1、,1-5 条 件 概 率,一 条 件 概 率 二 乘 法 定 理 三 全概率公式和贝叶斯公式,目 录 索 引,第一章 概率论的基本概念,1-5条件概率,返回主目录,一 条 件 概 率,条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。 它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。,第一章 概率论的基本概念,1-5条件概率,返回主目录,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的 概率为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B在A之下的条件概率，记为,例 1 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别 为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放
2、 回地取两次 则该试验的所有可能的结果为(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球,第一章 概率论的基本概念,1-5条件概率,返回主目录,设A= 第一次取出球的标号为 2 B= 取出的两球标号之和为 4 ,下面我们考虑:已知第一次取出球的标号为 2,求取出的两球标号之和为 4的概率。,由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为,第一章 概率论的基本概念,1-5条件概率,返回主目录,则事件B所含的样本点
3、为(1,3) (2,2) (3,1),因此事件B的概率为:,即在事件A发生的条件下，事件B发生的概率：,(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为,注：由例1可以看出，事件在“条件A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的且由于,第一章 概率论的基本概念,1-5条件概率,返回主目录,故有,称为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则,条件概率的定义,条件概率的性质：,第一章 概率论的基
4、本概念,1-5 条件概率,返回主目录,二、缩小样本空间法-适用于古典概型,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,一、公式法,条件概率的计算公式：,设事件A所含样本点数为 ,事件AB所含样本点数为 ,则,例 2 已知某家庭有3个小孩，且至少有一 个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率,则,解：设 A= 3个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 ,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,S=男男男,男男女,男女男,男女女,女男男,女男女,女女男,女女女,方法一 公式法：,所以,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,方法二,缩小样本空间
5、法,S=男男男,男男女,男女男,男女女,女男男,女男女,女女男,女女女,二 乘法公式,由条件概率的计算公式,我们得,这就是两个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,两个事件的乘法公式,多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,例 4 （波伊亚罐子模型）袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都未取出黑球的概率 解：,则,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返
6、回主目录,由乘法公式，我们有,例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：,三、全概率公式和贝叶斯公式,S,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,定义 设 S 为试验 E 的样本空间，为 E 的一组事件。若满足(1)(2) 则称 为 样本空
7、间 S 的一个划分。,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,全 概 率 公 式：,设随机事件,满足：,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,全概率公式的证明思路：,用样本空间的划分,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,S,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,1、划整为零：,2、用乘法公式计算每部分的概率：,全概率公式的证明,由条件：,得,而且由,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,S,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,
8、第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,全概率公式的使用,我们把事件A看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则要计算结果A发生的概率就用全概率公式,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,（已知原因，求结果）,常用的全概率公式有,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,是样本空间 S 的一个划分。,例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参
9、加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,解：,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名,又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,思考：,今随机选一人参加比赛射中了目标， 求该选手是一级选手的概率,Bayes （逆概）公 式：,设随机事件,满足,全概率公式,条件概率,乘法定理,则,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,Baye
10、s公式的使用,我们把事件A看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件A已经发生，要求此时是由第 n个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,验前概率,验后概率,（已知结果，求原因）,例7 用某种方法普查肝癌，设：A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ，D= 被检查者确实患有肝癌 ，已知,2）已知 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,（结果）,（原因）,1）求用此方法判断某被检查者患有肝癌的概率；,例 7（
11、续）,解 由已知，得,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,由全概率公式，有,例 7（续）,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,由Bayes公式，得,例 8 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05,S,B1,B2,B3,A,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。 （2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知
12、取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。,解 ： 设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,例8（续）,返回主目录,元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05,全概率公式,贝叶斯公式,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,例8（续）,返回主目录,元件制造厂 1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05,B1,B2,B3,A,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,例8（续）,返回主目录,第
13、一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,例8（续）,返回主目录,有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下 ，第二次取到的也是一等品的概率；（3）已知第一次取到的零件是一等品，求它是第一箱的零件的概率；,例9,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,第一章 概率论的基本概念,解 ： 设 Ai 表示“第i次取到一等品”(i=1,2)，,返回主目录,Bi ( i= 1,2)表示“取到的是第 i箱中的产品
14、”,全概率公式和贝叶斯公式,例9（续）,1）由全概率公式，有,第一章 习题课,例9（续）,返回主目录,2）由全概率公式和条件概率公式，有,3）由贝叶斯公式，有,第一章 习题课,例10 袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率。,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,*,解：设 A= 取出的球全是白球 ,则由Bayes公式，得,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,例10（续）,例10（续）,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,作业：,例10（续）,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得良好 产品合格机器发生某一故障,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,解 ：,第一章 概率论的基本概念,1-5 条件概率,返回主目录,作业：,
