1、第 3 章 3.1.3一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1对于向量 a、 b、 c 和实数 ，下列命题中的真命题是( )A若 ab0，则 a0 或 b0 B若 a0，则 0 或 a0C若 a2 b2，则 a b 或 a b D若 ab ac，则 b c解析： 对于 A，可举反例：当 a b 时， ab0；对于 C， a2 b2只能推得| a| b|，而不能推出 a b；对于 D， ab ac 可以移项整理推得 a( b c)故选 B.答案： B2正方体 ABCD A B C D中，向量 与 的夹角是( )AB BC A30 B45C60 D90解析： BC AD， AD B为正三角形，
2、 D AB60， ， 60.AB BC 答案： C3设 A， B， C， D 是空间不共面的四点，且满足A A 0， A A 0， A A 0，则 BCD 是( )B C C D B D A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析： 如右图所示，设 A a， A b， A c，B C D C C ( a b)(c b)B D ac bc ab b2 b20.同理 B B 0， D D 0.故选 B.C D B C 答案： B4.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，AB1， AD2， AA13， BAD90， BAA1 DAA160，则AC1的长为( )A. B.13 43
3、C. D.33 23解析： A A ，AC1 B D AA1 | |AC1 AB AD AA1 2AB 2 AD 2 AA1 2 2 AB AD AB AA1 AD AA1 AB1， AD2， AA13， BAD90， BAA1 DAA160， A ， A 90， A ， A ， 60.B D B AA1 D AA1 | A |C 1 4 9 2 13cos 60 23cos 60 .故选 D.23答案： D二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5在空间四边形 ABCD 中， A C B A C B _.B D C D A D 解析： 设 A b， A c， A d，B C D 则 C d
4、 c， B d b， c b.D D BC 原式0.答案： 06已知| a|3 ，| b|4， a 与 b 的夹角为 135， m a b， n a b，则 m n，则2 _.解析： mn( a b)(a b)| a|2 ab ab |b|218 3 4cos 1353 4cos 135 162 2612 16 64 ， m n，64 0， .32答案： 32三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7.如图所示，已知正三棱锥 A BCD 的侧棱长和底面边长都是 a，点 E， F， G 是AB， AD， DC 上的点，且 AE EB AF FD CG GD12，求下列向量的数量积：(1)A
5、D ；(2) A B ；(3) G A ；D B D C F C (4)E B .F C 解析： (1)| A | a，| | a， A ， D 120，D BD D B 所以 A D | |D |cos 120 a2.D B AD B 12(2)因为 B A A ，C C B 所以 A B A (A A ) A A A A ，D C D C B D C D B 又因为| A | a，| | a， A ， A A ， A 60，D BC D C D B 所以 A B a2 a20.D C 12 12(3)因为点 F， G 是 AD， DC 上的点，所以 G A ，F 23CA 23C 所以 G
6、 A ，F C 23AC2 因为 a2，AC2 所以 G A a2.F C 23(4)因为点 E， F 分别是 AB， AD 上的点，所以 E B ，F 13D 所以 E B B B ，F C 13D C 结合图形可知 B ， B 60，D C 所以 E B B B aacos 60 a2.F C 13D C 13 168在正四面体 ABCD 中，棱长为 a， M， N 分别是棱 AB， CD 上的点，且|MB|2| AM|，| CN| |ND|，求| MN|.12解析： M M B CN B C N A ( A A ) (A A )23B C B 13 D C A A A .13B 13D
7、23C M MN N ( A A )( A A A )13B 13D 23AC 13B 13D 23C A A A A A A 219AB2 29D B 49B C 49C D 19AD 49AC2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2.19 19 29 29 19 49 59故| M | a.N MN MN 53即| MN| a.53 尖子生题库 9(10 分)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a.(1)用向量法求 A1B 和 B1C 的夹角；(2)用向量法证明 A1B AC1；(3)用向量法求 AC1的长度解析： (1)因为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，所以| | | a.A1B B1C 2因为 A ，A1B B AA1 A ，B1C A1D D AA1 所以 ( A )(A ) a2，A1B B1C B AA1 D AA1 所以 cos ， ，A1B B1C a22a2a 12即 A1B 和 B1C 的夹角为 60；(2)证明：因为 A A ，AC1 B AA1 D A ，A1B B AA1 所以 0， A1B AC1；AC1 A1B (3)由(2)知， A A ，AC1 B AA1 D 所以 2( A A )23 a2，AC1 B AA1 D 所以| | AC1 a.AC1 3
