1、1在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。两个集合的容斥原理用式子表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并” ，相当于中文 “和”或者“或”的意思；符号“”读作“交” ，相当于中文“且”的意思。)三个集合的容斥原理用式子表示为：ABC ABCABBC ACABC例 1(第 五 届 “聪 明 小 机 灵 ”小 学 数 学 邀 请 赛 (复 赛 )试 题 四 年 级 )儿 童 会 有 成
2、员 567 人 ， 有 两 个 议 案 要 投 票 表 决 是 否 赞 同 。每 个 人 各 投 一 票 ， 则 结 果 为 赞 成 第 一 议 案 的 有 345 人 ， 赞 成 第 二 议 案 的 有 234 人 ， 同 时 反 对 第 一 和 第 二 议 案 的 有123 人 。 同 时 赞 成 第 一 和 第 二 议 案 的 有 _人 。 (两 个 议 案 每 个 人 都 必 须 投 赞 成 票 或 反 对 票 )例 2某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24 人及格，若两次考试中，都没有及格的有 4 人，那么两次考试都及格的人数是( )。
3、例 3学校对 100 名学生进行调查，结果发现有 58 人喜欢上数学课，有 38 人喜欢上语文课，有 52 人喜欢上英语课，既喜欢上数学又喜欢上语文的有 18 人，既喜欢上英语又喜欢上语文的有 16 人，三门功课都喜欢的有 12 人，如果被调查学生都至少有 1 门喜欢的课，请问有多少同学既喜欢上数学又喜欢上英语？有多少名同学只喜欢英语课？例 4在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10 等份，第二种将木棍分成 12 等份，第三种将木棍分成 15 等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？三大数学原理容斥原理考前冲刺容斥原理2例 550 名同学面向老师站成一行。老师
4、先让大家从左至右按 1，2，349，50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？例 6有 2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序标号为 1，2，32000，然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为 3 的倍数的灯线拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下，3 次拉完后亮着的灯有多少盏？测试题1京华小学五年级学生采集标本。采集昆虫标本的有 人，采集植物标本的有 人，两种标本都采集的有25198人。全班学生共有 人，没有采集标本的有多少人？402某班有学生 人，每人在暑假里都参加体育训
5、练队，其中参加足球队的有 人，参加排球队的有 人，5 252参加游泳队的有 人，足球、排球都参加的有 人，足球、游泳都参加的有 人，排球、游泳都参加的341218有 人，问：三项都参加的有多少人？143有 位旅客，其中有 人既不懂英语又不懂日语，有 人懂英语， 人懂日语。既懂英语又懂日语的0107583有多少人？4如图所示， 、 、 分别是面积为 ， ， 的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的ABC1286总面积为 。若 与 、 与 的公共部分的面积分别为 ， ， 、 、 这三张纸片的公共部分为 。38 87ABC3求 与 公共部分的面积是多少？CAB5一 次 期 末 考 试 ， 某
6、 班 有 15 人 数 学 得 满 分 ， 有 12 人 语 文 得 满 分 ， 并 且 有 4 人 语 、 数 都 是 满 分 ， 那 么这 个 班 至 少 有 一 门 得 满 分 的 同 学 有 多 少 人 ？6甲、乙、丙三人浇花，甲浇了 盆，乙浇了 盆，丙浇了 盆。已知共有花 盆，则三人都浇了的花68625690至少有多少盆？3答案1 【解析】采集昆虫标本的有 人，采集植物标本的有 人，两种标本都采集的有 人，采集一种标本的有25198种，全班学生共有 人，没有采集标本的有 人。9258364040362 【解析】设三项都参加的有 人，则 ，x25328x173 【解析】有 位旅客，其中
7、有 人既不懂英语又不懂日语，则至少懂一种语言的有 人 。有 人懂英1010 0975语， 人懂日语，则既懂英语又懂日语的有 人。8 79064 【解析】设 与 公共部分的面积为 ，由包含与排除原理可得：ACx先“包含”把图形 、 、 的面积相加： ，那么每两个图形的公共部分的面积ABC1285都重复计算了 次，因此要排除掉。1再“排除” ，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回。5687再“包含” ，这就是三张纸片覆盖的面积。3x根据上面的分析得： ，解得： 。86x5 【解析】根据公式 ， 至 少 有 一 门 得 满 分 的 同 学 有 人 。SAB152436 【解析】甲浇了 盆，乙浇了 盆，那么甲、乙至少共同浇了 盆，为了使三人都浇的盆数最少，8626890所以丙尽量去浇甲、乙没有共同浇过的花，也就是 盆，这样三人都浇了的花至少就为90盆。506
