1、构建复合运动模型 解析物体运动问题抽象物理模型是解答物理问题的关键在对简单问题进行模型化处理时，常可把它抽象为一个已知的物理模型，然而在对某些比较复杂问题进行模型化处理时，常常通过联想旧模型、创造新模型来构建复合模型（或称模型链）.构建复合物理模型能将复杂问题转化为简单问题的组合，使问题得到顺利解答.本文通过结合具体教学实例就如何构建复合运动模型来巧解物理竞赛中复杂运动问题. 一、构建直线运动和圆周运动的复合运动模型1.构建同一平面内直线运动和圆周运动的复合运动模型，解答摆线运动问题 例 1 如图 1 所示，一质量为 m、带电量为q 的小球从磁感应强度为 B 的匀强磁场中A 点由静止开始下落，
2、试求带电小球下落的最大高度 h 图 1分析与解 可以证明这个问题中带电小球运动轨迹是比较复杂的摆线，对高中学生而言从合运动角度分析这个问题比较困难.现构建小球有两个大小相等、方向相反的水平初速度 v 、v 2 ，所构建的这两个分运动与小球原有初始运动条件等效.现使小球的分运动v 产生的洛伦兹力为 qv Bmg 则 v mgqB，因而小球的运动可视为沿水平方向以速度 v 做匀速直线运动和在竖直平面内以速度 v2 做逆时针方向的匀速圆周运动的合运动.匀速圆周运动的半径 Rmv 2 qBg（mqB） 2，因而小球在运动过程中下落的最大高度为 m22g（mqB） 2. 通过构建匀速直线运动和匀速圆周运
3、动复合模型，巧妙地解答了这个复杂问题. 2.构建不同平面内的直线运动和圆周运动的复合运动模型，解答螺旋运动问题 例 2 如图 2 所示，两个平行板内存在互相平行的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，方向竖直向上，磁感应强度为 B.在平行板的右端处有一荧光屏 MN，中心为 O，OO既垂直电场方向又垂直荧光屏，长度为 L.在荧光屏上以 O 点为原点建立一直角坐标系，y 轴方向竖直向上，x 轴正方向垂直纸面向外.现有一束具有相同速度和荷质比的带正电粒子束，沿 OO 方向从 O点射入此电场区域，最后打在荧光屏上若屏上亮点坐标为（ L3，6），重力不计.试求：（1）磁场方向；（2）带电粒子的荷质比.图 2
4、分析与解 带电粒子在相互平行的匀强电场与磁场中运动为比较复杂的三维运动（螺旋线运动），根据力和运动独立作用原理，可以把此螺旋运动构建为 y 轴方向上的加速直线运动和 xOz 平面内的匀速圆周运动的复合运动模型.在 xOz 平面内构建出如图 3 所示的几何图景，由图 3 运用物理知识和三角形知识可得：磁场方向竖直向上，且图 3R2 L3， sin 2， 6.粒子在磁场中运动的时间为 t6m（3qB），结合 yEqt 2（2m）6 得粒子的荷质比为 qmE 2（3B 2L）. 二、构建简谐运动和圆周运动的复合运动模型 1.构建简谐运动和圆周运动的复合运动模型，巧解“狗追击狼”的问题 例 3 如图
5、4 所示，一只狼沿半径为 R 的圆形轨道边缘按逆时针方向匀速跑动当狼经过 A 点时，一只猎狗以相同的速度从圆心 O 点出发追击狼设追击过程中，狼、狗、O 点始终在同一条直线上问：狗沿什么轨迹运动?在何处追上狼? 分析与解 由于狗、狼、O 点始终在同一条直线上，狗与狼沿运动轨道的切向的角速度相等，因而可以把狗的运动构建为径向运动和切向圆周运动的复合运动.设当狗离开圆心距离 r 时，狗的径向速度为 vr，切向速度为 vt,则图 4v trv r，由图 4 可知 v r 由此可知，狗在径向相对圆心 O 做简谐运动，狗的运动为径向简谐运动和切向圆周运动的复合运动.由简谐运动知识可知 rsint，任意时
6、刻狗的直角坐标为 xrcos，yrsin，结合 t，得 sintcost（12）sin（2t）， ysin 2（12）1cos（2t），因而得狗的轨迹方程为 x 2（y2） 2（2） 2 即狗的轨迹为一个半径为 R2 的圆，在圆形轨道的 B 点追上狼. 有关例 3 问题在很多参考书上有各种不同解法，笔者认为上述运用构建圆周运动和简谐运动的复合运动模型的方法解答此问题最简捷. 2.构建简谐运动和圆周运动的复合运动模型，巧解“有心力作用”问题 例 4 如图 5 所示，两个同轴的带电无限长半圆柱面，内外圆柱面的半径分别为 a、b.设在图中 arb 区域内只有径向电场，电势分布为 Uklnbr，其中为
7、常量.由此电势分布可得出电场强度分布为 Er.现有一质量为 m、初速为 v 、带电量为q 的粒子从左方 A 处射入，且 v 既与圆柱面轴线垂直又与入射处的圆柱的直径垂直（不计带电粒子的重力）.图 5（1）试问 v 为何值时可使粒子沿半径为 R（Ra）的半圆轨道运动? （2）若粒子的入射方向与上述 v 偏离一个很小的角度 （仍然在图 5 所示的纸面内），其它条件不变，则粒子将偏离（1）中的半圆轨道设新轨道与原半圆轨道相交于 P 点.试证明：对于很小的 角，P 点的位置与 角无关，并求出 P 点的方位角 AOP 的数值. 分析与解 （1）根据带电粒子在径向电场中做圆周运动的条件，即带电粒子所受的电
8、场力等于粒子沿径向指向圆心 O 的向心力，得 （mv 2R）qE（qkR），则 . （2）带电粒子运动轨迹看似比较复杂，但考虑到 较小，粒子沿切向的分速度为vtv cosv ，径向的分速度 vrv sinv 很小若运用力和运动独立性原理，则把此复杂的运动可构建为沿着半径为 R 的匀速圆周运动和径向的振幅较小的简谐运动的复合运动.粒子沿径向做简谐运动的平衡位置为 r ，设振动时的微小位移为 x，回复力 Fr满足 qk（r x） rmv 2t（r x），即 F rqk（r x）mv 2t/（r x），由角动量守恒，得 mv r mv t（ro x），由于 xr ，运用数学近似处理，有 1（r x）
9、（1xr ）r ， 1（r x） （13xr ）r ，结合 qkr mv 2 r ，得 F r2mv 2xr 2令 k2mv 2 r 2粒子沿径向做简谐运动的周期为 T2 r v 粒子第一次到达平衡位置 P 点时经过时间为 tT2，粒子做匀速圆周运动转过的角度为 v tr （ 2） 三、构建两个简谐运动模型 1.构建两条直线上的复合简谐运动模型 例 5 如图 6 所示，一弹性细绳穿过水平面上光滑的小孔 O 连接一质量为 m 的小球，另一端固定于地面上 A 点，弹性绳的原长为 OA，劲度系数为 k现将小球拉到 B 位置使 OB，并给小球 P 以初速度 v ，且 v 垂直 OB.试求：（1）小球绕
10、 O 点转动 90至C 点处所需时间；（2）小球到达 C 点时的速度图 6分析与解 （1）设 OB 为 x 轴方向，OC 为 y 轴方向，当小球和 O 点的连线与 x 轴成 角且与 O 点相距为 r 时，弹性绳对小球的弹力为 Fkr.将力 F 沿着 x、y 两个方向分解，有 F xFcoskcoskx， F yFsinkrsinky. 由此可知，小球在 x 方向做初速度为零的简谐运动，在 y 方向上做初速度为 v 的简谐运动，小球运动可视为两个简谐运动组成的复合运动模型.小球到达 C 点时， x=0，即小球恰好经过 x 轴方向上做简谐运动的平衡位置，故小球从 B 点运动到 C 点所经过的时间为
11、小球沿 x 轴方向做简谐运动的周期的四分之一，即 t4（2） （2）因为小球到达 C 点时在 y 轴方向上速度为零，所以小球在 C 点的速度就是在 x 轴方向上的最大速度，则 v Cv xmax . 2.构建双振子复合模型，解答多体振动问题 例 6 如图 7 所示，质量为 2m 的均匀带电球 M 的半径为 R，带电量为，开始静止在光滑的水平面上.在通过直径的直线上开一个很小的绝缘、光滑的水平通道.现在球 M 的最左端 A 处，由静止开始释放一质量为 m、带电量为的点电荷 N.若只考虑两电荷间的相互静电力.试求点电荷运动到带电球 M 的球心时两带电体的速度.图 7分析与解 均匀带电球 M 在球内
12、离球心距离为 x 处产生的电场强度为 EkQx ，点电荷 N 在此处所受的电场力为 F kQ 2x ，此时带电球 M 所受的电场力也为FMkQ 2x ，因而可将此系统构建为类似如图 8 所示的双振子相对质心 O点做简谐运动.由质心运动定理可知，系统的质心点静止不动，质心 O点距开始静止的球心 O 点的距离为 x，则图 8（）（3）以质心 O为双振子振动的平衡位置，令 k kQ 2 ，N 相对质心振动等效弹簧劲度系数为 k 3 2、振幅为 23；球 M 相对质心振动等效弹簧劲度系数 kM3k 、振幅为 M3.N 到达球心时对应于两振子都到达平衡位置，由简谐运动知识得，此时点电荷 N、球 M 的速度分别为v 2 3，vM M 3
