1、120世 纪 数 学 概 观 ( )纯 粹 数 学 的 主 要 趋 势科 学 知 识 的 增 长 是 非 线 性 的 过 程 在 19世 纪 变 革 与 积 累 的 基 础 上 ， 20世 纪数 学 呈 现 出 指 数 式 的 飞 速 发 展 现 代 数 学 不 再 仅 仅 是 代 数 、 几 何 、 分 析 等 经 典 学 科的 集 合 ， 而 已 成 为 分 支 众 多 的 、 庞 大 的 知 识 体 系 ， 并 且 仍 在 继 续 急 剧 地 变 化 发 展 之中 大 体 说 来 ， 数 学 核 心 领 域 (即 核 心 数 学 ， 也 称 纯 粹 数 学 )的 扩 张 ， 数 学 的
2、空前 广 泛 的 应 用 ， 以 及 计 算 机 与 数 学 的 相 互 影 响 ， 形 成 了 现 代 数 学 研 究 活 动 的 三 大 方面 下 面 我 们 将 按 这 三 大 方 面 来 概 括 介 绍 20世 纪 数 学 的 发 展 本 章 叙 说 纯 粹 数 学的 主 要 趋 势 ； 第 12章 阐 述 应 用 数 学 的 发 展 和 计 算 机 的 影 响 ， 最 后 在 第 13章 中 选讲 一 些 有 代 表 性 的 成 就 来 进 一 步 说 明 20世 纪 数 学 的 特 征 纯 粹 数 学 是 19世 纪 的 遗 产 ， 在 20世 纪 得 到 了 巨 大 的 发 展
3、20世 纪 纯 粹 数 学 的前 沿 不 断 挺 进 ， 产 生 出 令 人 惊 异 的 成 就 与 19世 纪 相 比 ， 20世 纪 纯 粹 数 学 的 发展 表 现 出 如 下 主 要 的 特 征 或 趋 势 ： 更 高 的 抽 象 性 ； 更 强 的 统 一 性 ； 更 深 入 的 基 础 探 讨 本 章 对 20世 纪 纯 粹 数 学 的 论 述 ， 将 以 这 三 项 特 征 为 线 索 11.1 新 世 纪 的 序 幕1900年 8月 ， 德 国 数 学 家 希 尔 伯 特 在 巴 黎 国 际 数 学 家 大 会 上 作 了 题 为 数 学问 题 的 著 名 讲 演 他 的 讲
4、演 是 这 样 开 始 的 ：“我 们 当 中 有 谁 不 想 揭 开 未 来 的 帷 幕 ，看 一 看 今 后 的 世 纪 里 我 们 这 门 科 学 发 展的 前 景 和 奥 秘 呢 ?我 们 下 一 代 的 主 要 数 学 思 潮 将 追 求 什 么 样 的 特 殊 目 标 ?在 广 阔 而丰 富 的 数 学 思 想 领 域 ，新 世 纪 将 会 带 来 什 么 样 的 新 方 法 和 新 成 果 ?”希 尔 伯 特 在 讲 演 的 前 言 和 结 束 语 中 ， 对 各 类 数 学 问 题 的 意 义 、 源 泉 及 研 究 方 法 发表 了 许 多 精 辟 的 见 解 ， 而 整 个
5、 演 说 的 主 体 ， 则 是 他 根 据 19世 纪 数 学 研 究 的 成 果 和发 展 趋 势 而 提 出 的 23个 数 学 问 题 ， 这 些 问 题 涉 及 现 代 数 学 的 许 多 重 要 领 域 一 个 世纪 以 来 ， 这 些 问 题 一 直 激 发 着 数 学 家 们 浓 厚 的 研 究 兴 趣 以 下 是 希 尔 伯 特 的 数 学 问 题 及 解 决 简 况 ：1 连 续 统 假 设 自 然 数 (可 数 )集 基 数 与 实 数 集 (连 续 统 )基 数 之 间0S02SC不 存 在 中 间 基 数 1963年 ， 美 国 数 学 家 科 恩 (P.Cohen)
6、证 明 了 ： 连 续 统 假 设 的 真 伪不 可 能 在 策 梅 洛 弗 兰 克 尔 公 理 系 统 内 判 别 2 算 术 公 理 的 相 容 性 1931年 ， 哥 德 尔 (K.Godel)证 明 了 希 尔 伯 特 关 于 算 术公 理 相 容 性 的 “元 数 学 ”纲 领 不 可 能 实 现 相 容 性 问 题 至 今 未 决 3 两 等 底 等 高 四 面 体 体 积 之 相 等 1900年 德 恩 (M.Dehn)证 明 了 确 实 存 在 着 等底 等 高 却 不 剖 分 相 等 ， 甚 至 也 不 拼 补 相 等 的 四 面 体 第 三 问 题 成 为 最 先 获 解
7、的 希 尔 伯特 问 题 24 直 线 为 两 点 间 的 最 短 距 离 问 题 提 得 过 于 一 般 5 不 要 定 义 群 的 函 数 的 可 微 性 假 设 的 李 群 概 念 格 利 森 (A.M.Cleason)、 蒙 哥马 利 (D.Montgomery)、 席 平 (L.Zippin)等 于 1952年 对 此 问 题 给 出 了 肯 定 解 答 6 物 理 公 理 的 数 学 处 理 在 量 子 力 学 、 热 力 学 等 部 门 ， 公 理 化 已 取 得 很 大 成功 至 于 概 率 论 公 理 化 已 由 科 尔 莫 戈 罗 夫 等 建 立 (1933) 7 某 些
8、数 的 无 理 性 与 超 越 性 1934年 ， 盖 尔 丰 德 (A.O.Gelfand)和 施 奈 德(T.Schneider)各 自 独 立 地 解 决 了 问 题 的 后 半 部 分 即 对 于 任 意 代 数 数 和1,0任 意 代 数 无 理 数 证 明 了 的 超 越 性 8 素 数 问 题 包 括 黎 曼 猜 想 ， 哥 德 巴 赫 猜 想 和 孪 生 素 数 猜 想 ， 均 未 解 决 9 任 意 数 域 中 最 一 般 的 互 反 律 之 证 明 已 由 高 木 贞 治 (1921)和 阿 廷(E Artin， 1927)解 决 10 丢 番 图 方 程 可 解 性 判
9、别 1970年 ， 马 蒂 雅 舍 维 奇 证 明 了 ， 不 存 在 判 定 任 一给 定 丢 番 图 方 程 有 无 整 数 解 的 一 般 算 法 11 系 数 为 任 意 代 数 数 的 二 次 型 哈 塞 (H Hasse， 1929)和 西 格 尔(C L.Siegel， 1936， 1951)在 此 问 题 上 获 得 重 要 结 果 12 阿 贝 尔 域 上 的 克 罗 内 克 定 理 在 任 意 代 数 有 理 域 上 的 推 广 尚 未 解 决 13 不 可 能 用 仅 有 两 个 变 数 的 函 数 解 一 般 的 七 次 方 程 连 续 函 数 情 形 1957年已 由
10、 阿 诺 (B.H.Arnold)解 决 14 证 明 某 类 完 全 函 数 系 的 有 限 性 1958年 被 永 田 雅 宜 否 定 解 决 15 舒 伯 特 计 数 演 算 的 严 格 基 础 代 数 几 何 的 严 格 基 础 已 由 范 德 瓦 尔 登(B.L.Van der Waerden， 19381940)和 魏 依 (A.Weil， 1950)建 立 ， 但 舒 伯 特 演 算的 合 理 性 尚 待 解 决 16 代 数 曲 线 与 曲 面 的 拓 扑 有 很 多 重 要 结 果 17 正 定 形 式 的 平 方 表 示 已 由 阿 廷 于 1926年 解 决 18 由 全
11、 等 多 面 体 构 造 空 间 部 分 解 决 19 正 则 变 分 问 题 的 解 是 否 一 定 解 析 1904年 伯 恩 斯 坦 证 明 了 一 个 变 元 的 解 析非 线 性 椭 圆 型 方 程 其 解 必 定 解 析 该 结 果 后 又 被 推 广 到 多 变 元 椭 圆 组 20 一 般 边 值 问 题 成 果 丰 富 21 具 有 给 定 单 值 群 的 微 分 方 程 的 存 在 性 长 期 以 来 人 们 一 直 认 为 普 莱 梅 依(J.Plemelj)1908年 已 对 此 问 题 作 出 肯 定 解 答 但 八 十 年 后 发 现 普 莱 梅 依 的 证 明 有
12、 漏洞 1989年 前 苏 联 数 学 家 A A 鲍 里 布 鲁 克 关 于 此 问 题 举 出 了 反 例 ， 使 第 二 十 一 问题 最 终 被 否 定 解 决 22 解 析 关 系 的 单 值 化 一 个 变 数 情 形 已 由 寇 贝 (P.Koebe)解 决 23 变 分 问 题 的 进 一 步 发 展 我 们 看 到 ， 希 尔 伯 特 问 题 中 近 一 半 已 经 解 决 或 基 本 解 决 有 些 问 题 虽 未 最 后 解 决 ，但 也 取 得 了 重 要 进 展 希 尔 伯 特 问 题 的 解 决 与 研 究 ， 大 大 推 动 了 数 理 逻 辑 、 几 何 基 础
13、 、李 群 论 、 数 学 物 理 、 概 率 论 、 数 论 、 函 数 论 、 代 数 几 何 、 常 微 分 方 程 、 偏 微 分 方 程 、黎 曼 曲 面 论 、 变 分 法 等 一 系 列 数 学 分 支 的 发 展 ， 有 些 问 题 的 研 究 (如 第 二 问 题 和 第十 问 题 )还 促 进 了 现 代 计 算 机 理 论 的 成 长 重 要 的 问 题 历 来 是 推 动 科 学 前 进 的 杠 杆 ， 但 一 位 科 学 家 如 此 自 觉 、 如 此 集 中 地 提出 一 整 批 问 题 ， 并 如 此 持 久 地 影 响 了 一 门 科 学 的 发 展 ， 这 在
14、 科 学 史 上 是 不 多 见 的 当然 任 何 科 学 家 都 会 受 到 当 时 科 学 发 展 的 水 平 及 其 个 人 的 科 学 素 养 、 研 究 兴 趣 和 思 想 方法 等 限 制 希 尔 伯 特 问 题 未 能 包 括 拓 扑 学 、 微 分 几 何 等 在 20世 纪 成 为 前 沿 学 科 的 领域 中 的 数 学 问 题 ， 除 数 学 物 理 外 很 少 涉 及 应 用 数 学 ， 等 等 20世 纪 数 学 的 发 展 ，远 远 超 出 了 希 尔 伯 特 问 题 所 预 示 的 范 围 11.2 更 高 的 抽 象更 高 的 抽 象 化 是 20世 纪 纯 粹
15、 数 学 的 主 要 趋 势 或 特 征 之 一 这 种 趋 势 ， 最 初 主 要 是受 到 了 两 大 因 素 的 推 动 ， 即 集 合 论 观 点 的 渗 透 和 公 理 化 方 法 的 运 用 (1)集 合 论 观 点 19世 纪 末 由 G 康 托 尔 所 创 立 的 集 合 论 ， 最 初 遭 到 许 多 数 学 家3(包 括 克 罗 内 克 、 克 莱 因 和 庞 加 莱 等 )的 反 对 ， 但 到 20世 纪 初 ， 这 一 新 的 理 论 在 数 学中 的 作 用 越 来 越 明 显 ， 集 合 概 念 本 身 被 抽 象 化 了 ， 在 弗 雷 歇 (M Frechet
16、)等 人 的著 作 ( 关 于 泛 函 演 算 若 干 问 题 ， 1906)中 不 是 数 集 或 点 集 ， 而 可 以 是 任 意 性 质 的元 素 集 合 ， 如 函 数 的 集 合 ， 曲 线 的 集 合 等 等 这 就 使 集 合 论 能 够 作 为 一 种 普 遍 的 语 言而 进 入 数 学 的 不 同 领 域 ， 同 时 引 起 了 数 学 中 基 本 概 念 (如 积 分 、 函 数 、 空 间 等 等 )的 深 刻 变 革 (2)公 理 化 方 法 H 外 尔 (Weyl)曾 说 过 ： “20世 纪 数 学 的 一 个 十 分 突 出 的 方 面是 公 理 化 方 法
17、所 起 的 作 用 极 度 增 长 ， 公 理 化 方 法 仅 仅 用 来 阐 明 我 们 所 建 立 的 理 论 的 基础 ， 而 现 在 它 却 成 为 具 体 数 学 研 究 的 工 具 ”现 代 公 理 化 方 法 的 奠 基 人 是 D.希 尔 伯 特 我 们 已 经 知 道 ， 虽 然 欧 几 里 得 已 用 公 理化 方 法 总 结 了 古 代 的 几 何 知 识 ， 但 他 的 公 理 系 统 是 不 完 备 的 希 尔 伯 特 在 1899年发 表 的 几 何 基 础 中 则 提 出 第 一 个 完 备 的 公 理 系 统 与 以 往 相 比 ， 希 尔 伯 特 公 理 化方
18、 法 具 有 两 个 本 质 的 飞 跃 首 先 是 希 尔 伯 特 在 几 何 对 象 上 达 到 了 更 深 刻 的 抽 象 。 欧 几 里 得 几 何 对 所 讨 论 的 几何 对 象 (点 、 线 、 面 等 )都 给 以 描 述 性 定 义 ， 而 希 尔 伯 特 发 现 点 、 线 、 面 的 具 体 定 义本 身 在 数 学 上 并 不 重 要 ， 它 们 之 所 以 成 为 讨 论 的 中 心 ， 仅 仅 是 由 于 它 们 与 所 选 择 的 公理 的 关 系 因 此 希 尔 伯 特 的 公 理 体 系 虽 然 也 是 从 “点 、 线 、 面 ”这 些 术 语 开 始 ，
19、但它 们 都 是 纯 粹 抽 象 的 对 象 ， 没 有 特 定 的 具 体 内 容 正 如 希 尔 伯 特 本 人 曾 形 象 地 解 释 的那 样 ： 不 论 是 管 这 些 对 象 叫 点 、 线 、 面 ， 还 是 叫 桌 子 、 椅 子 、 啤 酒 杯 ， 它 们 都 可 以 成为 这 样 的 几 何 对 象 ， 对 于 它 们 而 言 ， 公 理 所 表 述 的 关 系 都 成 立 这 就 赋 予 了 公 理 系 统的 最 大 的 一 般 性 ， 当 赋 予 这 些 抽 象 对 象 以 具 体 内 容 时 ， 就 形 成 各 种 特 殊 的 理 论 其 次 ， 希 尔 伯 特 考
20、察 了 各 公 理 间 的 相 互 关 系 ， 明 确 提 出 了 对 公 理 系 统 的 基 本 逻 辑要 求 ， 即 ： 相 容 性 ， 独 立 性 ， 完 备 性 由 于 上 述 的 特 点 ， 希 尔 伯 特 的 公 理 化方 法 不 仅 使 几 何 学 具 备 了 严 密 的 逻 辑 基 础 ， 而 且 逐 步 渗 透 到 数 学 的 其 他 领 域 ， 成 为组 织 、 综 合 数 学 知 识 并 推 动 具 体 数 学 研 究 的 强 有 力 的 工 具 集 合 论 观 点 与 公 理 化 方 法 在 20世 纪 逐 渐 成 为 数 学 抽 象 的 范 式 ， 它 们 相 互 结
21、 合 将数 学 的 发 展 引 向 了 高 度 抽 象 的 道 路 这 方 面 的 发 展 ， 导 致 了 20世 纪 上 半 叶 实 变 函数 论 、 泛 函 分 析 、 拓 扑 学 和 抽 象 代 数 等 具 有 标 志 性 的 四 大 抽 象 分 支 的 崛 兴 这 四 大分 支 所 创 造 的 抽 象 语 言 、 结 构 及 方 法 ， 又 渗 透 到 数 论 、 微 分 方 程 论 、 微 分 几 何 、 代数 几 何 、 复 变 函 数 论 及 概 率 论 等 经 典 学 科 ， 推 动 它 们 在 抽 象 的 基 础 上 革 新 提 高 、 演化 发 展 11.2.1 勒 贝 格
22、 积 分 与 实 变 函 数 论集 合 论 的 观 点 在 20世 纪 初 首 先 引 起 了 积 分 学 的 变 革 ， 从 而 导 致 了 实 变 函 数 论 的建 立 19世 纪 末 ， 分 析 的 严 格 化 迫 使 许 多 数 学 家 认 真 考 虑 所 谓 “病 态 函 数 ”， 特 别是 不 连 续 函 数 ， 如 狄 利 克 雷 函 数 为 无 理 数当 为 有 理 数当 xfy,01)(和 不 可 微 函 数 ， 如 魏 尔 斯 特 拉 斯 函 数 ， 并 研 究 这 样 个 问 题 ： 积 分 的 概 念 可 以 怎 样推 广 到 更 广 泛 的 函 数 类 (如 某 种
23、间 断 函 数 )上 去 这 方 面 首 先 获 得 成 功 的 是 法 国 数 学家 勒 贝 格 (H.Lebesgue) 他 在 1902年 发 表 的 积 分 ， 长 度 与 面 积 (博 士 论 文 )中 利用 以 集 合 论 为 基 础 的 “测 度 ”概 念 而 建 立 了 所 谓 “勒 贝 格 积 分 ”与 柯 西 和 黎 曼 的 积 分 概 念 不 同 ， 勒 贝 格 将 函 数 在 区 间 上 的 值 的)(xfy,ba下 确 界 与 上 确 界 之 间 的 线 段 分 成 个 小 区 间 ， 其 中)(A)(Bnny1210,(下 图 )， 对 每 一 个 这 样 的 分
24、割 作 “勒 贝 格 积 分 和 ”：yn,0， 其 中 表 示 满 足 的 所 有 的 点 的neyeS1 i )(iif x集 合 的 “测 度 ” 当 时 ， 勒 贝 格 积 分 和 的 极 限 就 定 义 为)(i |max1iyS4“勒 贝 格 积 分 ”(对 于 上 所 谓 “有 界 可 测 函 数 ” ， 勒 贝 格 证 明 的 极 限 一,bafS定 存 在 )这 里 “测 度 ”概 念 是 通 常 的 “长 度 ”概 念 对 任 意 集 合 情 况 的 推 广 按 照 集 合 论 ，直 线 上 一 个 开 集 可 以 表 示 成 一 列 开 区 间 的 和 ， 这 列 开 区
25、 间 长 度 之 和 就 是 该 开 集 的 测度 闭 集 可 以 看 作 是 开 集 关 于 某 区 间 的 余 集 ， 因 此 ， 闭 集 的 测 度 定 义 为 区 间 长 与 开 集测 度 的 差 直 线 上 任 意 一 点 集 ， 若 用 开 集 包 起 来 ， 则 认 为 的 测 度 小 于 的EGEG测 度 ， 这 种 外 包 集 可 以 有 很 多 ， 它 们 的 测 度 的 下 确 界 叫 的 “外 测 度 ”； 同 样 ， 用闭 集 从 的 内 部 填 ， 把 所 有 内 填 闭 集 的 测 度 的 上 确 界 叫 的 “内 测 度 ”。FEF一 个 集 合 如 果 内 外
26、 测 度 相 等 ， 则 称 有 测 度 ， 或 称 “可 测 集 ”测 度 论 最 先 是 由 勒 贝 格 的 老 师 博 雷 尔 (E.Borel， 18711956)创 立 的 ， 勒 贝 格将 其 应 用 于 新 的 积 分 论 勒 贝 格 积 分 使 一 些 原 先 在 黎 曼 意 义 下 不 可 积 的 函 数 按 勒贝 格 的 意 义 变 得 可 积 在 勒 贝 格 积 分 的 基 础 上 可 以 进 一 步 推 广 导 数 等 其 他 微 积 分基 本 概 念 ， 并 重 建 微 积 分 基 本 定 理 (微 分 运 算 与 积 分 运 算 的 互 逆 性 )等 微 积 分 的
27、 基本 事 实 从 而 形 式 了 一 门 新 的 数 学 分 支 实 变 函 数 论 实 变 函 数 论 是 普 通 微 积 分 的 推 广 ， 它 使 微 积 分 的 适 用 范 围 大 大 扩 展 ， 引 起 数 学分 析 的 深 刻 变 化 而 勒 贝 格 积 分 正 是 这 门 学 科 的 中 心 概 念 ， 因 此 勒 贝 格 积 分 理 论 可 以说 是 20世 纪 数 学 开 门 红 的 重 大 贡 献 之 一 ， 但 这 项 理 论 在 刚 开 始 也 像 集 合 论 等 新 生 事 物一 样 遭 到 了 许 多 反 对 当 时 就 连 像 埃 尔 米 特 这 样 的 大 数
28、 学 家 (庞 加 莱 的 老 师 ， 证 明了 e的 超 越 性 )， 都 毫 不 掩 饰 他 对 研 究 病 态 函 数 的 反 感 ， 他 在 一 封 信 中 写 道 ： “我怀 着 惊 恐 的 心 情 对 不 可 导 函 数 的 令 人 痛 惜 的 祸 害 感 到 厌 恶 ”勒 贝 格 回 忆 他 的 积分 理 论 公 布 后 ， 他 在 人 们 心 目 中 “成 了 没 有 导 数 的 函 数 的 人 ”， 无 论 他 参 加 哪 里的 讨 论 会 ， 总 是 有 人 对 他 说 ： “这 里 不 会 使 您 感 兴 趣 ， 我 们 在 讨 论 有 导 数 的 函 数 ”勒 贝 格
29、从 1902年 发 表 论 文 起 差 不 多 10年 内 在 巴 黎 找 不 到 职 位 ， 直 到 1910年 才获 准 进 入 巴 黎 大 学 ， 1921年 起 任 法 兰 西 学 院 教 授 ， 这 时 他 已 46岁 不 用 说 ， 勒 贝格 积 分 今 天 已 获 得 广 泛 的 承 认 ， 不 只 是 数 学 家 ， 工 程 师 、 物 理 学 家 们 也 普 遍 运 用 抽 象积 分 理 论 来 处 理 他 们 无 法 回 避 的 病 态 函 数 勒 贝 格 积 分 可 以 看 作 是 现 代 分 析 的 开端 作 为 分 水 岭 ， 人 们 往 往 把 勒 贝 格 以 前
30、的 分 析 学 称 为 经 典 分 析 ， 而 把 以 由 勒 贝 格 积分 引 出 的 实 变 函 数 论 为 基 础 而 开 拓 出 来 的 分 析 学 称 为 现 代 分 析 这 个 现 代 分 析 的 另 一大 支 柱 ， 是 在 20世 纪 前 三 十 年 间 形 成 的 泛 函 分 析 11.2.2 泛 函 分 析我 们 在 讲 变 分 法 时 实 际 上 已 接 触 到 “泛 函 ”这 个 概 念 ， 变 分 法 的 典 型 问 题 是 求积 分5badxyFyJ),()(的 极 值 ， 其 中 本 身 是 一 个 可 变 函 数 ， 这 样 就 可 以 看 作 是 “函 数 的
31、 函xy )(yJ数 ”(对 每 一 个 函 数 有 一 个 值 相 对 应 )， 也 就 是 所 谓 “泛 函 ” 关 于 泛 函 的抽 象 理 论 在 19世 纪 末 20世 纪 初 首 先 由 意 大 利 数 学 家 伏 尔 泰 拉 (V Volterra)和 法国 数 学 家 阿 达 马 在 变 分 法 的 研 究 中 开 创 “泛 函 ”这 个 名 称 就 是 由 阿 达 马 首 先 采 用的 ， 伏 尔 泰 拉 称 之 为 线 函 数 ， 即 曲 线 的 函 数 泛 函 分 析 的 另 一 个 来 源 是 积 分 方 程 (未 知 函 数 在 积 分 号 下 的 方 程 )理 论
32、19世纪 末 ， 瑞 典 数 学 家 弗 雷 德 霍 姆 (I.Fredholm)创 造 了 一 种 优 美 的 方 法 来 处 理 某 类 特 殊的 积 分 方 程 (现 称 弗 雷 德 霍 姆 方 程 )， 这 个 方 法 揭 示 了 积 分 方 程 与 线 性 代 数 方 程 组 之间 的 相 似 性 ， 从 而 可 将 积 分 方 程 看 成 是 线 性 代 数 方 程 组 的 极 限 情 形 但 弗 雷 德 霍 姆 未能 实 现 无 穷 多 个 代 数 方 程 的 极 限 过 程 ， 这 一 步 是 由 希 尔 伯 特 完 成 的 希 尔 伯 特 在 19041910年 发 表 了
33、6篇 论 文 (后 收 载 在 他 的 线 性 积 分 方 程 一 般 理论 原 理 一 书 中 ， 1912)， 通 过 严 密 的 极 限 过 程 将 有 限 线 性 代 数 方 程 组 的 结 果 有 效 地类 比 推 广 到 积 分 方 程 正 是 在 这 一 过 程 中 ， 他 引 进 了 无 穷 实 数 组)(, aann或简 记 为的 全 体 组 成 的 集 合 (后 记 为 )(其 中 任 一 数 组 诸 分 量 的 平 方 和 都 是 有 限 数 )，2l 12na并 在 任 意 两 数 组 和 间 定 义 了 一 种 叫 做 内 积 的 运 算 ， 用 表 示 ：nbn ,
34、(b1),(iia这 样 一 个 无 穷 集 合 ， 就 构 成 后 来 所 说 的 “希 尔 伯 特 空 间 ”， 也 是 历 史 上 第 一 个2l具 体 的 无 穷 维 空 间 希 尔 伯 特 本 人 当 时 只 是 把 它 当 作 研 究 积 分 方 程 论 的 工 具 ， 并 没 有意 识 到 它 的 革 命 性 意 义 ， 而 且 也 没 有 使 用 几 何 语 言 希 尔 伯 特 之 后 ， 他 的 学 生 施 密 特 (E Schimidt)以 及 冯 诺 依 曼 等 人 进 一 步 研究 无 穷 数 组 集 合 (平 方 可 和 ) ， 将 每 个 无 穷 组 看 作 是 一
35、 个 “点 ”， 并 经 过 深2lna入 的 几 何 类 比 ， 正 式 确 定 了 希 尔 伯 特 空 间 的 概 念 在 这 种 类 比 推 广 中 ， “内 积 ”概 念 扮 演 了 关 键 角 色 (因 此 希 尔 伯 特 空 间 通 常 也 叫 “内 积 空 间 ”)： 如 果 将 无 穷 数组 看 成 是 一 个 有 无 穷 多 个 坐 标 的 “向 量 ”， 引 进 记 号 表an ,21n a示 数 量,),(1na这 显 然 是 三 维 空 间 中 向 量 长 度 的 推 广 同 样 像 三 维 空 间 一 样 ， 两 个 向 量 称 为 “正 交 ”(即 相 互 垂 直
36、)， 如 果 它 们 的b,内 积 特 别 是 ， 施 密 特 等 还 考 虑 了 一 系 列 彼 此 不 同 的 向 量0),(ba， 假 定 其 中 任 意 两 个 不 同 向 量 都 正 交 ， 并 且 每 个 向 量 的 长 度 都 等 于21 ne1 这 样 的 一 系 列 向 量 被 称 为 “标 准 正 交 系 ”， 它 们 是 直 角 坐 标 系 的 无 穷 维 类 似 物 以 后 数 学 家 们 又 发 现 了 其 他 无 穷 维 希 尔 伯 特 空 间 的 例 子 ， 特 别 是 1907年 匈 牙 利数 学 家 里 斯 (F Riesz)和 德 国 数 学 家 费 舍 尔
37、 (E Fischer)几 乎 同 时 建 立 了 全 体 在 区间 上 平 方 (勒 贝 格 )可 积 函 数 的 集 合 与 平 方 可 积 数 组 之 间 的 等,ba)(xf,2baL2l价 (一 一 对 应 )关 系 ， 该 结 果 叫 里 斯 -费 舍 尔 定 理 ， 它 使 一 个 平 方 可 积 函 数 可 以 看f作 是 无 穷 维 空 间 中 的 一 个 点 粗 略 地 说 ， 泛 函 分 析 就 是 在 这 种 抽 象 函 数 空,2baL间 上 的 微 积 分 从 观 念 上 来 说 ， 泛 函 分 析 的 建 立 体 现 了 20世 纪 在 集 合 论 影 响 下 空
38、 间 和 函 数 这 两6个 基 本 概 念 的 进 一 步 变 革 “空 间 ”现 在 被 理 解 为 某 类 元 素 的 集 合 ， 这 些 元 素 按 习惯 被 称 作 “点 ”(虽 然 它 们 可 以 是 任 意 的 抽 象 对 象 )， 它 们 之 间 受 到 某 种 关 系 的 约 束 ，这 些 关 系 被 称 之 为 空 间 的 结 构 简 言 之 ， “空 间 ”仅 仅 是 具 有 某 种 结 构 的 集 合 ， 而“函 数 ”的 概 念 则 被 推 广 为 两 个 空 间 (包 括 一 个 空 间 到 它 自 身 )之 间 的 元 素 对 应 (映射 )关 系 其 中 将 函
39、 数 映 为 实 数 (或 复 数 )的 对 应 关 系 就 是 通 常 所 称 的 “泛 函 ” 空间 与 函 数 概 念 的 这 种 崭 新 的 理 解 ， 在 法 国 数 学 家 弗 雷 歇 (M.L.Frechet)1906年 发 表的 论 文 关 于 泛 函 演 算 若 干 问 题 (博 士 论 文 )中 已 有 明 确 的 阐 述 弗 雷 歇 在 将 普 通的 微 积 分 演 算 推 广 到 函 数 空 间 方 面 做 了 大 量 先 驱 性 工 作 ， 因 此 ， 弗 雷 歇 是 本 世 纪 抽 象泛 函 分 析 理 论 的 奠 基 人 之 一 抽 象 空 间 理 论 与 泛 函
40、 分 析 在 20世 纪 上 半 叶 有 了 巨 大 的 发 展 ， 1922年 波 兰 数 学 家巴 拿 赫 (S Banach， 18921945)提 出 了 比 希 尔 伯 特 空 间 更 一 般 的 赋 范 空 间 (后 称巴 拿 赫 空 间 )概 念 ， 用 与 角 度 概 念 无 关 的 “范 数 ”替 代 内 积 而 定 义 距 离 及 收 敛 性 ，极 大 地 拓 广 了 泛 函 分 析 的 疆 域 巴 拿 赫 还 建 立 了 巴 拿 赫 空 间 上 的 线 性 算 子 理 论 ， 证明 了 一 批 后 来 成 为 泛 函 分 析 基 础 的 重 要 定 理 巴 拿 赫 无 疑
41、 也 是 现 代 泛 函 分 析 的 奠 基人 广 义 函 数 论 的 建 立 是 20世 纪 泛 函 分 析 发 展 中 的 又 一 重 大 事 件 长 期 以 来 ， 科 学家 们 一 直 为 一 类 奇 怪 的 函 数 所 困 扰 ， 狄 拉 克 函 数 是 这 类 函 数 的 一 个 典 型 例 子 ：.1)(,0()dxx这 类 函 数 在 物 理 学 中 应 用 广 泛 ， 但 按 已 有 的 数 学 概 念 却 不 能 理 解 1945年 ， 法 国 数 学 家 施 瓦 茨 (L.Schwartz)将 这 些 函 数 解 释 为 函 数 空 间 上 的 连 续线 性 泛 函 即
42、广 义 函 数 ， 使 它 们 有 了 严 格 的 数 学 基 础 广 义 函 数 标 志 着 函 数 概 念 发 展 史上 的 一 个 新 阶 段 施 瓦 茨 称 广 义 函 数 为 “分 布 ”(distribution)， 因 此 广 义 函 数论 也 叫 “分 布 论 ” 在 施 瓦 茨 之 前 ， 原 苏 联 数 学 家 索 伯 列 夫 (S.L.Soblev,19081989)在 偏 微 分 方 程 研 究 中 实 际 上 已 引 入 了 广 义 函 数 (1936) 盖 尔 范 德 (H.M.Gelfand)对 广 义 函 数 论 的 发 展 也 有 重 大 贡 献 泛 函 分
43、析 有 力 地 推 动 了 其 他 分 析 分 支 的 发 展 ， 使 整 个 分 析 领 域 的 面 貌 发 生 了 巨 大变 化 泛 函 分 析 的 观 点 与 方 法 还 广 泛 渗 透 到 其 他 科 学 与 工 程 技 术 领 域 11.2.3 抽 象 代 数在 20世 纪 公 理 化 方 法 向 各 个 数 学 领 域 渗 透 的 过 程 中 ， 抽 象 代 数 的 形 成 与 发 展 占 有特 殊 的 地 位 在 19世 纪 ， 代 数 学 的 对 象 已 突 破 了 数 (包 括 用 符 号 表 示 的 数 )的 范 畴 ， 这 种 突破 是 由 伽 罗 瓦 群 的 概 念 开
44、 始 的 在 伽 罗 瓦 之 后 ， 群 的 概 念 本 身 进 一 步 发 展 ， 除 了 有 限的 、 离 散 的 群 ， 又 出 现 了 无 限 群 、 连 续 群 等 代 数 对 象 的 扩 张 ， 在 19世 纪 还 沿 着其 他 途 径 进 行 ， 先 后 产 生 了 许 多 其 他 的 代 数 系 统 ， 例 如 ， 我 们 已 提 到 过 的 四 元 数 与 超复 数 、 域 、 理 想 等 19世 纪 数 学 家 还 引 进 了 环 (戴 德 金 ， 1871 克 罗 内 克 也 研 究过 环 并 称 之 为 “order”， 希 尔 伯 特 首 先 使 用 了 “ring”
45、即 环 这 个 名 称 )和 格 (戴德 金 ， 1897)等 然 而 所 有 这 些 概 念 起 先 都 是 以 具 体 的 形 式 出 现 和 被 定 义 的 伽 罗 瓦 的 群 只 是 有 限置 换 群 ； 克 莱 因 的 无 限 群 也 是 各 种 具 体 的 变 换 群 同 样 ， 戴 德 金 和 克 罗 内 克 引 进 的 域也 都 是 具 体 的 代 数 数 域 这 些 具 体 的 代 数 系 统 各 自 有 着 不 同 的 来 源 ， 基 本 上 是 相 互 独立 地 被 研 究 着 而 没 有 统 一 的 基 础 随 着 研 究 的 深 入 ， 人 们 逐 渐 认 识 到 这
46、 些 代 数 系 统 中元 素 本 身 的 内 容 并 不 重 要 ， 重 要 的 是 关 联 这 些 元 素 的 运 算 (如 乘 法 、 加 法 )及 其 所服 从 的 规 则 (如 分 配 律 、 交 换 律 等 )， 于 是 便 开 始 了 舍 弃 元 素 的 具 体 内 容 从 具 体 代 数系 统 向 抽 象 代 数 系 统 的 过 渡 这 方 面 早 期 的 探 索 者 有 ： 凯 莱 （ Cayley,1821-1895） ， 他 在 18491854年 间首 先 指 出 群 可 以 是 一 个 普 遍 的 概 念 ， 不 必 局 限 于 置 换 群 ， 从 而 引 进 了 (
47、有 限 )抽 象群 ； 弗 罗 贝 尼 乌 斯 (F.G.Frobenius， 18491917)， 他 从 1895年 开 始 发 展 了 研 究 抽象 群 的 有 力 工 具 群 表 示 论 ； 韦 伯 (H Weber， 18421913)， 他 在 1893年 提 出了 域 的 抽 象 理 论 ， 等 等 但 所 有 这 些 抽 象 化 尝 试 都 是 局 部 的 和 不 彻 底 的 7代 数 学 中 公 理 化 方 法 的 系 统 运 用 是 在 希 尔 伯 特 关 于 几 何 基 础 的 工 作 出 现 之 后 20世 纪 初 ， 亨 廷 顿 (E.V.Huntington)与 狄
48、 克 森 (L.E.Dickson)给 出 了 抽 象 群 的 公 理 系统 (1902， 1905)； 斯 坦 尼 兹 (E.Steinitz)继 承 了 韦 伯 的 路 线 对 抽 象 域 展 开 了 综 合 研究 ( 域 的 代 数 理 论 ， 1911)； 韦 德 玻 恩 (J.H.M.Wedderburn)则 发 展 了 线 性 结 合 代数 ( 论 超 复 数 ， 1907)等 等 特 别 是 到 了 1920年 代 ， 在 希 尔 伯 特 直 接 影 响 下 的 诺特 (Fanny Noether， 1882-1935)及 其 学 派 的 工 作 ， 最 终 确 立 了 公 理 化 方 法 在 代 数 领域 的 统 治 地 位 通 常 将 诺 特 1921年 发 表 的 环 中 的 理 想 论 看 作 是 现 代 抽 象 代 数 的 开 端 在 这篇 仅 40多 页 的 论 文 中 ， 诺 特 用 公 理 化 方 法 发 展 了 一 般 理 想 论 ， 奠 定 了 抽 象 交 换 环 理
