观，矢量三角形法则在中学力学中应用广泛。加强矢量运算的教学，可加深学生对概念意义的理解和对规律的认识，培养学生的思维能力，为进一步深入学习打下良好的基础。参考文献1 赵凯华,罗蔚茵.新概念物理教程力学M.北京:高等教育出版社,1999.35-63.2 左华荣,陆中权. 高中物理疑难解析手册M.四川:四川辞书出版社,2008.12-20.3 单文忠.巧画圆解动态受力平衡问题J.物理教师,2012,33（2）：24-25.4 李代权.矢量三角形法在中学力学中的应用J.物理通报,1997,11:17-19.
