1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十三)一、选择题 1.线段 AB外有一点 C，ABC=60，AB=200 km,汽车以 80 km/h的速度由 A向 B行驶，同时摩托车以 50 km/h的速度由 B向 C行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小( )（A） （B）1 （C） （D）2694370432.某水库大坝的外斜坡的坡度为 ，则坡角 的正弦值为( )511251223.在ABC 中，A=60，且最大边和最小边是方程 x2-7x+11=0的两个根，则第三边长为( )(A)2
2、(B)3 (C)4 (D)54.（2013广州模拟）据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到 12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成 45的角，树干也倾斜为与地面成 75的角，树干底部与树尖着地处相距 20米，则折断点与树干底部的距离是( )206106AB206CD10633（ ） 米 （ ） 米 （ ） 米 （ ） 米5.(2013天津模拟)在ABC 中,角 A，B,C 所对应的边分别为a，b，c,若角 A，B，C 依次成等差数列,且 a=1,b= ,则 SABC =( )33A2BCD2（ ） （ ） （
3、 ） （ ）6.某兴趣小组要测量电视塔 AE的高度 H（单位：m).如示意图，垂直放置的标杆 BC的高度 h=4 m,仰角ABE=,ADE=.该小组已测得一组 , 的值，算出了 tan =1.24,tan =1.20,则 H=( )(A)100 m (B)110 m(C)124 m (D)144 m二、填空题7.（2013揭阳模拟）若ABC 的面积为 3，BC=2,C=60，则边长 AB的长度等于_.8.某人站在 60米高的楼顶 A处测量不可到达的电视塔的高度，测得塔顶 C的仰角为 30,塔底 B的俯角为 15，已知楼底部 D和电视塔的底部 B在同一水平面上，则电视塔的高为_米.9.如图，在坡
4、度一定的山坡 A处测得山顶上一建筑物 CD的顶端 C对于山坡的斜度为 15，向山顶前进 100米到达 B后，又测得 C对于山坡的斜度为 45，若 CD=50米，山坡对于地平面的坡角为 ，则 cos =_.三、解答题10.（2012山东高考）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c，已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.（1）求证：a,b,c 成等比数列.（2）若 a=1,c=2，求ABC 的面积 S.11.（2013湛江模拟）在一个特定时段内，以点 E为中心的 7海里以内海域被设为警戒水域.点 E正北 55海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀
5、速直线行驶的船只位于点 A北偏东 45且与点 A相距40 海里的位置 B，经过 40分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东245+(其中 sin = ,02690)且与点 A相距 10 海里的位置 C.13（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）.（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.12.（能力挑战题）如图，摄影爱好者 S在某公园 A处，发现正前方 B处有一立柱，测得立柱顶端 O的仰角和立柱底部 B的俯角均为 30，已知 S的身高约为 米（将眼睛距地面的距离 SA按 米处理）.3 3（1）求摄影者到立柱的水平距离 AB和立柱的高度OB.（2）立柱的顶端有一长
6、为 2米的彩杆 MN，且 MN绕其中点 O在 S与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆 MN的视角MSN（设为 ）是否存在最大值？若存在，请求出MSN 取最大值时 cos 的值；若不存在，请说明理由.答案解析1. 【解析】选 C.如图所示，设过 x h 后两车距离为 y km，则BD=200-80x，BE=50x，y2=(200-80x)2+(50x)2-2(200-80x)50xcos 60，整理得 y2=12 900x2-42 000x+40 000(0x2.5)，当 x= 时 y2 最小，即 y 最小.70432.【思路点拨】坡角的正切值是坡度，故利用此关系可解.【
7、解析】选 B.由 tan = ，得 sin =cos ，代入 sin2+cos2=1，得 sin 512= .5133.【解析】选 C.由 A=60知ABC 中最大边和最小边分别为 b,c，故b+c=7，bc=11.由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos 60=(b+c)2-3bc=72-311=16,a=4.4.【解析】选 A.如图，设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A，则ABO 45，AOB75,OAB60.由正弦定理知， O20sin 45i 6 ，AO (米).20635.【思路点拨】由角 A，B，C 成等差数列可得 B，由正弦定理得 A，从而得 C，再用面积公式求解
8、即可 .【解析】选 C.角 A，B，C 成等差数列,A+C=2B,B=60.又 a=1,b= ,3ab,sin i sin A= B1,b2又ab,AB,A=30,C=90.SABC= 13.2【变式备选】在ABC 中三条 边 a，b，c 成等比数列，且 b= ，B= ，则3ABC 的面积为( )333ABCD244【解析】选 C.由已知可得 b2=ac，又 b= ，则 ac=3,又 B= ，3SABC= 13acsin B.2246.【思路点拨】用 H，h 表示 AD，AB，BD 后利用 AD=AB+BD 即可求解.【解析】选.由 AB= ,BD= ,tanhtaAD= 及 AB+BD=AD
9、，得tanH,tnta解得 H= =124（m）.ht41.20因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m.【方法技巧】测量高度的常见思路解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形，准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.7.【解析】由ABC 面积为 3，得 absin 60=3，12得 ab=4 ,3又 BC=a=2,故 b=2 ,c2=a2+b2-2abcos C=4+12-222 =16-4 ，313c= .24答案： 38. 【解析】如图，用 AD 表示楼高，AE 与水平面平行，E 在
10、线段 BC 上，因为CAE=30, BAE=15,AD=BE=60,则 AE BE60123,tan153在 RtAEC 中，CEAEtan 30=(120+60 ) =60+40 ,33BC=CE+BE=60+40 +60=120+40 ,所以塔高为(120+40 )米.3答案：120+409.【解析】在ABC 中，BC= ABsinC10sin 5062.(4)在BCD 中， sinBDC= BiCD= 50(62sin 531,）又cos =sinBDC， cos = -1.答案： -1310.【思路点拨】（1）先利用切化弦，将已知式子化简，再利用和角公式，三角形内角和定理，正弦定理化成
11、 b2=ac.（2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形面积公式求解.【解析】(1) 由已知得 :sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,sin Bsin(A+C)=sin Asin C,sin 2B=sin Asin C.由正弦定理可得：b 2=ac，所以 a,b,c 成等比数列 .(2)若 a=1,c=2,则 b2=ac=2,cos B=2ac3,4sin B= 271os B,ABC 的面积 S= 17acsin 12.411.【解析】（1）如图，AB=40 ，AC=10 ，BAC=,3sin= .26由于 090，所以 cos= 2651().由余
12、弦定理得 BC=2ABCcos105.A所以船的行驶速度为 （海里/小时）.23(2)船会 进入警戒水域.方法一：如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐 标系，设点 B，C 的坐标分别 是 B（x1,y1),C(x2,y2),BC 与 x 轴 的交点为 D.由题设有，x 1=y1= AB=40,2x2=ACcosCAD=10 cos(45-)=30,3y2=ACsinCAD=10 sin(45-)=20.1所以过点 B，C 的直线 l 的斜率 k= =2，直线 l 的方程为 y=2x-40.201又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= 5437.所以船会进入警戒水域.方法二：如图所示，
13、设直线 AE 与 BC 的延长线相交于 Q.在ABC 中，由余弦定理得，cosABC=22ABC2224015013.从而 sinABC= 29101cosABC.在ABQ 中，由正弦定理得，AQ=1042ABsin4.(45C)由于 AE=5540=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EPBC 于点 P，则 EP 为点 E 到直 线 BC 的距离.在 RtQPE 中， PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45-ABC)=15 7.53所以船会进入警戒水域.【变式备选】如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20
14、海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（已知sin 41 ，角度精确到 1）?217【解析】连接 BC,由余弦定理得BC2=202+10222010cos 120=700.所以 BC=10 .7sinACBsi 120,207sinACB= ,ACB90,ACB41.乙船应朝北偏东 71方向沿直线前往 B 处救援.12. 【解析】（1）如图，作 SCOB 于 C,依题意CSB=30, ASB=60.又 SA= ,故在 RtSAB 中，可求得 AB= =3,即
15、摄影者3 SAtan30到立柱的水平距离 AB 为 3 米.在 RtSCO 中，SC=3,CSO=30,OC=SCtan 30= ,又 BC=SA= ，故 OB=2 ,即立柱的高度 OB 为 2 米.333（2）如图，以 O 为原点，以水平方向向右为 x 轴正方向建立平面直角坐标系，连接 SM,SN,设 M(cos ,sin )，0,2),则 N(-cos ,-sin )，由(1)知 S(3,- ).3故 =(cos -3,sin + )，SM3=(-cos -3,-sin + ),N =(cos -3)(-cos -3)+(sin + )(-sin + )=11. 33| | |S222222(cos3)(sin3)(cos3)(sin3)161694s ()168co.6A 由 0,2)知 11,13.SMNA所以 cos MSN= ,1，易知 MSN 为锐角,13故当视角MSN 取最大值时，cos = .另解：cos MOS=-cos NOS,2222MOSNOSAA于是得 SM2+SN2=26 从而cos =22SSMN1. N3A又MSN 为锐角，故当视角MSN 取最大值时，cos= .13关闭 Word 文档返回原板块。
