1、1物理学中的最值问题安徽省长丰县下塘中学 杨机庭关键词：最值、三角函数、均值不等式、求导摘要：针对物理学要培养的思维能力及学生在实际学习中存在的问题，笔者结合具体的物理实例和相关的数学知识，详细分析如何根据物理情境选择合适的方法，来进行最值问题的解答。可高效地培养学生发散性的思维能力。物理学中经常涉及到临界条件的最值问题，多数学生因不能根据具体问题找到恰当的方法来巧妙地解答，而教师往往只给出特殊值，不详细解释个中原因，使学生只知其然不知其所以然，仍一头雾水；再遇到相关问题，仍不知如何解决。这必然成为学生能力提升和发挥的瓶颈。笔者总结发现，解决这类问题的关键是根据具体的情境列出所求量的表达式，再
2、进行数学处理解出所求结果。这类问题都有固定的几种解法。下面逐一列出，仅供参考。1与力类似的矢量（如 E、B 等）多用三角函数求最值。 O 例 1.如图质量为 M、带电量为+Q 的点电荷 T 用细线系于 O 点,现将其置于某匀强电场中， E其可从最低处摆置与竖直方向成 角而静止，则场 强的最小值为多大，方向如何？解析：设场强与竖直方向的夹角为 （不要设与悬线间的夹角，因悬线不固定） ，细线对电荷的拉力为 T。在最高点时受力平衡,由共点力平衡条件得：Tcos+QEcos=Mg,Tsin=QEsin联立解得 E=Mgsin/Qsin(+)可见当 +=90时，即 E 垂直悬线时 E 最小。最小值为 E
3、=Mgsin/Q。【小试牛刀】1.如 图所示，通电导体棒 ab 质量为 m=0.2kg、长为L=1.0m，水平地放置在由两金属导轨形成的倾角为 =37的光滑斜面上，通以图示方向的电流，电流强度为 I=3A，要求导体棒 ab 静止在斜面上。 (cos37=0.8,sin37=0.6,g=10m/s2)求：(1)若磁场方向竖直向上，则磁感应强度 B 为多大？(2)若要使磁感应强度最小，则磁感应强度的大小、方向如何？2.如图所示倾角为 的斜面上有一质量为 m 的光滑金属球，其下固定一挡板。求挡板与斜面间的夹角 为多大时，其受到的压力最小 。 2二.对于一些标量或方向确定的矢量多利用均值不等式（a+b
4、2 ）或完全平方式【(a-b) 20】 求解ab例 2.如图所示，已知电源电动势 E=20V，内阻 r=l，电路中标有“3V,6W”的灯泡 L 和阻值为 3.5 的定值电阻R0,可变电阻 R 的阻值为何值时，其消耗的功率最大，最大功率是多少？（灯泡电阻保持不变）解析：灯泡额定电流 I 额 =P 额 /U 额 =6W/3V=2A；灯泡电阻 RL=U 额 /I额 =3V/2A=1.5；由闭合电路欧姆定律可得：P R=E2R/(R+RL+R0+r)2=400/（R+ +12）R36由 a+b2 得当且仅当 R= 时，即 R=6 时 PR 取最大值 50/3abR36【一展身手】1.平直的公路上有甲、
5、乙两辆轿车。当一车从静止开始以 5m/s2 的加速度做匀加速直线运动时，其前方 300m 处的甲车正以 25m/s 的速度做匀速直线运动。求当乙车的速度多大时（或经多长时间）两车相距最远，最远距离是多少？2.小亮站在水平地面上，手持不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 M 的小球。甩动手腕，使小球在竖直平面内做圆周运动。当某次运动到最低点时绳突然断了，球飞 行水平距离 L 后落地，如图所示。已知握绳的手离地面的距离为 d,手与球之间的绳长为 3L/4,重力加速度为 g.忽略 L手的运动半径和空气阻力。求： (1)绳断时球的速度大小 v1和球落地时的速度大小 v2；(2)绳能承受的最大拉力为
6、多大？ L(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？3.（2014 合肥三模第 20 题）如图，一小球从光滑曲面由静止释放，离开轨道末端后做平抛运动，最后撞到离轨道末端水平距离为 d 的竖直墙壁上，要使小球撞到墙壁时的速度最小，小球由静止释放的高度 h 为A.d B.d/2 C.d/3 D .2d此外，诸如某固定电源，当负载阻值为多大时其输出功率最大，也用此法。33导数法求最值（导函数 f（x）=0 时取最值） 。所求量的表达式含有变量的多次幂或多种形式时更适用。例 3 每年的 7、8 月份是长江的主汛期，期间江水流速较大。去年 8
7、月的某日，江水的平均流速是 15m/s，某机帆船在静水中航速为12m/s，要从江北的安庆到对岸的东至县去执行任务。此处江面的平均宽度为 840m 且两边江岸较直。要使此船在渡江过程中位移最小，应如何渡江？解析：设船头与上游（或下游）河岸的夹角为 ，分别以 v1、v 2、d表示题中三个已知量。则有下列关系式：渡江时间 t=d/v2sin， v2 船向下游漂流距离 s=（v 1v 2cos）t， x船的位移 x=d2+s21/2=d2+(v1v 2cos)d/v2sin21/2。 v1对变量 进行求导得x=dv1v2sin2(v 12+v222v 1v2cos)cos/v2sin2(v12+v22
8、2v 1v2cos)1/2；当 x=0，即v1v2sin2(v 12+v222v 1v2cos)cos=0时 x 取最小值，此时 cos=v2/v1=0.8。因此渡江过程中，船应保持与上游河岸的夹角为 37。位移 xmin=d(1+v12/v22)1/2。【马上出招】1.将例 2 用求导法求解； 2.两个带电量均为正（或负）Q 的点电荷相距 2L 的距离时， x其连线中垂线上某点到中点 O 的距离为 x。求 x 为何值时该点的电场强度 E 最大，最大值是多少？ Q O Q（设此点和 Q 的连线与 OQ 的夹角为 L求出 的临界值 ,再求 x。x= L/2 时，E max=4 kQ/9L2） 23
