1、新课程高中数学必修 4 基础知识汇整第一部分 三角函数与三角恒等变换1任意角和弧度制 1 弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为 1 弧度角 弧度数公式： Rl 角度制与弧度制的互化：弧度 ， 弧度， 弧度 .180180()571 弧长公式： ；|lR扇形面积公式： .2|Sl2三角函数定义： 设 是一个任意角，终边与单位圆交于点 P(x,y)，那么 y 叫作 的正弦，记作 sin；x 叫作 的余弦，记作 cos；叫作 的正切，记作 tan. 角 中边上任意一点 为 ，设 ，则：P(,)xy|Or.sin,cos,yrrtan三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦.3三角函数线：正
2、弦线：MP ； 余弦线： OM； 正切线： AT.4诱导公式：角函数2k22正弦 sinsinsinsicoscos余弦 cococcinin正切 tatatata/ /六组诱导公式统一为“ ”，()2kZ记忆口诀一：奇变偶不变，符号看象限.记忆口诀二：纵变横不变，符号看象限.TMAOPxy5同角三角函数基本关系：（平方和关系） ；22sinco1（商数关系）.ita6两角和与差的正弦、余弦、正切： ；sin()sicosin ； co .tantta()1两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用：7辅助角公式： = . 222sinco(sincos)abyxbxx2sin()abx8二倍角公
3、式： ；si2is ； 2222coincos1sin .2tatan1变形：升幂公式： ; cos22sinco12)in(sin1降幂公式： ； . 2coi21coscsin)si(29.物理意义：物理简谐运动 ，其中 . sin(),0)yAx0,A振幅为 A，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为 ，表示物体往返运动一次所需的时间；2T频率为 ，表示物体在单位时间内往返运动的次数；1f为相位；x为初相.10三角函数图象与性质：函 数 sinyxcosyxtanyx图象作图：五点法 作图：五点法 作图：三点二线定义域 （，） （，） |,2xkZ值域 1，1 1，1 （ ， ）极值当
4、x 2k ,ymax=1；当 x 2k ymin=-13当 x2k,y max1；当 x2k,y min1 无奇偶 奇函数 偶函数 奇函数T 2 2 单调性递增,k递减32,2递增,k递减2递增(,)2k（注：表中 k 均为整数）11. 正弦型函数 的性质及研究思路：sin()(0,)yAx 最小正周期 ，值域为 .2T,A 五点法图：把“ ”看成一个整体，取 时的五个x30,2x自变量值，相应的函数值为 ，描出五个关键点，得到0,一个周期内的图象. 三角函数图象变换路线： sinyx 左 移 个 单 位 sin()yx 1横 坐 标 变 为 倍 sin()yx极大. 或： A 纵 坐 标 变
5、 为 倍 sin()yxsinyx 1横 坐 标 变 为 倍 sinyx 左 移 个 单 位.sin()yxA 纵 坐 标 变 为 倍 () 单调性：的增区间，si()(0,)A把“ ”代入到 增区间 ，xsinyx2,()kkZ即求解 .2()kZ 整体思想：把“ ”看成一个整体，代入 与 的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区xsinyxta间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.第二部分 平面向量1. 向量与数量：在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示，记为 或a（起点 A，终点 B）. 向量的
6、大小叫做向量的长度（或模） ，记为 或 . 规定长度为 0 的向量叫做零向量，记为 ；长度等 |a|AB0于 1 个单位的向量称为单位向量.2. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作 ，并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上，因而也/ab叫共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作 . 与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为aa，规定零向量的相反向量仍是零向量. a3. 向量加减法：向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.如图所示，已知非零向量 ，在平面内任取一点 O， 作,ab，则向量 . ,OAaBbOab若作 ，
7、则向量 .CA向量的加减法满足：交换律 ；结合律 .()()cab向量不等式：对于任意两个向量 ，有 .,ab|向量加法多边形法则：向量首尾相接，结果首尾连.4. 向量数乘运算：实数 与向量 的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作 ，a a并规定： ；|当 时， 的方向与 的方向相同；0a当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， . 数乘运算满足下列运算律：分配律 、 ；()ua()ab结合律 .对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 .,b12,u1212()ubaub向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.5. 平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一
8、平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ，使12,e a12,. 把不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.a12,e向量夹角：对两个非零向量 ，在平面内任取一点 O，作 ，则 叫做向量 与 夹角. 当 与 夹,b,AaBbAOBab角是 90时， 与 垂直，记作 .a正交分解：依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量 ，均可分解为不共线的两个向量 与 ，使 . 若a1a212a把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 作为基底，则对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数,ijx、y ，使得
9、 . 即平面内的任意向量 都可由 x、y 唯一确定，把有序数对（ x,y）叫做向量 的坐标，记作 ，aija a(,)xy式子 叫做向量的坐标表示.(,)axy6. 平面向量的数量积运算：，其中 是 与 的夹角， 叫做向量 在 方向上的投影. 的几何意义：数量cosb ab|cosabba等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积. a|把 记作 ，有性质 ，从而 . 22|2|数量积运算满足下列运算律：交换律： ；ab数乘结合律： ；)()()(b分配律： . cc力作功： 一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所作的功 ，其中 是 与 的夹角，从FsF|cosWFs而 .sW7. 平
10、面向量的坐标运算：设 ， ，则1(,)axy2(,)bxy加减法： ， ；2b 12,)ay数乘： ；1(,)xy向量数量积： ；21a模： ；21|xy距离： ；2211|()()ABdbxy夹角： .221,cosa8. 向量共线：设 ， ，其中 ，若 共线，当且仅当存在实数 ，使 ，1(,)axy2(,)bxy0b,aab即 . 由此可证明平行问题、三点共线等./1219. 向量垂直：对于平面内任意两个非零向量 ， . ,ab0ba设 ， ，则 . 1(,)axy2()xy12xy10. 线段定比分点的坐标：已知点 ， ，点 是线段 上的一个分点，且 ，1(,)Pxy2(,)(,)Pxy
11、1212P则有 ，即 ，1212,)y由此得到 . 1,xy若 ，得到线段中点坐标公式 .1212,xy11.向量知识与平面几何的联系：平面几何问题 向 量 方 法求线段 AB 的长度 转化为求向量 的长度： .AB2211()()xy求两条线段的夹角 由数量积求夹角 或 .bacos221()()证明两条直线垂直 转化为两个非零向量 的数量积为 0，即 .,证明两条直线平行 转化为证明两个非零向量 共线，即 12. 向量法解决平面几何问题三步曲：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等；（3）把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.
