1、1 一、质点运动的投影 第四章振动 我们观察到的实际上只是直线运动的影像，虽然能观察到最小的速率 为零 ，但是无法得知最大速率。 4.1 简谐振动的运动学 1. 匀速直线运动： 2. 水平抛体运动： 我们观察到的实际上只是抛物线形的影像，虽然能观察到最窄的曲线 直线 ，但是无法得知最宽曲线。 3. 匀速圆周运动： 我们观察到的实际上只是椭圆曲线的影像，虽然能观察到最窄的曲线 直线 ，但是无法得知最宽曲线。2 二、简谐振动 1. 旋转矢量：绕定点以恒定速率旋转的定长矢量。 ) cos( 2 t A v a x x ) sin( t A x v x t x ) 2 / cos( t A v x )
2、 cos( 2 t A a x n x ) 0 ( A t ) (t A 2 | | r n a r | |v ) cos( t A x 2. 简谐振动：物理量（如位移）随时间的变化规律符合 余弦 函数或 正弦 函数的运动，称为简谐振动。3 四、三个辅助量 三、三个特征量 1. 相位：旋 转矢量的夹角；决定投影大小。 ) ( t 2. 周期：矢 量旋转的周期；投影变化周期。 / 2 T A 1. 简谐振动的振幅 简谐振动的最大位移，实际是旋转矢量的不变长度。 2. 简谐振动 角频率 3. 简谐振动的初相 3. 频率：每 秒旋转的次数；每秒重复次数。 2 / 简谐振动的恒角频率，实际是旋转矢量的
3、恒角速度。 简谐振动的初始相位，实际是旋转矢量的初始夹角。 ) cos( t A x4 3. 相位超前落后： 五、同频相位差： 1 2 1 2 ) ( ) ( t t 2 2 2 3 1. 二者相位 相同 ： ) , 1 , 0 ( , 2 1 2 k k 2. 二者相位 相反 ： ) , 1 , 0 ( , ) 1 2 ( 1 2 k k | | | | , 0 , 0 1 2 2 / 3 如 不能说振动二超前振动一 2 / 3 应该说振动二落后振动一 2 / 或者说振动一超前振动二 2 / ) 2 / cos( t A v x ) cos( 2 t A a x n 称速度超前位移 2 /
4、加速度超前速度 2 / 5 2. 对初相 为正 的振动，样板曲线的纵轴 向右 平移。 3 2 3 2 六、快速做图法： 1. 选择 零初相 曲线为 样板曲线 ，样板曲线要 高开 。 3. 对初相 为负 的振动，样板曲线的纵轴 向左 平移。 例题： 快速画出的振动曲线。 ) 3 / 2 cos( t A x t t x x ) 0 ( A 6 0 2 x x 4.2 简谐振动的动力学 ) cos( 2 t A x v a 1. 简谐振动的速度： 3. 由初始条件求解： 2. 简谐振动的加速度： 2 0 2 0 ) ( v x A ) ( tan 0 0 1 x v 一、简谐振动的动力学方程 2
5、1 T 固有周期 由振动系统确定，振幅由振动的能量确定两者属于物理特性；初相与时间零点的选择有关。 位移与外力正比反向 回复性 。 sin , cos 0 0 A v A x ) sin( t A x v ) cos( t A x7 1. 弹簧振子： m k / 二、简谐振子的种类 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 v m v m x k x k x d x k A x x 2 2 0 2 1 2 1 A k mv E E E p k x k ma f 0 ) / ( x m k x ) ( sin 2 1 ) ( sin 2 1 2 1 2 2 2 2
6、2 2 t A k t A m v m E k 2 2 1 x k E p ) ( cos 2 1 2 1 2 2 2 t A k x k E p E x k E A A o p E T b a dt t f T x x f a b x f 0 ) ( 1 d ) ( 1 ) ( 2 2 0 4 1 4 1 2 1 A k mv E E E p k o x8 弹簧的并联： 弹簧的串联： 弹簧振子的倾斜： ) ( 2 1 2 1 k k m k k m k 2 2 1 1 x k x k x k f 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k f k f k f x x x 1 1
7、,x k ox 2 2 ,x k 1 1 ,x k ox 2 2 ,x k x k x k x k f 2 1 m k k 2 1 9 2. 扭摆： 周期可以测量，故扭转常数和转动惯量可以互测。 m 2 粗圆盘受外力矩作用转过一小角度时，细圆杆就会在粗圆盘上施加回复力矩。 M 比例系数称扭转常数。 0 ) / ( J J M / 2 J T 1798年卡文迪希依此测引力系数： 2 8 10 8 s m kg 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 J J d A J / ) cos( t m10 3. 复摆： mgr mgr M , sin 周期可以测量，故质心
8、位置和转动惯量可以互测。 o c g m r 特别对于单摆 g l mgl ml T 2 2 2 刚体受外力作用沿水平轴转一小角时，质心重力就会在刚体上施加回复力矩。 o g m l / 2 J T J / ) cos( t m 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 J J d A 0 ) / ( J J M11 4. 万有引力： 计算近地圆周轨道上卫星的运行周期。 min 6 1 . 84 T s GM R k m T 5050 / 2 / 2 3 R GM v R GMm R v m / 2 2 min 6 1 . 84 / 2 / 2 3 GM R v
9、R T 物体在均质地球内一光滑隧道运动时，万有引力就会在该物体上施加回复力。 地球内部的任何光滑隧道与地表同步! x k x R GMm R r r GMm f 3 3 3 2 cos 12 5. 摩擦力： g l k m T 2 2 1 l g m k x k f x l mg N N f f f ) / ( ) ( 2 1 2 1 l mg k l o x 2 N 1 N l g m x 由质心转动 由质心平动 2 1 ) ( ) ( N x l N x l mgx N N x N N l ) ( ) ( 2 1 2 1 6. 浮力：排开流体重量 x k x S F ) ( x k x g S F ) 2 (
