1、西南交通大学峨眉校区 2012 年全国大学生数学建模竞赛第一次预选赛学号：20106995专业：工机 2 班姓名：吴一凡- 0 -（1）质点系的转动惯量（本题 10 分）已知在平面上的 n个质点 1,2, ,()().()nPxyPxy，其质量分别为12,.nm，请你确定一个点 ，使得质点系关于此点的转动惯量为最小。 222 yxmrJ iiiiz转动惯量为最小，此时有 0,dyJxzz，即取质心位置。iiiimyyx,得到 iiiiP,（2）火箭发射问题（本题 10 分）当火箭从地面发射后，它的质量以 40 千克/秒的速度减少，当火箭离地球中心6378 公里时，这时火箭的速度是 100 公里
2、/秒，火箭的质量为 3189 千克,问这时的地球对火箭的引力 F减少的速率是多少（已知地球的质量 245.9810M千克，引力常数16.70G牛米 2/千克 2）？由 ，除以时间 t，推出：mrM2 232rGMmrdtrFdtdtF 332412341 10678)0678(99.5.)0()0678(9.5. t代入数据，求得结果为 。sNdtFv/3.172- 0 -低碳经济的评价与科学预测摘要本文由实际出发，在所给数据中进行合理性的筛选，将表中数据通过评价系数来划分等次，通过加权系数进行处理，得到评价指数，具有良好的公平性。问题一通过比较可以得知，在综合评价中北京重庆四川上海。在分析各
3、省低碳经济的发展变化中，北京的各项指标突出，低碳经济发展很好。上海正在大力推行低碳经济，它的评价指数在不断上升中。重庆与四川相对稳定，总体上没有太大波动。问题二要预测 2012 年 4 个省的人均 2CO排放量，通过数据量小的特点，利用改进后的二次移动平均法建立预测模型，利用 EXCEL 软件求解。结果为：北京 6.633；上海13.710；重庆 5.702；四川 4.105。通过拟合的方法验证模型是正确的。问题三要满足目标，在查阅资料后找出与题中对应的我国十二五节能减排目标：1)单位 GDP 二氧化碳排放降低 17% 2)森林覆盖率提高到 21.66%由此通过预测模型求解 2015 年以上两
4、项的数值，加以比较，利用 EXCEL 软件求解。北京在四省市中节能减排最为明显，上海、重庆、四川不能达到单位 GDP 二氧化碳排放量减排目标，四川也没有达到森林覆盖率的既定目标。并就这些问题给出了相关建议。本文最大的特色是利用评价系数系统地得到评价指数，具有良好的公平性。通过基于线性规划的二次移动平均法来预测数据，简单容易，比较准确。同时利用数值拟合与线性规划的方法进行验证。EXCEL 软件对商务办公来说非常方便,既解决了传统手工进行统计预测的繁杂，又避免了未汉化 SAS 软件给普通用户带来的困难。对于日常研究，调研分析都有实际的参考意义。关键词：评价系数、移动平均法、数值拟合、excel-
5、1 -一、问题提出2009 年联合国丹麦哥本哈根气候大会以来， “应对气候变化”成为全世界关注的最热门的话题。 “低碳”的基本含义是较低地排放以二氧化碳为代表的温室气体。低碳经济，以减少温室气体排放为特征。发展低碳经济，必须在联合国气候变化框架公约的基础上，它需要国家的支持，需要每一个企业单位，每一个人的努力，涉及到低碳文化、低碳立法、低碳政策、低碳金融、低碳贸易、低碳企业治理、低碳城市构建等方方面面，需要自然科学、技术科学、人文、社会、管理科学之间的融合与协调作战。附录给出了 20052009 年北京、上海、重庆、四川 4 个省的相关数据，请你研究下面三个问题：（1）根据所给数据建立数学模型
6、对 4 个省的低碳经济竞争力进行综合评价，给出每个省在各年的低碳经济竞争力的排序结果，分析各省低碳经济的发展变化状况。（2）根据所给数据建立数学模型预测 2012 年 4 个省的人均 2CO排放量。（3）温家宝总理在哥本哈根气候大会上庄严宣布，到 2020 年我国单位国内生产总值 CO2 排放在 2005 年基础上下降 40%45%的长期目标。为实现这一目标，国家“十二五规划”也明确提出了阶段的约束性指标。请你查阅有关资料，提出你自己认为切实可行的完成这一目标的建议和意见。二、基本假设1、假设各省相关数据具有独立性，互不影响，各个指标也不相互影响。2、假设各省相关数据具有良好的稳定性，没有特殊
7、政策和突发情况的影响。三、符号说明符号 意义 单位 备注nx表格中提供的各项数据)(tMN 次移动平均值四、问题分析本题是评价并预测的题目。数据少，波动性小。问题一首先进行数据分类，将所有数据处理成评价系数的形式。因为数据之间数量级的差距，故利用加权系数加以调整，得到合理的综合评价指数。问题二则需要分析数据，根据散点图的趋势来采用合适方法进行预测，并利用数值- 2 -拟合下的线性规划模型来相互印证预测的准确性。问题三要查找资料，根据上问中得到的预测模型来预测各项指标，并分析是否完成预期目标，并给出相关建议。五、模型的建立与求解5.1 问题一模型建立与求解5.1.1 问题一的分析将表中数据通过评
8、价系数来划分等次，评价系数与评价指数的关系是： 加 权 系 数评 价 系 数评 价 指 数 评价系数取值范围默认在（1-100）之间，取整数。不在范围内的利用加权系数酌情处理。表格中数据分析：表 1 人均二氧化碳排放，最小 2.1，最大 12.0993表 2 森林覆盖率，最小 3.17%，最大 34.81%表 3 人均城市绿地面积，最小 12.61，最大 68.70表 4 单位建成区面积能耗，最小 46016，最大 108122表 5 单位 GDP 二氧化碳排放，最小 1.1394，最大 2.2722经过数据处理，使得系数处于一个适当范围内。类别 表 1 表 2 表 3 表 4 表 5评价系数
9、 212 334 1268 46108 11.322.7本次是要评价各省低碳经济竞争力，故表 1，表 4，表 5 所代表的指标应尽可能低，表 2、表 3 代表的指标应该尽可能高。5.1.2 问题一模型的建立建立评价指数模型： 206,5,54132 nxaxaxaQn式中， 为综合评价指数； 是每组指标的评价指数； 是每组指标给定的加权t t系数；n代表其年份。- 3 -5.1.3 问题一模型的求解利用 Excel 软件计算，可以得到评价指数 Q。当 a=1 时，可以得到以下排名：地区 2005 2006 2007 2008 2009北京 -12 -10 -17 -13 6上海 -104 -1
10、14 -118 -122 -67重庆 -66 -64 -62 -64 -58四川 -48 -75 -79 -80 -785.1.4 问题一结果的分析及验证根据所得到的评价指数我们得知四省市的指数排名为北京重庆四川上海。实际分析，可以通过对数据的分析得到该指数与实际情况呈正相关，故实际得到的排名为北京重庆四川上海是合理的。当 a 取不同值时，虽然个别结果有差异，但总体上结果是一样的，a=1 是最简情况。各省低碳经济的发展变化状况：北京的各项指标突出，低碳经济发展很好。上海正在大力推行低碳经济，它的评价指数在不断上升中。重庆与四川相对稳定，总体上没有太大波动。5.2 问题二模型建立与求解5.2.1
11、 问题二的分析人 均 二 氧 化 碳 排 放 量024681012142004 2005 2006 2007 2008 2009 2010年 份吨/(人年) 北 京上 海重 庆四 川通过散点图观察，发现观测值都趋于稳定。可以采用二次移动平均法预测。通过与平滑指数法和数值拟合进行互补比较，就可以说明预测的准确性。年份 低碳经济竞争力排名2005 北京四川重庆上海2006 北京重庆四川上海2007 北京重庆四川上海2008 北京重庆四川上海2009 北京重庆上海四川综合评价 北京重庆四川上海- 4 -5.2.2 问题二模型的建立（1）一次移动平均法的预测模型： nxMtt)1(式中， 是一次移动平
12、均值； 是实际值之和， 为取值的个数。)1(tMt其中 n 的取值很重要，当 n 值较大时，灵敏度较差，有显著的“滞后现象” ；当 n值较小时，可以灵敏地反映时间数列的变化；但 n 值过小，又达不到消除不规则变动的目的。一般来说，可以采用不同 n，对时间数列进行试验，从中选择最优 n。本题为了达到最大利用程度，选择 n=3。3207206205207 xxM式中， 是移动平均值； 是实际值。207 2076205,（2）一次平滑指数法的预测模型： )(1()1( tFxtFt式中， 为 t 年的实际值； 为 t 年的预测值； 是平滑系数，取值为 。x 10首项的预测值可以取前三项的平均值。（3
13、）基于拟合的线性规划模型：通过 Excel 中的趋势线来找到函数关系式，建立线性规划模型： baxY式中， 为预测值，a，b 是拟合得到的系数，x 是自变量，根据表格而定。Y5.2.3 问题二模型的求解利用 excel 加载宏中的“数据分析” ，首先以北京为例，可以得到以下结果：- 5 -移 动 平 均6.577.581 2 3 4 5数 据 点值 实 际 值预 测 值预测值 7.4251 7.4913 7.233067误差 21.66%移动平均法指 数 平 滑6.877.27.47.67.88204 205 206 207 208 209 2010年 份吨/（人年） 实 际 值预 测 值指数
14、平滑法5.2.4 问题二结果的分析观察图表发现误差在 20%以上，一次移动平均法与平滑指数法在数据量小的情况下所得预测值不准确。5.2.5 问题二模型的改进由一次移动平均法进行二次移动平均，使数据得到进一步修匀，使其呈现线性趋势。 3120912081207209MM在二次移动平均值的基础上，可以建立线性模型：tttbaY式中， 是预测超前期数。通过查表（多项式模型参数估算公式）可知：212ttt Ma212ttt Mb5.2.6 问题二改进模型的求解实际值 7.2980 6.9773 7.8136 7.4844 7.1759 预测值 7.2980 7.1056 7.5303 7.5027 7
15、.3067 误差 20%- 1 -采用最近年份的数据进行预测，代入预测模型中，各项移动平均值见附录。 3 2092092013209 baY2091209209Ma2091209209M经整理后，可以得到最后的式子： )2(09)1(20920145Y类别 北京 上海 重庆 四川2012 年 6.632711 13.71017 5.702278 4.1046445.2.7 问题二改进模型的比较分析通过数值拟合的方式来比较改进模型的科学性，同时对数据进行了一定处理。人 均 二 氧 化 碳 排 放024681012140 1 2 3 4 5 6年 份 t=2004+n吨/(人年) 北 京上 海重
16、庆四 川线 性 (上 海 )线 性 (北 京 )线 性 (重 庆 )线 性 (四 川 )上海：y = 0.2752x + 10.885 北京：y = -0.0514x + 7.4524重庆：y = 0.4214x + 2.2803 四川：y = 0.2893x + 1.7938经过数值拟合后，将拟合所预测值同预测模型得到的预测值进行比较。类别 北京 上海 重庆 四川二次移动平均法 6.632711 13.71017 5.702278 4.104644数值拟合 7.0412 13.0866 5.6515 4.1082相似率 94.20% 95.45% 99.11% 99.91%由于两种预测模型和
17、线性拟合均有误差，数据量小，会存在一定误差。而相似率在- 2 -94%以上说明预测值可信度很高。5.3.1 问题三的分析（1）气候大会目标：2020年比2005年单位GDP二氧化碳排放下降40%45%。单 位 GDP二 氧 化 碳 排 放 量00.511.522.52004 2005 2006 2007 2008 2009 2010年 份吨/万元 北 京上 海重 庆四 川首先由散点图可知，总体趋势是向下的，有一定的线性关系，需要进行预测。（2） “十二五”规划中节能减排目标：查找相关资料后得知题中数据有两个指标在十二五规划内。只需要预测 2015 年前单位 GDP 二氧化碳排放量是否降低 16
18、%；森林覆盖率是否提高到 21.66%，同时预测值要基于 2009 年进行比较。5.3.2 问题三模型的建立与求解利用二次移动平均法基础上得到的线性预测模型： 1 209209201209 baY)()1(34M%10205年 实 际 值 年 实 际 值年 预 测 值上 升 程 度 年 实 际 值 年 预 测 值年 实 际 值下 降 程 度（1）气候大会目标：类别 北京 上海 重庆 四川2005 年 1.5397 1.8147 2.2529 2.33512020 年 -1.7253 -0.3890 1.6288 1.3383 下降程度 27.70% 42.69%- 3 -因为考虑到实际情况，北
19、京、上海的单位 GDP 排放量应该维持在一个较小的正值上。（2） “十二五”规划中节能减排目标：利用二次移动平均法基础上得到的线性预测模型：6 20920920156209 baY)(209)(209201578 M单位 GDP 二氧化碳排放量（单位：吨/万元）类别 北京 上海 重庆 四川2009 年 1.1394 1.631 2.0996 2.1972015 年 0.340078 1.087489 1.994444 1.951322下降程度 70.15% 33.32% 5.01% 11.18%森林覆盖率（单位：%）类别 北京 上海 重庆 四川2009 年 31.72 9.41 34.85 3
20、4.312015 年 41.01778 14.95667 46.05 37.90111上升程度 29.31% 58.94% 32.14% 10.47%5.3.3 问题三结果的分析及验证对于预测数据我们可以知道，北京在四省市中节能减排最为明显，上海、重庆、四川不能达到单位 GDP 二氧化碳排放量减排目标。四川在森林覆盖率上不能达到预期要求。为此上海、重庆、四川要加快推动节能减排政策，同时四川应该大力实行有关植树的各项政策，确保各省市在十二五结束前完成既定目标。该预测模型在问题二中得到验证，可以认为模型预测出的数据是可靠的。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价基于二次移动平均法的线性模型能够较好
21、地消除数据中的不稳定波动，方法简单- 4 -易懂，N 值应尽量取大，可以得到令人满意的效果。在预测相对稳定的数据时准确率高。而通过数值拟合来验证该模型的科学性也得到了证明。然而该模型在预测实际情况时需要灵活调整。在波动幅度较大的数据时，可以多次取移动平均值来调整好数据的波动。， ，ttt baY212ttt Ma212ttt MNb以上公式对线性预测效果明显，但不适用于非线性预测。在实际应用于仅作为参考。6.2 模型的推广基于二次移动平均法的线性预测可以广泛地适用于预测具有稳定趋势的各种数据。在实际应用中可以作为一种参考。用 Excel 来处理统计预测方法，简便易行，快速准确，既解决了传统手工
22、进行统计预测的繁杂，又避免了未汉化 SAS 软件给普通用户带来的困难。对于商务办公，调研分析都有实际的参考意义。七、参考文献1 姜启源等, 数学模型（第三版），高等教育出版社，2003 年 8 月2 沈恒范， 概率论与数理统计教程 （第五版） ，高等教育出版社，2011 年 6 月3 隐含在 Excel 中的统计预测方法研究，孙艳玲，2002 年 1 月- 0 -八、附录附录 1：问题一中评价系数地区 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年北京 -12 -10 -17 -13 6上海 -104 -114 -118 -122 -67重庆 -66 -64 -62 -64 -58
23、四川 -48 -75 -79 -80 -78附录 2：问题二中移动平均法数据地区 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年北京 6.9773 7.8136 7.4844 7.1759 7.0389上海 9.4386 11.5035 11.8935 12.0573 12.0993重庆 2.7922 3.0705 3.3553 4.1397 4.3645四川 2.1 2.379 2.6314 2.9235 3.2741北京 7.4251 7.4913 7.2331 上海 10.9452 11.8181 12.0167 重庆 3.0727 3.5218 3.9532 四川 2.37
24、01 2.6446 2.9430 北京 7.3832 上海 11.5933 重庆 3.5159 四川 2.6526 附录 3：问题三中的移动平均法数据表1 人均二氧化碳排放 单位：顿/（人年）地区 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年北京 6.9773 7.8136 7.4844 7.1759 7.0389上海 9.4386 11.5035 11.8935 12.0573 12.0993重庆 2.7922 3.0705 3.3553 4.1397 4.3645四川 2.1 2.379 2.6314 2.9235 3.2741北京 7.4251 7.4913 7.2331
25、上海 10.9452 11.8181 12.0167 重庆 3.0727 3.5218 3.9532 四川 2.3701 2.6446 2.9430 北京 7.3832 上海 11.5933 重庆 3.5159 四川 2.6526 表2 森林覆盖率 单位：% - 1 -地区 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年北京 21.26 21.26 21.26 21.26 31.72上海 3.17 3.17 3.17 3.17 9.41重庆 22.25 22.25 22.25 22.25 34.85四川 30.27 30.27 30.27 30.27 34.31北京 21.26 21.26 24.75 上海 3.17 3.17 5.25重庆 22.25 22.25 26.45四川 30.27 30.27 31.62 北京 22.42 上海 3.86 重庆 23.65四川 30.72
