1、5-3 代数系统的同态与同构,有各种各样的代数系统，但是，有些代数系统表面上看 不同，实际它们运算的性质相似、或完全一样。这就是 代数系统间的同态、同构问题。 一.例1 (R+ ,)：是正实数R+上的乘法 ；（R, +） ： 是实数R上的加法+。 表面上看这两个代数系统完全不同，实际它们运算的性 质却完全一样，都满足：交换律、结合律、有幺元、每 个元素可逆。那么如何反映它们间的共性呢？通过一个映射 f: R+R任何xR+, f(x)=lgx,任何x,yR+, f(xy)=lg(xy)=lgx+lgy=f(x)+f(y)f(1)=lg1=0 在（R+ ,）： 在（R,+） : x=100 f(x
2、)=lgx=lg100=2 x-1 =1/100 f(x-1)=lgx-1 =lg1/100=-2,(R+, ),(R, + ),x。,y。,xy。,。f(x),。f(y),。f(x)+f(y),f (是双射),幺元1。,。幺元0,100。,100-1。,。f(100)=2,。f(100-1)=-2,计算尺的原理：计算尺的设计：就是用对数将乘法运算变成加法运算。,表1 代数系统,表2 代数系统,这两个代数系统表面看上去似乎不同，但是它们实际上是相同的。它们仅仅是元素与运算符的表现形式不同，而它们的实质是一样的。我们将这样的代数系统叫同构。,例如：设有两个代数（0，1， ），（a,b, ） 其运
3、算表如下：,注意：代数系统(X, )和(Y, )同构的必要条件：1.运算(X, )和(Y, )是同类型的。2. X和Y的基数相同，即#X=#Y3.存在双射 f:XY，且满足关系式：g(x1 x2)=g(x1) g(x2)因为并不是所有双射都满足同态关系式。 例如（N4,+ ） 、（X, ）中,g:N4X 如右图所示，f(1+ 1)=f(2)=Lf(1)f(1)=AA=S f(1+ 1)f(1)f(1) 所以g不是同构映射。 实际上同构映射必须是幺元对幺元，零元对零元、. 我们 后边要介绍它的定义。,二.同构的定义,定义 ：设（X, ）,（Y, ）是两个同类型的代数系统， 和 都是二元运算，如果
4、存在一个一一对应的映射 g:XY,使得对任何x1 ,x2X，有g(x1 x2)=g(x1) g(x2) -（此式叫同态关系式） 则称 g是从（X, ）到（Y, ）的同构映射，简称这两 个代数系统同构。记作X Y。 即如果 g是双射且满足同态关系式(保持运算)，则g是同构映射如果g是(X, ）到 (X, ）的同构,称之g为自同构。 例1:证明：(R+ ,)与 (R, +)同构， 证 只要证明 它们之间存在一个同构映射即可。 对 (R+ ,)与 (R, +) 有一个映射h： R+R， h(x)=lnx . （1） h是双射: h(x)=lnx . 显然 （）h保持运算封闭:h(xy)=ln(xy)
5、=lnx+lny=h(x)+h(y),例2：设有两个代数（0，1， ）,（a,b, ）其运算表如下：,表1 代数系统,表2 代数系统,证明 它们是同构的。 【证】这两个代数系统之间存在一个一一映射令g:0,1 a,b，g(0)=a，g(1)=b，此映射是一一对 应，而且显然对于任何x1， x2有 g(x1 x2)=g(x1) g(x2) 所以两个代数系统是同构的。,下面再看一个例子： 设I是整数集合，R是I上模k(k是正整数)同余关系，因R 是I上等价关系，所以得商集I/R，将I/R记作Nk, 即：Nk=0,1,2,k-1 在Nk上定义运算+k和k ，我们分别称之为以k为模的加 法和乘法。定义
6、为：任取x ,y Nk ，x +k y=(x+y)(mod k)xky=(xy)(mod k) 例如 k=4 N4=0,1,2,32 +4 3=(2+3)(mod 4)=1243=(23)(mod 4)=2 下面为了方便，我们将N4=0,1,2,3简记成：N4=0,1,2,3 任何x,yN4 , x+4 y=(x+y)(mod 4),补例3证明(N4,+4 )与(X, )同构。构造映射 f:N4X 如下：下面验证 f是同构映射。(1)f是双射(2) f 保持运算f(1+4 2)=f(3)=Lf(1)f(2)=RA=L f(1+4 2)=f(1)f(2)f(2+4 3)=f(1)=Rf(2)f(
7、3)=AL=R f(2+4 3)=f(2)f(3),下面看看同构的两个代数系统运算表的相同性：将(N4,+4)运算表中的各个元素 分别用它的映像代替得到右表， 看出此表与(X, )运算的相同性。,三. 代数系统同构的性质,任何代数系统(X,), (Y, ), XY, f:XY是同构映射, 任取x1 ,x2X，有 f(x1x2) = f(x1) f(x2)。 1. (保持结合律)如果运算可结合，则运算也可结合。 证明：任取y1 ,y2 , y3 Y，因 f :XY是满射， 所以 ，x1 ,x2 , x3X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2) , y3=f(x3)， 已知：x1(x2x
8、3) =( x1x2)x3， 欲证：y1(y2 y3 ) ( y1 y2 ) y3 y1(y2 y3 ) = f(x1) (f(x2) f(x3) = f(x1) f(x2x3) =f(x1(x2x3) =f( x1x2)x3) (因可结合) = f(x1x2) f(x3) = (f(x1)f(x2) f(x3) = ( y1 y2 ) y3 也可结合。 2. (保持交换律)如果运算可交换，则运算也可交换。 证明的方法与1.类似。,3. (保持幺元存在性)如果运算有幺元e ，则运算也有 幺元e ，且f(e )= e 。 即已知（X，）有幺元e ，证f(e ) 是(Y, ) 的幺元 证明：任取y
9、Y 因 f :XY是满射，xX, 使得 y=f(x) y f(e)= f(x) f(e)=f(xe) =f(x)=yf(e) y=f(e) f(x)=f(ex) =f(x)=y 所以f(e )是相对的幺元。即f(e)= e 。 4. (保持零元存在性)如果运算有零元 ，则运算也有 零元 ，且f()= 。 即已知（X，）有零元 ，证f( )=是(Y, ) 的零 元f() 证明：任取yY 因 f :XY是满射，xX, 使得 y=f(x) y f() = f(x) f()=f(x) = f() f() y = f() f(x)=f(x) = f() 所以f() 是相对的零元。即f() =,5. (保
10、持逆元存在性)如果（X,）中每个xX可逆，即 x-1X, 则（Y, ）中每个yY也可逆，即y-1Y。 且如果y=f(x) ，则 y-1= (f(x)-1 =f(x-1)。 (映像的逆元=逆元的映像) 证明：任取yY 因 f :XY是满射，xX, 使得 y=f(x) (只要证出 y f(x-1)= e和 f(x-1) y= e 即可) 设运算的幺元e ，运算的幺元e 。 f(e)= e 。 y f(x-1)= f(x) f(x-1)=f(xx-1) =f(e)= e f(x-1) y=f(x-1) f (x)=f(x-1x) =f(e)= e 所以 y-1= (f(x)-1 =f(x-1)。下面
11、是含有两个运算的代数系统的同构的性质的保持问 题。,定义：令(X,+,）和（Y, ,）是含有两个运算的代数 系统，其中+、 、都是二元运算，如果存在双射 f:XY, 使得对任何x1 , x2X，满足f(x1+x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：+与对应)f(x1x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：与对应) 则称这两个代数系统同构。 6. (保持分配律)如果运算+对可分配, 则对也可分配。 证明：任取y1 ,y2 , y3 Y 因 f :XY是满射,x1 ,x2 , x3X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2) , y3=f(x3) y1 ( y2 y3 )=f(x
12、1)(f(x2)f(x3) = f(x1) f(x2x3) = f(x1+(x2x3) = f(x1+ x2)(x1+ x3) (因+对可分配) = f(x1+x2) f(x1+x3) = (f(x1)f(x2) (f(x1)f(x3) = (y1y2) (y1y3) 所以对 也可分配。,四 .代数系统间的同构关系是等价关系,1.有自反性：任何代数系统（X,）, 有XX。 证明： 因为有双射 IX:XX, 任取x1 ,x2X，有IX(x1x2)= x1x2 =IX(x1)IX(x2) 所以 XX。 2.有对称性：任何代数系统(X,)(Y, ), 如果有XY 则必有YX。 证明：因有XY，有双射
13、 f:XY, 任取x1 ,x2X，有f(x1x2)= f(x1) f(x2) 因 f是双射，有 f-1 :YX, 任取y1 ,y2Y因 f :XY是满射，x1 ,x2X, 使得 y1=f(x1), y2=f(x2) x1=f-1(y1) , x2=f-1(y2)f-1(y1 y2)=f-1(f(x1) f(x2)= f-1(f(x1x2)= f-1f(x1 x2)= IX(x1x2)=x1x2 =f-1(y1)f-1(y2) YX,3.有传递性：任何代数系统(X,)(Y,),(Z,) 如果有XY 和 YZ，则必有 XZ 。 证明：因有XY，有双射 f:XY, 任取x1 ,x2X，有f(x1 x
14、2)= f(x1) f(x2) 因有YZ ，有双射 g:YZ, 任取y1 ,y2Y，有g(y1 y2)= g(y1)g(y2) 有双射 h=gf :XZ, 任取x1 ,x2X，h(x1x2)=gf(x1x2)=g(f(x1x2)=g(f(x1) f(x2) )=g(f(x1) g(f(x2)= g f(x1) g f(x2)=h(x1)h(x2) XZ 是个等价关系。,五.同态的定义,设（X,）,（Y, ）是两个代数系统，和 都是二元运 算，如果存在映射f:XY,使得对任何x1 ,x2X，有f(x1x2)=f(x1)f(x2) -（此式叫同态关系式） 则称 f是从（X,）到（Y, ）的同态映射
15、，简称这两个代 数系统同态。记作XY。 即：如果 f 是映射且满足同态关系式或保持运算，则称f是 同态映射 并称（f(X), ）为(X,）的同态像。 如果f是满射的，称此同态f是满同态。 如果f是单射的，称此同态f是单一同态。 f是(X,）到 (X,）的同态(同构),称之为自同态(自同构)。,六. 同态性质的保持,定理：代数系统(X,）, (Y, ), XY, f:XY是同态映 射, 如果(X,）中满足交换、结合、有幺元、有零元、 每个元素可逆, 则(f(X),)中也满足上述性质。 证明的方法与前一样，所不同的是，不是在Y中取元素， 而是在值域f(X)中取元素。因为f不一定是满射的。 另外，由
16、于同态关系不满足对称性，所以同态性质的 保持只是单向的。即Y中的性质，X中不一定有。,例1 设 , 现定义函数（1）（2）（3）试问，以上这些函数是否 到 的同构或 到 的自同构？,解 （1）关于 ，对任意 所以 是由 到 的同态，,但 不是单射 , 因为 ， 例如 故 不是由 到 的同构。,解 对任意,由上可知 g 和 h 是 V 上的自同态.,所以,（2） 关于 ， 是由 到 的同态，,对于任意 ， 所以 ，它是双射，因此 是由 到 的自同构。,(3） 关于 ，对任意 ，,因此 ，故 不是由 到 的自同态，也不是同构。,例3 代数系统 与 是否同构？,解 如果 与 同构，则这两个代数系统应
17、具有完全相同的性质，但事实上, 中运算有零元，使得任意 ，但 中运算没有零元，因此 与 不同构。,例. N4=0,1,2,3,N4上定义运算+4： 任何x,yN4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) (N4,+4 ) 其运算表如图所示。B=0,1, 是B中异或运算。 (B,)其运算表如下图所示： 证明 N4B： 构造映射 g: N4B 如下： 下面验证 g是同态映射。g(1+4 2)=g(3)=1g(1)g(2) =10=1 g(1+4 2)=g(1)g(2) g(2+4 3)=g(1)=1g(2)g(3)=01=1 g(2+4 3)=g(2)g(3),下面看看同态代数系统运算表的相似性
18、：将(N4,+4)运算表中的各个元素 分别用它的映像代替得到右表， 看出此表与(B,)运算表的相 似性。,5-4 同余关系,在代数系统中有一种很重要的关系同余关系。 它在化简运算过程中具有十分重要的作用。 1.例子：计算 与 相加时，很少将这两个 分数直接通分再相加,而是先对它们进行约分后 再通分相加，即用 代替 ， 用 代替 用 代替 ，这个过程说明了： ( )( ) 实际上，我们将所有分数按照数值相等关系“” （等价关系），进行划分，可以看出：,因为 和 属于 这个等价类。 而 和 属于 这个等价类。和 都属于 。 实际上，任取x ，y , 都有x+y 。 的上述性质，就是代数系统中，运算
19、的“置换性质”,2.“置换性质”定义：代数系统U（X, ） ，是X上的 二元运算，设E是X上的等价关系，对任何x1,x2,y1,y2X, 有 x1Ex2 y1Ey2 ( x1y1)E( x2y2) 则称对于运算，相对等价关系E, 具有置换性质。 例如： ( )( )代数系统的“置换性质”在运算过程中是非常重要的。 3. 同余关系及同余类的定义：设U（X, ）是个代数系统, 是X上的二元运算,E 是X中的等价关系，如果相对E满足置换性质，则称E 是代数系统U中的同余关系。 商集X/E中的等价类，称之为同余类。,例如：代数系统（ I,+），I是整数集合，E是I上的模3同 余关系，求证E是（ I,+
20、）上的同余关系。 证明： (我们已经证明过E是等价关系，这里只证置换性) 任取x1,x2,y1,y2I, 假设有 x1Ex2 y1Ey2 (x1Ex2 x1/3与x2 /3 的余数相同), 由假设得到下面式子:x1=3m+a x2=3n+a m,n I (0a3)y1=3i+b y2=3j+b i,j I (0b3) 于是 x1y13(m+i) +(a+b) x2+y23(n+j) +(a+b) 可见(x1y1 )(mod 3) =(a+b)(mod 3) = (x2y2 )(mod 3) 所以有 (x1y1 )E(x2y2 )。x1Ex2 y1Ey2 ( x1 + y1)E( x2+y2)
21、所以E是（ I,+）上的同余关系。,练习：令N3=0,1,2, N3 上有如下等价关系, 如图 所示：,问这些等价关系中对代数系统( N3,+3 )和( N3 ,3 )来说，哪些是同余关系？即哪些满足置换性,易验证对（N3,+3 ）来说,E1和 E2都是同余关系。 对( N3,+3 ) ：E3, E4, E5,不是同余关系。因为：E3中有 0E31 和 2E32 但是(0 +3 2) E3 (1 +3 2) E4中有 1E41 和 1E42 但是(1 +3 1) E4 (1 +3 2) E5中有 1E51 和 0E52 但是(1 +3 0) E5 (1 +3 2),对( N3, 3 ) ：E3
22、, E5不是同余关系。因为：E3中有 0E31 和 2E32 但是(0 3 2) E3 (1 3 2) E5中有 0E52 和 2E52 但是(0 3 2) E5 (2 3 2)E1, E2,E4是 ( N3, 3 )上的同余关系。,4. 由同态可确定同余关系 定理6-4.1 给定两个代数系统U=（X,）,V（Y, ）是 两个代数系统，和 都是二元运算，设 f 是从U到V的 同态映射，于是由f定义X上一个等价关系Ef , 定义如下： 对于任何x1,x2 X, x1 Ef x2 当且仅当 f(x1)=f(x2) 则Ef是代数系统U中的同余关系。 证明： (1). 很容易证明Ef是X上的等价关系。
23、这里从略。 (2).证明Ef 满足置换性：任取 x1,x2,y1,y2 X，假设有 x1 Ef x2 y1 Ef y2 由 f定义得， f(x1)=f(x2) 且 f(y1)=f(y2) 又因为f是从（X,）到（Y, ）的同态映射，所以f(x1y1) = f(x1) f(y1) = f(x2) f(y2) = f(x2y2)由 f定义得， (x1 y1) Ef (x2 y2) 可见Ef 满足置换性质，所以Ef 是（X,）上的同余关系。,例子: 已经证明（N4,+4）与 （B,）同态，N4=0,1,2,3,N4上定义运算+4： 任何x,yN4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) B=0,1, 是B中异或运算。 同态映射 f: N4B 如图所示, 由 f 定义X上一个等价关系Ef , 定义如下： 对于任何x1,x2 N4 , x1 Ef x2 当且仅当 f(x1)=f(x2) 由此定义得Ef 的有向图如下图所示： 可见它是N4上等价关系，Ef 是（N4,+4）上的同余关系。,
