1、2019/2/20 离散数学 1 第六章 几个典型的代数系统 6.1 半群与群 6.2 格与布尔代数 2019/2/20 离散数学 2 可交换半群： 如果半群 V = 中的 二元运算 是 可交换的，则称 V为可交换半群。 一、半群的概念 半群： 设 V = 是代数系统， 是二元运算。 如果 在 S上是可结合的，则称 V为半群。 即对 x, y, z S，有 (x y) z = x (y z)。 6.1 半群与群 如： , , , , , , 都是半群，但 不是半群。 2019/2/20 离散数学 3 一、半群的概念（续） 含幺半群（独异点）： 如果半群 V = 的二元运算 含有幺元，则称 V为
2、含幺半群 (独异点 )。即 eS， 使得对 xS都有 e x = x e = x。独异点亦可记为 。 如： , , , , , , 都是独异点， 但 不是独异点 (?)。 独异点的性质： 是独异点 , 则 的运算表中没有任何两行或两列相同。 2019/2/20 离散数学 4 一、半群的概念（续） 子半群： 半群的子代数。 即设 V = 是半群， B S且 B ， 若 B对 运算 封闭， 则 是 V的子半群。 子独异点： 含幺元的 子半群。 即设 V = 是独异点， B S且 B ， 若 B对 运算 封闭，且 eB， 则 是 V 的子独异点。 如： 和 是 的子半群，且 是 的子独异点，但 却不
3、是。 2019/2/20 离散数学 5 一、半群的概念（续） 半群中的幂： 设 半群 V = ，则 对 xS， x1 = x， xn+1 = xn x， (n为正整数 ) 独异点中的幂： 设 独异点 V = ，则 对 xS， x0 = e， xn+1 = xn x， (n为自然数 ) 幂运算的性质： xm xn = xm + n ， (xm)n = xmn (m, n为正整数 ) 2019/2/20 离散数学 6 一、半群的概念（续） 半群的同态： 设 V1 = ， V2 = 为半群， : S1 S2, 且对 x, yS1有 (x y) = (x) (y)， 则称 是半群 V1到 V2的同态。
4、 独异点的同态： 设 V1 = ， V2 = 为独异点， : S1 S2, 且对 x, yS1有 (x y) = (x) (y)， (e1) = e2， 则称 是独异点 V1到 V2的同态。 2019/2/20 离散数学 7 二、群的概念 群： 设 V = 是代数系统， 是 G上定义的二元运算。如果满足以下条件，则称 V = 为群。 运算 在集合 G上满足封闭性 ; 运算 在集合 G上是可结合的 ; 集合 G关于运算 存在幺元 e; 集合 G中每个元素都存在逆元 ; 如： , ,是群，但 ,不是。 代数系统 独异点 群 (1) (2) (3) 半群 2019/2/20 离散数学 8 二、群的概
5、念 例 1：设 G= R-1/2，对 x, yG， x * y = x + y 2xy ，试证明 是否为群？ 证明 : (1) 若 x, yG， x * y = x + y 2xy G，故 * 运算 关于 G满足封闭性。 (2) 若 x, y , zG , (x*y)*z = x + y + z 2xy 2xz 2yz + 4xyz x*(y*z) = x + y + z 2xy 2xz 2yz + 4xyz 则 (x*y)*z = x*(y*z) , 故 * 运算关于 G是可结合的。 2019/2/20 离散数学 9 二、群的概念 例 1：设 G= R-1/2，对 x, yG， x * y
6、= x + y 2xy ，试证明 是否为群？ (3)设 e 是幺元，对 xG，有 x * e =x + e 2xe = x ，则 e=0 e * x =e + x 2ex = x ，则 e=0 故 e=0为 * 运算关于 G的幺元。 (4)对 xG，设 y是 x的逆元，则 x + y 2xy = 0， 解得 y = x/(2x 1) ，即 xG， x-1= x/(2x 1) 由上述可知， 是群。 2019/2/20 离散数学 10 二、群的概念 有限群： G为有限集的群 称为有限群，否则称为 无限群。 |G|为 有限群的阶 。 交换群： 若群 中的二元运算 是可交换的， 则称群 为交换群，也称
7、 阿贝尔群 。 如： , 为无限群， 为有限群。 如： , , , 都是 阿贝尔群。 2019/2/20 离散数学 11 二、群的概念 设 G = e, a, b, c,为 G上的二元运算 ,运算表如下： e a b c a a e c b b b c e a e e a b c c c b a e 称群 为 Klein四元群 。在含四个元素的群中 , 任意元素与自己运算的结果都为幺元；除幺元外，任意两个运算的结果都等于另一个元素。 2019/2/20 离散数学 12 二、群的概念 群中的幂： 设 群 ，则 对 xG， x0 = e ， xn+1 = xn x， (n为非负整数 ) x-n=
8、(x -1)n= (xn)-1， (n为正整数 ) (1) xG， (x-1)-1 = x， 幂运算的性质： (2) x, yG， (x y)-1 = y -1 x1， (3) xG， xm xn = xm + n ， m, n为整数 (4) xG， (xm)n = xmn ， m, n为整数 2019/2/20 离散数学 13 二、群的概念 设 为群， 对 a, bG，方程 a * x = b 和 y * a = b在 G中有解，且解是唯一的。 定理 1 显然，两个方程的解分别是 x = a-1 * b， y = b * a1。 例 2： S = 1, 2, 3，在群 中解方程 1, 2 x
9、 = 1, 3 和 y 1 = 2, 3。 解： 群 的幺元是 ， 1, 2-1= 1, 2， 1-1= 1 y = 2, 3 1-1 = 2, 3 1 = 1, 2, 3。 x = 1, 2-1 1, 3= 1, 2 1, 3 = 2, 3 2019/2/20 离散数学 14 二、群的概念 群 中不存在零元 。 定理 2 设 为有限群，则 G的运算表中的每一 行 (每一列 )都是 G中元素的一个置换，且不同 行 (或列 )的置换都不相同。 定理 4 设 为群，则 G 中适合消去律。 即对 a, b, cG，有 (1) 若 a b = a c，则 b = c。 (2) 若 b a = c a，
10、则 b = c。 定理 3 定理 5 设 为群，对任意 a， bG， (ab)1 = b1 a1, (a1)1 = a 2019/2/20 离散数学 15 三、子群的概念 子群： 设 为群， H是 G的非空子集，如果 H关 于 G中的运算 * 构成群，则称 为 的子群。记作 H G 如： 是 的子群，其中 和 是 的平凡子群； 设 是一个群， B是 G的一个有限非空子集。若运算 *在集合 B上封闭，则 是的子群。 有限子群 判定定理 设 为群， H是 G的非空子集，如果 对 x, yH， x * y -1H，则 是 的子群。 子群的 判定定理 2019/2/20 离散数学 16 三、子群的概念
11、 设 为群，对 xG，令 H = xk | kZ ， 则 是 的子群。该子群称为由 元素 x生 成的子群 ， 记作 H = 。 群 , Z6 =0,1,2,3,4,5, x,y Z6,x y=(x+y) mod 6。 = 0 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 = 0, 2, 4 = 0, 3 = = 因为任意取 H中的元素 xm 、 xn ，有 xm*(xn)-1 = xm-n H 2019/2/20 离散数学 17 元素的阶 (周期 )：设 群 ， aG，使 ak = e 成立 的最小正整数 k 称为 a的阶 (周期 ) 。 四、两种常用的群 任何群的幺元 e 的阶都为 1， Klein
12、四元群中 a, b, c的阶都是 2， 群 中 2和 4的阶是 3， 3的阶是 2， 1和 5的阶是 6。 1、循环群： 阶 (周期 )： 设 是群 ,若 aG有有限周期 r,则 (1) ak = e 当且仅当 k是 r的倍数 (2) a1的周期亦为 r (3) r |G| 2019/2/20 离散数学 18 循环群： 设 群 ，如果 aG，使得 G = ak | kZ 则称为循环群，记 G = ， 称 a为循环群 的 生成元 。 四、两种常用的群 如： 群 是循环群，其生成元是 1或 -1， 性质： 循环 群一定是阿贝尔群，但阿贝尔群不一定 是循环群。 群 是循环群，其生成元是 1或 5。
13、2019/2/20 离散数学 19 四、两种常用的群 无限阶循环群 G = 的生成元就是 a和 a -1， n阶循环群 G = 的生成元是 at (其中 t 与 n互质 )。 循环群的子群仍是循环群。 如： 群 中， Z6 = ， 6的正因子是 1, 2, 3, 6， 子群有： = = 0， = = 0, 3， = = 0, 2, 4， = = 0, 1, 2, 3, 4, 5。 n阶循环群 G = 的子群的阶都是 n 的因子。对于n的每个正因子 d， an/d是 G的 d 阶子群的生成元。 2019/2/20 离散数学 20 四、两种常用的群 如： 12阶群 G=e, a, a2, , a1
14、1， 12的正因子是 1,2,3,4,6,12, 则 G的 子群是： =e， 1阶子群 =e, a6， 2阶子群 =e, a4, a8 3阶子群 =e, a3, a6 ,a9 4阶子群 =e, a2 , a4, a6 ,a8, a10 6阶子群 =G， 12阶子群 2019/2/20 离散数学 21 四、两种常用的群 n元置换 ： 设 S = 1, 2, , n， S上的任何双射函数 : S S构成了 S上 n个元素的置换， 称为 n元置换。记作： )(.)2()1(.21nn如： S = 1, 2, 3，令 : S S且 (1) = 2， (2) = 3， (3) = 1，则有一个置换： 1
15、323212、置换群： 2019/2/20 离散数学 22 四、两种常用的群 任何 n元置换都可以用不交的轮换之积来表示。 如：置换 1 = ， 146253 654321又如：置换 2 = ， 416253 654321则可表示为 2 = (1 3 2 5) (4 6) 则可表示为 1 = (1 3 2 5 4 6) 又如：置换 3 = ， 564213 654321则可表示为 3 = (1 3 2) (4) (5 6) = (1 3 2) (5 6) 2019/2/20 离散数学 23 四、两种常用的群 解： 1 = (1 4 5 2 3) ， 例 3：将置换 1和 2表成不交的轮换之积。
16、 其中 1 = ， 2 = 。 25134 54321 45213 543212 = (1 3 2)(4 5) ， 恒等置换 ： 称 为恒等置换。记作： Is nn. 21 . 21当 |S| = n时， S上共有 n!种不同的 n元置换，将这些 置换构成的集合记作 Sn。 2019/2/20 离散数学 24 置换的运算 (1) 设 S = x1, x2, xn上有置换 ： P = 则称 为 P的逆置换 ,记作 : P1. )()()( 2121nnxxxxxx nnxxxxxx2121 )()()( 2019/2/20 离散数学 25 (2) 设 S = x1, x2, xn上有两个置换：
17、P1 = 则称 P = 为 P1与 P2的合成 , P2 = 显然 : Is = Is = , 这说明 : Is是 中的幺元 . )()()( 2121nnxfxfxfxxx)()()()()()(2121nnxgxgxgxfxfxf)()()( 2121nnxgxgxgxxx记作： P= P2 P1 2019/2/20 离散数学 26 四、两种常用的群（续） (3) 任何置换 = 的逆置换 -1 = 就是 的逆元。 )(.)2()1( .21 nn n n.21 )(.)2()1( 因此， 构成一个群，称为 n元对称群 。 的任何子群则称为 n元置换群 。 对于代数系统 ， 是函数的合成运算
18、，则： (1) 集合 Sn对运算 封闭，且 是可结合的。 (2) Is是集合 Sn关于 运算的幺元。 2019/2/20 离散数学 27 解： (1) 先写出所有的置换 , 共 3! = 6个 , 例 6.5 设 S = 1,2,3, 写出 S上所有的置换群 P4 = 2 1 3 1 2 3 P5 = 1 3 2 1 2 3 Pe = 1 2 3 1 2 3 按 顺序写 ： 1 2 3 P1 = 2 3 1 1 2 3 P2 = 3 1 2 1 2 3 P3 = 3 2 1 1 2 3 2019/2/20 离散数学 28 (2) 再列出 S3 = pe， p1， p2， p3 ， p4， p5
19、上关于合成运算 的运算表 pe p1 p2 p3 p4 p5 pe p1 p2 p3 p4 p5 pe p1 p2 p3 p4 p5 p1 p2 pe p4 p5 p3 p2 pe p1 p3 p4 p5 p3 p5 p4 pe p2 p21 p4 p3 p5 p1 pe p2 p5 p4 p3 p2 p1 pe Pe = 1 2 3 1 2 3 P1 = 2 3 1 1 2 3 P2 = 3 1 2 1 2 3 P3 = 3 2 1 1 2 3 P4 = 2 1 3 1 2 3 P5 = 1 3 2 1 2 3 2019/2/20 离散数学 29 (3) 最后写 S3上的置换群 (子群 ,检验封闭性 ) 都是 S3上的 子群，也是 置换群 . p3、 p4、 p5是 2阶元， p1,p2是 3阶元 2019/2/20 离散数学 30 通常记： x, y的最小上界为： x y x, y的最大下界为： x y 一、格的基本概念和性质 格 ： 设 是偏序集，如果 x, yS， x, y都有 最小上界和最大下界，则称 是一个 格 。 6.3 格与布尔代数 2 1 6 3
