1、第 1 页 共 7 页习题 55-1如图，一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m2和 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为 2/mr，将由两个定滑轮以及质量为 2和 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程： aTg2212()rJ1a， 2/m联立，解得： ga4， gT81。5-2如图所示，一均匀细杆长为 l，质量为 m，平放在摩擦系数为 的水平桌面上，设开始时杆以角速度 0绕过中心 O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停
2、止转动。解：（1）设杆的线密度为： lm，在杆上取一小质元 dmx，有微元摩擦力：dfmgdx，微元摩擦力矩： Mg，考虑对称性，有摩擦力矩： 2014lxl；（2）根据转动定律dMJt，有： 00tdJ，20114mgltl， 3lg。或利用： 0tJ，考虑到 ，21Jml， 有：03lg。5-3如图所示，一个质量为 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 M、半径为 R,其转动惯量为 2/MR，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。解：受力分析如图，可建立方程： mgTaJRa，21联立，解得：gaM， 2mgT，考虑到
3、dvt， 0vtdt，有： 2gtvM。5-4轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 4/，均匀分布在其边缘上，绳T第 2 页 共 7 页子 A端有一质量为 M的人抓住了绳端，而在绳的另一端 B系了一质量为 4/M的重物，如图。已知滑轮对 O轴的转动惯量 4/2RJ，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 B端重物上升的加速度？解一：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 AaTg1人 BM42物JR1滑轮由约束方程: RaBA和 4/2MJ,解上述方程组得到 2ga.解二：选人、滑轮与重物为系统，设 u为人相对绳的速度， v为重物上升的速度，注意到 为匀速，0dt，系统
4、对轴的角动量为：213()()44MLvRuvRvuBAR()体 人物 物 体而力矩为：1gg，根据角动量定理 dtLM有： )23(4MuRvdtR， 2ga。5-5计算质量为 m半径为 的均质球体绕其轴线的转动惯量。解：设球的半径为 R，总重量为 ，体密度 34m，考虑均质球体内一个微元： 2sindrd，由定义：考虑微元到轴的距离为 2(sin)Jrdm，有：220isinRr501(co)rd25mR。5-6一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数 40/kNm，当 时弹簧无形变，细棒的质量 kg0.5，求在 0的位置上细棒至少应具有多大的角速度 ，才能转动到水平位置
5、？解：以图示下方的三角桩为轴，从 9时，考虑机械能守恒，那么： 0时的机械能为：第 3 页 共 7 页2()(2)13lmgml（重 力 势 能 转 动 动 能 ），09时的机械能为： kx有：22ll（ ）根据几何关系： 15.).0(x，得： 128.3srad5-7如图所示，一质量为 m、半径为 R的圆盘，可绕 O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心 C 和盘缘 A 点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。解：（1）设虚线位置的 C 点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，有：2JmgR，而2213mR 3434vc6Agv（2）
6、273yFg（ 重 力 ） （ 向 心 力 ），方向向上。5-8如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分别为 和 m2的小球，杆可绕水平光滑固定轴 O在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为 l1和 轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为 m的小球，以水平速度 0v与杆下端小球 m作对心碰撞，碰后以 02v的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。解：根据角动量守恒，有： 220021()()333llmvlv有：204()9lv0l5-9一质量均匀分布的圆盘，质量为 M，半径为 R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其中心 O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘
7、静止，一质量为 m的子弹以水平速度 v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过 的竖直轴的转动惯量为21MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解：（1）利用角动量守恒： 221mRMvR得：2()mvMR；（2）选微分 dr，其中：面密度 2，第 4 页 共 7 页203Rf MMgrdmrdrgR由 ftJ有：21()0tm，知：24g将mMRv代入，即得：32vtMg。5-10有一质量为 1m、长为 l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕通过其端点 O且与桌面垂直的固定光滑轴
8、转动。另有一水平运动的质量为 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端 A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 1v和 2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕 点的转动惯量213lmJ) 解：由碰撞时角动量守恒，考虑到 1v和 2方向相反，以逆时针为正向，有：22123mvllvl，得： lm)(3又细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得： 110lfMgxdgl，利用 fdMJt，有：2103t ldm，得：21()3vltgm。5-11如图所示，滑轮转动惯量为 k0.，半径为 c7；物体的质量为 kg5，用一细绳与劲度系数 N/2k
9、的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解：（1）设弹簧的形变量为 x，下落最大距离为 max。由机械能守恒：2maa1kg，有：max20.49gk；（2）当物体下落时，由机械能守恒：2221kxvJgx，考虑到vR，有：2211xmRJg，欲求速度最大值，将上式两边对 求导，且令0dx，有：21()dkxmJgx，将 x代入，有： )(245.mk，当 0.45m 时物体速度达最大值，有：第 5 页 共 7 页22max1()gkxvJr，代入数值可算出： max1
10、.3/vs。5-12设电风扇的功率恒定不变为 P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度 成正比，比例系数的 k，并已知叶片转子的总转动惯量为 J。 （1）原来静止的电扇通电后 t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解：（1）已知 fMk，而动力矩 M，通电时根据转动定律有： fdJt代入两边积分有： kPdt02，可求得：)1(2tJkeP；（2）见上式，当 t时，电扇稳定转动时的转速： k稳 定；（3）断开电源时，电扇的转速为 0k，只有 fM作用，那么：dkJt，考虑到dt，有： 00dJ，得： 0JPk。5-1
11、3如图所示，物体 A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为 ，细绳的一端系住物体 A，另一端缠绕在半径为 R的圆柱形转轮 B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以 0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体 A的速度多大？物体 运动后，细绳的张力多大？解：（1） 在细绳刚绷紧时获得一个冲量，得到速度，但此时无位移，摩擦力不做功，系统的机械能守恒： 22201AJmv，其中 AR，21Jm，可算出：3AvR；（2）物体 运动后，由牛顿定律： Tga，考虑到 JT， a可求出：13mg。5-14. 质量为 的小孩站在半径为 R、转动惯量为 J的可以自由转动
12、的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为 v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度 为多少？解：此过程角动量守恒： 0vJ，有： mRvJ。5-15以速度 0v作匀速运动的汽车上，有一质量为 （ 较小） ，边长为 l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面 A边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱 A边所受的支反力。第 6 页 共 7 页解：（1）角动量守恒： 203mllv，034vl根据转动定律 2g，g；（2）如图，支反力 x
13、CxNa，而：00cos45csCxnta 0o45Ctm。【注：如图，对于立方体绕 z轴的转动惯量，有：2 220()3lJxydxyll】思考题5-1一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量 1m和2m的物体 ( 1 2)，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？解： aTg11（1）22（2）JrT)(21（3）a（4）联立方程可得 1、 2T， 1 。5-2一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 O以角速度 按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度
14、怎样变化？ 答：增大5-3个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒；（C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。答：（C）5-4在边长为 a的六边形顶点上，分别固定有质量都是 m的 6 个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴、在质点所在的平面内，如图 所示；（2）设转轴垂直于质点所在的平面，如图 b所示。答：以为轴转动惯量 29maJ；以为轴转动惯量 23maJ；以为轴转动惯量 5.7。5-5如图
15、 a所示，半径分别是 1R和 2、转动惯量分别是 1和 2J的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？yxzCtaAnxN第 7 页 共 7 页答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为 0。由 201J，有小圆柱的最终角速度为：。5-6均质细棒的质量为 M，长为 L，开始时处于水平方位，静止于支点 O上。一锤子沿竖直方向在dx处撞击细棒，给棒的冲量为 0Ij。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。
