1、2012年 第51卷第7期 数学通报 41 拐角长廊 中的 黄军华 数学问题 (深圳市深圳中学518001) 拐角长廊常见于一些大型建筑群中，如某些 学校将教学楼、实验大楼、图书馆、办公室等建成 四合院的形式，其走廊近似于一个“回”字，这就形 成了拐角走廊而在建设工地，我们常看到这样 的场景：建筑：人杠着木杆，拉着板车，抬着矩形 玻璃，小心翼翼地通过那些拐角长廊，我们不禁会 想到如下的问题：满足什么条件的木杆，板车与玻 璃能够通过拐角，通过的最佳方式又是什么?下 面我们来探究这些问题 在文1中，对木杆水平通过拐角的问题已有 如下结论： 宽为n的走廊与另一宽为b的走廊垂直相 连，如果长为 f的木
2、杆能水平地通过拐角，则l的 r一 一r 一 最大值为6 + 口。6 +口。+ 口 b 同时在文1末还希望能解决拐角不是垂直 的情形，我们在给出另一方向的命题后，再解决文 Eli中的问题，进而探究木杆不在水平状态下通过 拐角的问题 命题1 宽为a的走廊与另一走廊垂直相 连，如果长为f的木杆能水平地通过拐角，则另一 r 一r 一 走廊的宽度至少是z 一 n l一 z a -a (Z口) 证明首先要说明的是，我们只讨论zn的 情况，是因为当zn时，另一走廊的宽度可以是 任意的，因为此时木杆可以垂直于宽为a的走廊 而通过拐角 如图1，当木杆MN不靠墙角B能通过走廊 时，则靠墙角B也能通过 走廊因为我们
3、过B作 ACMN，显然I Ac Il MN1故我们只要考虑过 墙角B的情况设此时 木杆与一走廊一边的夹 C 图1 角为 (0手，g ( )0，当 (00，丌)时，c。s 手，g ( )b，则AC f(r，一 + 一 + ， 42 数学通报 2012年 第51卷 第7期 f (y)一一 图2 bcos7 一口(cosacosy-sinasiny)sin。y 一-bcos7(sinacosy+cosasiny) sin (a+y)sin y ax (一co +xsina)一6(sina+xcosa) z sin2(口+y) cosy (其中 tany) nsimz。一(acosa+b COS。a)
4、x -bsin2ax-b sin 口 z。sin (a+7) cosy 设方程(2)的根为z ，z ， 。，由韦达定理，z zz 。 一 0，这样，z ，z。， 。全部为正或一正两负 a 或有一个正实数根，另外两个根为一对共轭虚根 如果 ，z。，z 全部大于零， 则1 ：三 三 垒 上 o 一 o (3) (4) (4) COSab矛盾 故方程(1)的根是一正两负或有一个正实数 根，另外两个根为一对共轭虚根，不妨设正根为 z0，则 g(z)一asinax。一(aCOSO+b COS。d)X。一 bsin2a b sin a =asina(x-x0)(z +px+q) 当oO，显然z +px+q
5、 是恒大于零的(如果两根都为负，则pO，qO， 如果是两个共轭虚根，则0，此时厂(y)在Yo取最小值 当Q。 注意到厂()，)在号是连续的，故当YY。时， 还是有f (y)O 于是，无论y的范围是(o，号)还是(0，丌)，都 在 取得最小值f(Yo ，又sinyo一 丽3Co ， c 。一 1 以 f(Y0)一 + ，这正是木 杆的最大长度 推论宽为a的走廊与另一宽也为a的走廊 相连，所成角为a(0n一4或类似方法教给学生 解2OO8卷的最后一道填空题，那么大多数学生在 解这道题时的束手无策应在情理之中 14题设集合A一(z， )l ( -2)。+ Y m。，z，YR)， B一( ，Y)l 2
6、mlz+Y2m+1，-z，YR)， 若A n B ，则实数m的取值范围是 解法如下 由于A ，所以mz ，即 寺或 o，因为集合A表示一个圆及其内部 或一个圆环及其内部，集合B表示两平行直线及 两平行直线之间的区域，所以只要两平行直线 z+ 一2m和jr+3，一2 +1之一与大圆(z一2)。+ Y 一 。( 一0时可看成点圆)有公共点，就有 ANB 于是 或等 ImI，解得1一 2+ ，结合 百1或 厶 1 mO得去m2+2 厶 点评解决本题必须要有较扎实的基本功， 即集合的相关知识以及转化和数形结合的思想， 能够准确的将符号语言A n B 转化为对直线 与圆的位置关系的判断，而这是高中生应掌握的 基本方法 至此，我们应清醒地认识到，“淡化特殊技巧， 重视通性通法”应成为所有教师的共识，特别是在 解题教学中，应首先提倡通性通法，只有让学生较 扎实的掌握通性通法，才能使他们在解题时更有 底气，才能使他们在考试中立于不败之地，更能为 他们未来的发展奠定良好的基础 参考文献 1 张海强2011年江苏省高考数学试卷分析与改进意见数学 通报，2011，9 2 王金才数学思想、数学方法和数学能力及关系的正确认识 数学通报，2011，11
