1、经济数学基础复习资料（2011 上）(注：前三次考试有 70 分左右的题目能在此复习资料中找到)一、单项选择题1下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等 A ， B ， + 12)(xfxg( 1)(2xf xg)(C ， D ，lnyln2cossin2下列结论中，（ C ）是正确的 A基本初等函数都是单调函数 B偶函数的图形关于坐标原点对称C奇函数的图形关于坐标原点对称 D周期函数都是有界函数 34函数 的定义域是（D ） A B C D 且1lgxy 1x0xx1x04(10.07 原题) 下列函数在指定区间 上单调增加的是（ B ）Asinx Be x Cx 2 D3 - x(,)说
2、明：若题目改为 单调递减，则选答案：D （D 中 3 还可改为其他数，如 09.01 就是改为递减且 3 改成了 5）5设 ，则 =（ A）A B C D1)(xf )(xf 1x168（10.01 原题）. 设 ，则 （ C ） A B C D )(f x2x27若函数 ，则 =（ B ） A B- C D-xf)()(f 2 18（11.01 原题）下列函数中为奇函数的是（ C ） 说明：其中的 B、D 是偶函数。A B C Dy2 xye1lnxyxysin9. 当 时，下列变量中（ B ）是无穷大量A. B. C. D. x0 0.21x210. 已知 ，当（ A ）时， 为无穷小量.
3、 A. B . C. D. 1tan)(xf )(xfxx说明：题目改成 ，结论不变。sin1si1sinsi 或或或或 （10.01 和 09.01 考的就是变形后的）11当 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） xA B C D 说明：其中的 A、B 是无穷大量)1ln(12x21xexsin12（10.07 原题）曲线 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）说明：可改成在 x=0 处，结果不变yA B C D 23)(2x3)1(2x13. 曲线 在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）A. y = x B. y = 2x C. y = x D. y = -xxysin 2114下列等
4、式不成立的是（ D ） A B C D)d(exx )d(cossinxxd21)d(lnx15下列等式成立的是（ C ） A B C D)d(cossinx)1d(lnx)d(2ln12xxxd116设 ，则 （ B ） A B C Dylg2y l0ln01dx17(09.01 换了选项顺序)下列函数中，（ D ）是 xsinx2的原函数 A cosx2 B2cos x2 C-2cosx 2 1D- cosx2 118（10.01 原题）. 若 是 的一个原函数，则下列等式成立的是 ( B ) )(xFfA B C Dd)(fxa )(d)aFxxa )(d(afbxFba)(bb19若
5、，则 =（ D ） A . B. C. D. cxfx2ed)()(xf 2ex2e1x2e41x2ex20. 若 ，则 f (x) =（ C ） A B- C D-fxx11 xx2x21x21. 若 = 2，则 k =（ A ） A 1 B-1 C0 D 10d)(k 122. （ B ） A B C D ex cxecxecxecxe23下列定积分中积分值为 0 的是（A ） A B C D xd21 xd21 d)os(3 d)sin(224下列积分计算正确的是（ A ）A B C D10exx 10exx 0sin1x- 0)(312x-25（10.07 只改了错误选项 C）下列定积
6、分计算正确的是（ D ） A B C D 2d1 15d6 d|si|2dsinx26（11.01 原题）下列无穷积分中收敛的是（ C ） A B C D1lnx0ex12dx13dx27下列无穷积分中收敛的是（ B ） A B C D1dx12dx0dex1dsinx28（11.01 原题）. 设需求量 q 对价格 p 的函数为 ，则需求弹性为 Ep=（ B ）pq3)(A B C Dp32322329（11.01 原题）设 A 为 矩阵，B 为 矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行.AAB BAB T CA+B DBA T30设 为 矩阵， 为 矩阵，且乘积矩阵 有意义，则 为（ A ）矩
7、阵 45TCA B C D 22533531设 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ）A,A. B. C. D. T)(T)(A1T1T)()(BAT11T)()(BA32设 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ D ）,A. 若 AB = I，则必有 A = I 或 B = I B.C. 秩 秩 秩 D.)() 11)(33（10.07 原题）设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ） ,nA B C D11B11)(A11)(ABBA34设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（ B ）成立 .AAB = AC，A 0，则 B = C BAB = AC，A 可逆，则 B
8、 = CCA 可逆，则 AB = BA DAB = 0，则有 A = 0，或 B = 035设 是 阶可逆矩阵， 是不为 0 的常数，则 （ C ） nk()k1A. B. C. D . k11n136（10.01 原题） 以下结论或等式正确的是（ C ） A若 均为零矩阵，则有 B若 ，且 ，则 , AAOCBC对角矩阵是对称矩阵 D若 ，则O,37设 均为 n 阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ D ）B,A B C D II138（09.01 改成了填空题）设 是可逆矩阵，且 ，则 （ C ）.ABAA. B. C. D. 1IB()139设 ，则 r(A) =（ D ）
9、A4 B3 C2 D1342040矩阵 的秩是（ C ） A0 B1 C2 D3 1A41设线性方程组 的增广矩阵通过初等行变换化为 ，则此线性方程组的一般解中自由未bX 001246知量的个数为（ A ） A1 B2 C3 D442（10.01、11.01，都换了选项的顺序）线性方程组 解的情况是（ A ）21xA. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解43若线性方程组的增广矩阵为 ，则当 （ A ）时线性方程组无解A B0 C1 012A 12D244 线性方程组 只有零解，则 （ B ）.X0Xb()A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解45设
10、线性方程组 AX=b 中，若 r(A, b) = 4，r( A) = 3，则该线性方程组（ B ）A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解46（10.07 原题）设线性方程组 有唯一解，则相应的齐次方程组 （ C ）bAXOAXA无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定47设线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是（ D ）nmA B C D r)(nr)(nmnr)(48设线性方程组 ，则方程组有解的充分必要条件是 （ C ） 3211axA B C D0321a03210321a0321a二、填空题1（10.07 原题）函数 的定义域是 说明：定义域就是两个范围的合并。,5)(2xxf
11、 ),52函数 的定义域是 xf15ln)( )2,(3函数 的定义域为 .)l(4 4,14函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为 （0，+） 5（09.07 原题）若函数 ，则 52)1(xxf )(xf626设函数 ， ，则 )(2uf (uf437设函数 ，则 .51x)8（10.01 原题）设 ，则函数的图形关于 y 轴 对称210)(xf9已知 ，当 时， 为无穷小量 xfsin)()(xf10 说明：即当 为无穷小量0lim0x sin0、11（10.07 原题）. 1 .xxsili121（11.01 原题）. 函数 的间断点是 x=0 .说明：求间断点就是求分母等于
12、0 的 x 值()ef132函数 的连续区间是 21)(xf 、)1,(、2,(),说明：其中的1、2 就是分母0 的值141（10.01 原题）函数 的驻点是 .说明：求驻点，就是求导数等于 0 对应的 x 的值y3()x15函数 的驻点是 ，极值点是 ，它是极 小 值点. 2)1(3xy1x116曲线 在点 处的切线斜率是 0.5 ,17曲线 在 的切线方程是 )( 23xy18 0 19 12d)(xde220函数 的原函数是fsin、cx(os121若 ，则cxf2)1(d) )(xf)1222若 ，则 .lnx23 24无穷积分 是 收敛 （判别其敛散性）)sin(sin02d)1(
13、x25已知 ，则 = 0 xf2l)(f说明：不管 什么，只要是求 ，结果都是 0)( 、cf()如：09.01 考题： ,cos则x26 0 . 只要是 ，结论都等于 0e12d)ln(dx 、badxba,(27需求量 q 对价格 的函数为 ，则需求弹性为 p2e10)(pqpE228设某商品的需求函数为 ，则需求弹性 p29已知需求函数为 ，其中 p 为价格，则需求弹性 Ep = .320 1030已知生产某种产品的成本函数为 C(q) = 80 + 2q，则当产量 q = 50 时，该产品的平均成本为 3.6 31已知某商品的需求函数为 q = 180 4p，其中 p 为该商品的价格，
14、则该商品的收入函数 R(q) = 45q 0.25q 232（10.01、11.01 原题）若 ，则 = .cxFfdxfx)de(cFx)e(33设矩阵 ，则 的元素 . 第二行第三个数，以此可类推。16223501AA323a23a34两个矩阵 既可相加又可相乘的充分必要条件是 A 与 B 是同阶矩阵 .B,35设 为 矩阵， 为 矩阵，若 AB 与 BA 都可进行运算，则 有关系式mnstmnst, sntm,36（10.07 原题）设 均为 阶矩阵，则等式 成立的充分必要条件是A,n 22)( BA37若矩阵 A = ，B = ，则 ATB= 2113641338（11.01 原题）设
15、 ，当 0 时， 是对称矩阵.0aa39当 时，矩阵 可逆.a3A1340设 为 阶可逆矩阵，则 (A)= n 41若矩阵 A = ，则 r(A) = 2 Anr 3024142设 为两个已知矩阵，且 可逆，则方程 的解 B, BI XBBI143若线性方程组 有非零解，则 1 021x44（11.01 原题）若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组 AX = b 无解 说明：若改成两个数据相等，则结论为 有解。45（10.07 原题）设齐次线性方程组 ，且 r(A)r n，则其一般解中的自由未知量的个数为01nmXrn46若线性方程组 有唯一解，则 只有零解 . Xb()0
16、47（10.01 原题）齐次线性方程组 的系数矩阵为 则此方程组的一般解为0AX0213A.、434231(xx48线性方程组 的增广矩阵 化成阶梯形矩阵后为 则当 = -1 时，方程组AXbA10241dA有无穷多解. （说明：这是 d+1=0 算出来的，09.01 就是把 d+1 换成了 d+5,那结果就是-5 了）b49设线性方程组 ，且 ，则 时，方程组有唯一解b010236tt三、微积分计算题一）求导数1已知 ，求 yxcos2)(y解： (x)= = =)2cosinl2xx2cosinlxx2（10.07 原题）已知 ，求 (fls)(f解 ： f xxxx 1ssil)(isi
17、n)( 3已知 ，求 ； 解：因为 yco25(y 5lnsi2)co(5ln)5( cosco2co2 xxxy所以 lnl52sin)cos4已知 y = ，求 32lnxyd解 因为 所以)(l31x31ln2)(lxx xydln32d5设 ，求 解：因为 x5sincoe )(cos5)(sie4i xy xsinco5se4i所以 yx d)sincos(d4in6设 ，求 2ta3yd解：因为 所以 )(2l)(cos13 xxx 2lncs32x xxyxd)2lcos3(d27已知 ，求 2iny解： )(cs)()( 2 2coslix8已知 ，求 解：x53ely )5(
18、e)(ln3)(2 xxy x52eln39 ，求 解：22ogxy 2ln1lg22x 10 ，求 解：xey xxy e1)e(2111 ，求 byasind解： )(sin)( bxax bbxaacossine )cossin(baxddxcoe12 ，求 xy1eyd解： xxxx 23e123)1(e)(23 xdxyd)e123(213（09.07 原题） ，求 cosyd解： 222 esin)()(in)(cs xxxy xx)sin(214 ，求 niiy解： = nnn cossi)(cos)(sii)()( 11 15 ，求1l2xy解： )(22 )21(2xx )1
19、(22xx2二）求积分凑微分的凑微分 解： xd12xd1sin2 cxx1os)(dsin1si22 解： = = =e12e12x2121e的凑微分 3 解： xd21xd cxxxln)(d4 解： = =sinsindsi2cxos2的凑微分（其中 c 为任意常数）)(cexx5 解： = = = d13ln02 xxd)e1(3ln023ln02)ed(1)(xx 3ln0)e(x56的凑微分（其中 c 为任意常数）)(ldx6 解： = = =2e1lnx xln12e)ln(l12ex 2e1lx)3(7 解： = =2（ =2dl3e dl3e ld3e21 32ne的凑微分（
20、其中 c 为任意常数）)(2cxd8 解： = =xd2)d(2)(11xc23)(Cxx 22 cossinsin:dsin解三）求积分分部积分法 公式： 或xvuxvu vdxuabba9 解： xsi cxx sincdcosdsi10 解： = =d2nx2in2o2cos2ds4xcxx2sin4co210（10.07 原题） 解： = - = =xdos0xd2cos020in1xdsi20cos4111 解： = = x1)ln(1)ln( )(l)( cx)ln(212 解：de1 d22dle1e1 xx e1e1dx42ex13（11.01 原题） 解： = =dlne1
21、xdlne1e122ldx)e(4214 解： = =4 =x)(40x)(4040x04515 解：令 ， =ln1e u uuxlnl)l( e1e11e0 1ee116 )d(解： = =xl )ln(1x)dln( cx)l(四、线性代数计算题一）求逆矩阵1设矩阵 A = ，求 124361A解：因为 (A I ) = 010227413027417204所以 A-1 = 210731 1737说明：题目改成 , )(0346AIA、由于 ，所以，解答下面就与本题一样了。 124361201)( 、I2（10.07 改动）设矩阵 A = ，求逆矩阵 01241A解 因为(A I ) =
22、 1283041 123401230所以 A-1= 213410 2134说明：（10.07）设矩阵 ，计算 . 102A)(I实际上 ，以下计算就同上面了。 01242401I同样，若把 A 改成 ，求 ，1)(AI以下又同了 012424010I3 求 解：1023AA 10132)(AI 1034792034021所以 91943172018594310729437211A4A = 1253、AI解： 第一步： 02153)(021053)(21530I第二步： 533253IA 12601560101035 1A（I说明：若题目改为 ，则只要第二步就可以了。1,0215、A若题目改为
23、，则第一步变为 1)(,1253、AIA 02153210AI第二步不变。5设矩阵 A = ，B = ，计算( AB)-102114236解： 因为 AB = = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 120142 12020 26设矩阵 A = ， B = ，计算(BA) -1203解：因为 BA= = 10302145(BA I )= 所以(BA) -1= 14245 5125032537（10.01 原题）设矩阵 ，求解矩阵方程 32,53BABXA解： 1301010153)(IAX=BA X = 21 25AX108解矩阵方程 43X解 因为 1021032312304即 所以
24、X = =243 49解矩阵方程 . 05X解：因为 即 10321313025132521所以，X = = = 5248二）解线性方程组1（11.01 原题）求下列线性方程组的一般解： 03522412xx解：因为系数矩阵 035120A 1所以一般解为 （其中 ， 是自由未知量）4321xx43求下列线性方程组的一般解： 1262321x解： 因为增广矩阵 094312809445A 0194所以一般解为 （其中 是自由未知量）19321x3x4求下列线性方程组的一般解： 514722431xx解： 003752413750147251472)(bA所以方程组的为 （其中 是自由未知量）
25、005360531 53461432xx43,x5（09.07 原题）设齐次线性方程组 问取何值时方程组有非零解，并求一般解.08352312xx解：因为系数矩阵 A = 5126083521 501所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中 是自由未知量）321x3x6当 取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.1542312x解：因为增广矩阵 0261526104200A所以当 =0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量 532x(x37当 为何值时，线性方程组 有解，并求一般解。4321432109571xx解： 8039158039124514826019
26、573234)( bA当 =8 有解, 且解为 （其中 是自由未知量）395432xx,x8（10.01 原题）设线性方程组 讨论当 a，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.axx3210解：因为 40120bba 3102ba所以当 且 时，方程组无解； 当 时，方程组有唯一解；3a当 且 时，方程组有无穷多解.9 为何值时，方程组 有唯一解、无穷多解、无解？ba,bax3211答案： 310214031 babaA当 且 时，方程组无解； 当 时，方程组有唯一解；a3a当 且 时，方程组无穷多解。四、应用题第一题型：平均成本最低1设生产某种产品 个单位时的成本函数为： （万元）
27、,x xxC625.01)(求：（1）当 时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量 为多少时，平均成本最小？ 10解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：、 、 C625.)(.0)(x.)(C所以， ， 1851002 5.186025.1)(1605.)(C（2） 令 ，得 （ 舍去）.)(2x02xC即 x2所以当 20 时，平均成本最小.2某厂每天生产某种产品 件的成本函数为 （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多q980365.)(qq少？此时，每件产品平均成本为多少？解：因为 = = （ ） = = C()0536980.C().)536980q59802.令 =0
28、，即 =0，得 =140， = -140（舍去）.q2q1q2所以 =140 是平均成本函数 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为 140 件. 1C()此时的平均成本为 = =176 （元/ 件） 45369804.3已知某厂生产 件产品的成本为 （万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ qCqq()25012解:（1） 因为 = = = = () C()5021q5012令 =0，即 ，得 =50， =-50（舍去）， =50 是 在其定义域内的唯一驻点C()2510q12 C(所以， =50 是 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产 50 件产品1()4（09.07 改
29、动 2x+40 改成了 2x+60）投产某产品的固定成本为 36(万元) ，且边际成本为 =2x + 40(万元/百台). )(试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 = = 100（万元） 64d02(xC642)(总成本为 33d)40(d)()( 200 xxcxCxx平均成本为 = 62 231)(x令 ， 解得 . 所以产量为 6 百台时可使平均成本最小.361)(2xx即 x5已知某产品的边际成本为 (万元/百台)，x 为产量( 百台)，固定成本为 18(万元) ，求最低平均成本
30、 . 34)(C解：总成本函数为 183218)(00 xdd平均成本函数为 ，xx182)(C令 解得 x = 3 (百台) 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 1820)(即xC最低平均成本为 (万元/百台) 9)(第二题型：利润最大4某厂生产一批产品，其固定成本为 2000 元，每生产一吨产品的成本为 60 元，对这种产品的市场需求规律为（ 为需求量， 为价格）试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？qp10qp解：（1）成本函数 = 60 +2000 C()因为 ，即 ， 所以 收入函数 = =( ) = 10q0Rq()p10q102q（2）因为利润函数
31、= - = -(60 +2000) = 40 - -2000 Lq()(CR1022且 =(40 - -2000 =40- 0.2 令 = 0，即 40- 0.2 = 0，得 = 200，q()102L()所以， = 200 是利润函数 的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大()5设某工厂生产某产品的固定成本为 50000 元，每生产一个单位产品，成本增加 100 元又已知需求函数，其中 为价格， 为产量，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？p420q解：（1）总成本为 C05)(由 所以收入函数pq4得 qqpqR5041)50()( 2利润函数 4150(1)()
32、( 22 qqRL得50412 )即L8代入 所以价格为 300 元时利润最大。304150pqp得最大利润为 即最大利润 11 万。105804)8(2L6（10.07 原题）某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？解：（1）由已知 2.1).1()(pqR利润函数 220.10.404) qC则 ，令 ，得 . 所以当产量为 250 件时可使利润达到最L04. .qqL5大， （2）最大利润为 （元）325251)( 3已知某产
33、品的边际成本 (x)=2（元/件），固定成本为 0，边际收益 (x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？ R在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？解 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x )CRL令 = 0，得 x = 500 所以，产量为 500 件时，利润最大. )(当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为=500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少 25 元.50250 )1.0(d)2.14（10.01 原题，只是 x 换成了 q）生产某产品的边际成本为 (x)=8x(万元/ 百台) ，边际收入为 (x)=1
34、00-2x（万元/C R百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？解： (x) = (x) - (x) = (100 2x) 8x =100 10x 令 (x)=0, 得 x = 10（百台）LRC L即当产量为 10（百台）时，利润最大. 又 即利润将减少 20 万元. d)10(d)(10120 20)5(125（11.01 原题）设生产某产品的总成本函数为 (万元) ，其中 x 为产量，单位：百吨销售 x 百吨时的xC3边际收入为 （万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；xR5)(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x )(C)()(RL令 ，得 x = 7 因此，当产量为 7 百吨时利润最大. 0214)(L即(2) 再生产 1 百吨时，利润改变量为 = - 1 （万元） 即利润将减少 1 万元. 8814d24x
