1、0数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编部分习题参考解答P.4 习题1设 a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当 时，ax 是无理数。0a证明 （1） （反证）假设 a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x a 是有理数。这与题设“ x 为无理数”矛盾，故 a + x 是无理数。（2）假设 ax 是有理数，于是 是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。3设 ，证明：若对任何正数 有 ，则 a = b 。Rba, |ba证明 由题设，对任何正数 有 ，再由教材 P.3 例 2，可得0|，于是 ，从而 a =
2、 b 。0|0|另证 （反证）假设 ，由实数的稠密性，存在 r 使得 。这| 0|rba与题设“对任何正数 有 ”矛盾，于是 ，从而 a = b 。| 0|5证明：对任何 有Rx（1） ； （2）1| 2|3|2|1| xx证明 （1） |)()| （2）因为 ，|3| xxx所以 2|2| 6设 证明Rcba, | cbab证明 建立坐标系如图，在三角形 OAC 中，OA的长度是 ，OC 的长度是 ，2 2AC 的长度为 。因为三角形两边的差|cb大于第三边，所以有 ac),(baA),(cCxyO1| 22cbab7设 ，证明 介于 1 与 之间。x,0xaba证明 因为 ，|1ba1|)
3、(baxax所以 介于 1 与 之间。bab8设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则 是无理数。p证明 （反证）假设 为有理数，则存在正整数 m、n 使得 ，其中 m、n 互素。于是 ，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使2nm得 。于是 ， ，从而 p 是 m 的约数，故 m、n 有公约数 p kp2kkm2。这与“m、n 互素 ”矛盾。所以 是无理数。P.9 习题2设 S 为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；若 ， ，使得 ，则称 S 无上界。Mx0Mx0（请与 S 有上界的定义相比较：若 ，使得 ，有 ，则称 S 有上界）xM
4、（2）S 无界。若 ， ，使得 ，则称 S 无界。x0x|0（请与 S 有界的定义相比较：若 ，使得 ，有 ，则称 S 有界）x|3试证明数集 有上界而无下界。,2|Rxy证明 ，有 ，故 2 是 S 的一个上界。x2而对 ，取 ， ，但 。故数0Mx3SMxy1200 y0集 S 无下界。4求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1） ,2|Rx解 ， 。下面依定义加以验证2supS2infS（ 可类似进行） 。2supSinfS，有 ，即 是 S 的一个上界， 是 S 的一个下界。x2x，若 ，则 ，都有 ；若 2，则由实00x数的稠密性，必有实数 r ，使得 ，即 ， 不是上界，所以
5、2rr。2supS（2） ,!|Nnx解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为 。 。Ssup1infS， 有 ， 即 1 是 S 的一个下界 ；x!，因为 ，即 不是 S 的下界。所以 。1if(3) ),0(|内 的 无 理 数为xS解 仿照教材 P.6 例 2 的方法，可以 验证： 。 1sup0infS7设 A、B 皆为非空有界数集，定义数集 ,|ByAxzBA证明：（1） ； （2）sup)sup( infi)if(证明 （1）因为 A、B 皆为非空有界数集，所以 和 都存在。sup，由定义分别存在 ，使得 。由于 ，zByAx, yxzAxsup，故 ，即 是数集 的一个上界。y
6、supyxsupsB3BAsup， （要证 不是数集 的上界） ， ，由上BAABsup确界 的定义，知存在 ，使得 。于是 ，再由上supx0xsup0x0确界 的定义，知存在 ，使得 。从而 yz，且y0y。因此 是数集 的上确界，即BAz0 BAsupABABsup)s(另证 ，由定义分别存在 ，使得 。由于zyx, yxz， ，故 ， 于是xsupysyxsup。 BABs)up(由上确界的定义， ， ，使得 ， ，使得0x2s0xBy0，从而 ，由教材 P.3 例 2，可2sup0Byyup)s(0得BABsup)up(由、，可得 s类似地可证明： infi)inf(P.15 习题9
7、试作函数 的图象)arcsi(xy解 是以 2 为周期，in定义域为 ，值域为),(,的分段线性函数，其图象如图 。11试问 是初等函数吗？|xy解 因为 ，可看成是两个初等函数 与 的复合，所以2| uy2x是初等函数。|xy 22xy412证明关于函数 的如下不等式：xy（1）当 时， （2）当 时，0x110xx1证明 （1）因为 ，所以当 时，有 ，xx从而有 。x（2）当 时，在不等式 中同时乘以 x，可得011x，从而得到所需要的不等式 。xx11 P.20 习题1证明 是 R 上的有界函数。1)(2f证明 因为对 R 中的任何实 数 x 有 212x)|2(x所以 f 在 R上有
8、界。2 （1）叙述无界函数的定义；（2）证明 为（0，1）上的无界函数；2)(xf（3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 0，1 上的无界函数。解 （1）设函数 ，若对任何 ，都存在 ，使得Dx)( 0MDx0，则称 f 是 D 上的无界函数。Mxf|)(|0（2）分析： ，要找 ，使得 。为此只需 。0)1,0(xx20x10证明 ，取 ，则 ，且 ，所以 f 0M),(M120为区间（0，1）上的无界函数。5（3）函数 是闭区间 0，1 上的无界函数。01)(xf10讨论狄利克雷函数 ，的有界性，单调性与周期性。为 无 理 数当 为 有 理 数当 xD,)(解 函数 是有界函数： 。不是单调函数。)(x1|是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期。证明如下：D设 r 是任一正有理数。若 x 是有理数， 则 是有理数，于是 ；若 rx)(1)(xDrxx 是无理数，则 是无理数，于是 。r)(0)(D任何无理数都不是 的周期。)(xD
