1、数学试卷（理科） 第 1 页（共 6 页）绝密启用前 试卷类型：A2017 年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（理科） 2017.1本试题卷分选择题和非选择题，共 6 页，23 小题, 全卷满分 150 分,考试时时间 120 分钟.注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的
2、位置用 2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5考试结束后，请将答题卡上交.第一部分 选择题（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ， ，则 （ ）2|0Mx|2xNyMNA B C D(0,(,)0,2,)2 设 为虚数单位，复数 ，则 的共轭复数 在复平面中对应的点在（ i 1izizz）数学试卷（理科） 第 2 页（共 6 页）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3如图 1，函数 )的图)2sin()(xAxf 2|
3、,0象过点 ，则 的图象的一个对称中心是（ 3,0）A B(,0)3(,0)6C D(,)6(,)44设命题 p：若定义域为 R的函数 fx不是偶函数，则 xR， ()fxf. 命题q： 在 上是减函数,在 上是增函数.则下列判断错误的是( ) ()|fx(0)0,)Ap 为假 B q 为真 Cpq 为真 D. pq 为假 5我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金 箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，
4、若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A. 6 斤 B. 9 斤 C. 9.5 斤 D. 12 斤 6. 已知定义域为 R 的偶函数 在 上是减函数，且 ，则不等式()fx,0(1)2f2(log)fx的解集为（ ）A. B. C. D. (,)1(0,)2,)2(0,)(,)(2,)7. 执行如图 2 所示的程序框图，若输数学试卷（理科） 第 3 页（共 6 页）出的结果是 ，则输入的 a 为312（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 68. 一个几何体的三视图如图 3 所示， 其表面积为 ，则该几何62体的体积为（ ）A4 B2 C D 3 139. 学
5、校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综 4 科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 ( )A 6 种 B24 种 C30 种 D36 种10过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB、AC、AD，且两两夹角都为 ，若球60半径为 R，则弦 AB 的长度为（ ）A B C D2363RR11. 过双曲线 0,12bayx的右焦点 2(,0)Fc作圆 22ayx的切线，切点为M，延长 2F交抛物线 24cx于点 其中 为坐标原点，若 ，,PO21()MOFP则双曲线的离心率为（ ）A 724B 724C 231D 2
6、5112 已知 ，又 ，若满足 的 有四个，()|xfe)()(xtffgR()gx则 的取值范围是（ ）t数学试卷（理科） 第 4 页（共 6 页）A. B. C. D. 21(,)e21(,)e21(,)e21(,)e第二部分 非选择题（共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分，把答案填在答题纸上13. 如图 4 为某工厂工人生产能力频率分布直方图， 则估计此工厂工人生产能力的平均值为 * 14 已知 ，则二项式 展开式中的常数项
7、是 * 2cosaxd6()ax15. 若圆 关于直线 对称,动点 P 在不等式组240ym0yba,表示的平面区域内部及边界上运动，则 的取值范围是 * 0xy 21z16 已知数 列 是各项均不为零的等差数列， 为其前 项和，且 （nanS21naS） 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围1(1)2()n是 * 三、解 答 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 70 分 .其 中 17 至 21 题 为 必 做 题 ， 22、 23 题 为 选 做 题 .解 答数学试卷（理科） 第 5 页（共 6 页）过程 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤
8、.17 (本小题满分 12 分) 已知函数 .(sin2)cos2()6fxxR（）求函数 f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时 x 的集合；（）设ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 ，若 ，b =1，abc、 、 3()2Bf，3c且 ，求角 B 和角 C ab18 (本小题满分 12 分) 调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为 x，y，z，并对它们进行量化：0 表示不合格，1 表示临界合格，2 表示合格，再用综合指标 =x+y+z 的值评定这种农作物的长势等级，若 4，则长势为一级；若 23，则长势为二级；若 0
9、1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取 10 块种植地，得到如下表中结果：种植地编号 A1 A2 A3 A4 A5（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（0，0，1）（1，2，1）种植地编号 A6 A7 A8 A9 A10（x，y，z）（1，1，2）（1，1，1）（1，2，2）（1，2，1）（1，1，1）（）在这 10 块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标 z 相同的概率；（）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为 A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为 B，记随机变量 X=AB，求 X 的分布列
10、及其数学期望 19 (本小题满分 12 分)数学试卷（理科） 第 6 页（共 6 页）如图 5，在边长为 的正方形 ABCD 中， E、O 分别为 AD、BC 的中点，沿 EO23将矩形 ABOE 折起使得 ，如图所示，点 G 在 BC 上，10BOC， M、N 分别为 AB、EG 中点.2BGC（）求证：MN 平面 OBC ； （）求二面角 的余弦值 E20 (本小题满分 12 分)设 ，向量 分别为直角坐标平面内 轴正方向上的单位向量，若向量,xyR,ij,xy, ,且 (3)ai(3)bxiyj|4ab（）求点 的轨迹 C 的方程；M（）设椭圆 ， 为曲线 上一点，过点 作曲线 的切线2
11、:164yEPPC交椭圆 于 、 两点，试证： 的面积为定值. ykxmABOAB21. （本小题满分 12 分）已知函数 xxf2)(3（）求函数 在点 处的切线方程；y)1(,f（）令 ，若函数 在 内有极值，求实数 a 的xfagln)()ygx),e取值范围；（）在（）的条件下，对任意 ，求证： . (1,)(0,)ts1()2gtse数学试卷（理科） 第 7 页（共 6 页）请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲
12、线 的参数方程为 (为参数). 在以坐标原xOy1C25cos,inxy点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2:42sin40.（）写出曲线 的普通方程；21，（）过曲线 的左焦点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 于 两点，求 .C42CBA,23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 ， .|32|)(xaxf 2|1|)(xg（）若 ，解不等式 ；1a()6f（）若对任意 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围.R212()f a绝密启用前 试卷类型：A2017 年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小
13、题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D B C A B C D C A D B提示：数学试卷（理科） 第 8 页（共 6 页）1A 解：依题意得 ， 1,2M(0,)N(0,2MN2D 解： ，共轭复数为 ，对应点为2iz()2135iii135i，在第四象限故选 D 3(,)53B 解：由函数图象可知：A = 2，由于图象过点（0， ），可得： ，即32sin3，由于| ，解得： = ，即有：f（x ） =2sin（2x+ ） 由 2 x + sin23=k，kZ 可解得：x = ，kZ，故 f（x）的图象的对称中心是：（326，0）
14、 ，k Z，当 k=0 时，f（x）的图象的对称中心是：（ ，0） 26 64. C 解：函数 不是偶函数， 仍然可 ， p 为假； ()fx,(-)fxf使在 上都是增函数， q 为假； 以 pq 为假，选 C ()|fx20)R5. A 解：每段重量构成等差数列， 152415,246aaa6. B 解： 是 的偶函数，在 上是减函数，所以 在 上是增函数，()fx(0()fx0,)所以 或2(log)(1)ff2|log|)(1fxf2|log|12log或 . 答案 B. x07. C 解：执行程序框图，第 1 次运算有 n=1，S= ; 第 2 次运算有 n=2，S= , 1124第
15、 5 次运算有 n=5，S= , 故输入的 a 为 5 5()312486328D 解：该几何体是一个圆锥、一个圆柱、一个半球的组合体，其表面积为：数学试卷（理科） 第 9 页（共 6 页）， 22(2)()(6)61rrrrr该几何体的体积为 3139. C 解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从 4 科中任选 2 科看作一个整体，然后做 3 个元素的全排列，共 种方法，再从中排除数学、理综安排234CA在同一节的情形，共 种方法，故总的方法种数为 - =36-6=30 A310. A 解：由条件可知 A-BCD 是正四面体，法 1：如图7：A 、B、C、D 为球上四点，
16、则球心 O 在正四面体中心，设AB=a，则过点 B、C、D 的截面圆半径，123rOEa正四面体 A-BCD 的高 ，则截面 与球心的距离22136()AOaBCD，所以 ，解得 163dOaR22()()33RRa36法 2：如图 8：把正四面体 A-BCD 放置于正方体中，则正方体边长 x 与正四面体棱长 满足11ADBCa，又正方体外接球半径 R 满足： 2xa，可解得：2222()3=Rxa（ ） Ra36211. D 解： 如图 9， 21M(OP)F，M 是 2F的中点.设抛物线的焦点为 F1，则 F1为（- c，0 ），也是双曲线的焦点 .连接 PF1，OM .O 、M 分别是
17、和 的中点，OM 为12PF2F1的中位线.OM=a，| PF1|=2 a.OM ，2PF数学试卷（理科） 第 10 页（共 6 页） PF 1，于是可得 | |= 24cab，设 P（x ，y ），则 c -x =2a，2PF2PF于是有 x=c-2a， y2= 4c（ c 2 a），过点 2F作 x 轴的垂线，点 P 到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y2+4a2=4b2， 即 4c(c-2a)+4 a 2=4(c2- a 2)，变形可得 c2-a2=ac，两边同除以 a2 有 10e, 所以 15e ,负值已经舍去. 故选 D .12 B 解：令 ，则 ，由 ，得 ，xy()xye0
18、y1x当 时， ，函数 单调递减，当(,1)x0时， ，函数 单调递增. 作出 图象，yyxye利用图象变换得 图象（如图 10） ，令 ，则()|xfe()fm关于 方程 两根分别在 时m210htm10,e（如图 11） ，满足 的 有 4 个，由()gx解得 21()10hteet2二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13 133.8 14. 240 15. 16. ),2,(3,0提示：13. 解：由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)10=1，解得 x =0.024.估计工人生产能力的平均数为: 1150.00810+1250.020
19、10+1350.04810+1450.02410=133.8 . x数学试卷（理科） 第 11 页（共 6 页）14 解： = , 则二项式 展开式的通项公式为2cosaxd2in6(+)ax6)2(x，令 ，求得 ，所以二项式 展开式中的常数项rrrCT2361 04r6()a是 24=240615 圆 关于直线 对称,所以圆心20xym0yx在直在线 上， 1(,)yx112m表示的平面区域如图20xybza表示区域 OAB 内点 P 与点 Q（1，2）连线的斜率.ba,所以答案： 20,1OQK0,AK),2,(16. 解： ，1221()(1)nnn naaSa，2()N112()2(
20、)nna（）当 n 为奇数时， 2()33n是关于 n( )的增函数.2()3f*所以 n=1 时 最小值为 ，这时 ()f(123f,（）当 n 为偶数时， 恒成立，2)525nnnn 为偶数时， 是增函数，当 n=2 时， 最小值为()25g()g，(2)4150g这时 综上（） 、 （）实数 的取值范围是 . 3,0数学试卷（理科） 第 12 页（共 6 页）三、解 答 题 （ 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 70 分 .其 中 17 至 21 题 为 必 做 题 ， 22、 23 题 为 选 做 题 . 解 答过程 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤
21、 ）17. 解：（ ） 1 分()sin2cosincos6fx x2 分3i3i(2)x函数 f（x ）的最小正周期为 3 分2T当 ，即 时，f（x）取最大值为 ， 4 分23k5,1xkZ这时 x 的集合为 5 分| 2（） 6 分3()sin),si(),2BfB7 分0,8 分=36即 ，1,sinbcbcBC又 由 正 弦 定 理 得 ：9 分sin,BC210 分2=3又 为 三 角 形 的 内 角 ， 或11 分=3A当 时 ， ； 6abBA当 时 ， ,不 合 题 意 舍 去 数学试卷（理科） 第 13 页（共 6 页）12 分=,63BC 【点评】此题考查了两角和与差的正
22、弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18. 解：（）由表可知：空气湿度指标为 1 的有 A2， A4，A 5，A 7， A9，A 10 1分空气湿度指标为 2 的有 A1， A3，A 6，A 8， 2 分在这 10 块种植地中任取两块地，基本事件总数 n= 3 分210C这两块地的空气温度的指标 z 相同包含的基本事件个数5 分2645321mC这两地的空气温度的指标 z 相同的概率 6 分21745mPn（）由题意得 10 块种植地的综合指标如下表：编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10综合指标 4
23、 4 6 1 4 4 3 5 4 3其中长势等级是一级（4）有 A1 ， A2，A 3，A 5， A6，A 8， A9，共 7 个，长势等级不是一级（4）的有 A4， A7， A10，共 3 个， 7 分随机变量 X=A-B 的所有可能取值为 1, 2，3，4， 5， 8 分w=4 的有 A1 ， A2，A 5， A6，A 9共 5 块地，w=3 的有 A7， A10共 2 块地，这时有X=43=1 所以 ， 9 分152730()CPx同理 ， 1273() 115273()CPx， 10 分173(4)CPx173()X 的分布列为：数学试卷（理科） 第 14 页（共 6 页）X 1 2
24、3 4 5P 07121 11 分12 分10714234512EX19 （ ）证明：法一如图 13 取 OG 中点 F，连结 BF、FN，则中位线 FN OE 且 FN OE，2又 BM OE 且 BM OE 1 分11所以 FN BM 且 FN BM，所以四边形 BFNM 是平行四边形，所以 MNBF， 2分又 MN 平面 OBC，BF 平面 OBC，所以 MN平面 OBC. 4 分法二：如图 14，延长 EM、OB 交于点 Q，连结 GQ， 因为 BMOE 且 BM OE，所以 ，12MBEOM 为 EQ 中点， 1 分所以中位线 MNQG 2 分又 MN 平面 OBC，QG 面 OBC
25、，所以 MN平面 OBC. 4 分（）解：法一如图 14，因为 OB=OC= ， ，3120BOC所以 ， 5 分2cos120BCOB又 所以 ，G,3CG，2cs， ， 6 分290BBOB又 平面 OBC，OG 面 OBC,OEE7 分G数学试卷（理科） 第 15 页（共 6 页）又 ，所以 平面 OBE，QE 面 OBE QE 8 分OBEOGOG又 M 为 EQ 中点，所以 OQ=OE ，所以 ，23,MQE所以 平面 OMG， ， 为二面角 的平面角. 9 分QQEB所以 中， ， ， 11 分Rt22()62(6)17， 二面角 的余弦值为 12 分64cos7OGGE4法二：如
26、图 15, OB=OC= ， ，3120BOC， 2cos3BCO5 分又 ， ，G2,13G2cos0CO，29OBB， 6 分又 平面 OBC，,EE7 分GC面 OEG又 ，所以 平面 OBE， ， 8 分BOB面 GE建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 M（ ，G（ ,E（ ，xyz3,0)10),23)9 分(3,1),(3,0),M而 是平面 BOE 的一个法向量 11 分10n设平面 MGE 的法向量为 则 ， 2(,)nxyz23z0nxyE令 ，则 面 MGE 的一个法向量为 ， 10 分z1,3,xy2(1,)所以 122 34cos 7|1nnA数学试卷（理科） 第 16
27、 页（共 6 页）所以，二面角 的余弦值为 12 分GMEB42720 () 解： ， ，且 (3)axiyj(3)bxiyj|4ab22() 4xy 点 M（ x， y）到两个定点 F1（ ，0）， F2（ ，0）的距离之和为 42 分 点 M 的轨迹 C 是以 F1、 F2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为, 3 分2(0),ab则 3ca221bac其方程为 4 分214xy（）证明：设 ， ，1(,)A2(,)Bxy将 代入椭圆 的方程，消去 可得ykxmE22(14)84160kxm显然直线与椭圆 C 的切点在椭圆 E 内， ：由 韦 达 定 理 则 有,0， . 5 分12284
28、k2146xk所以 6 分2126|mx因为直线 与 轴交点的坐标为 ，yky(0,)所以 的面积 7 分OAB221264|1kmSx8 分222(64)()14kk设 214mtk将 代入椭圆 的方程，可得 10 分yxC22(14)840kxm由 ，可得 即 ， 11 分02214kt数学试卷（理科） 第 17 页（共 6 页）又因为 ，22(4)4Stt故 为定值. 12 分321.（ ）解： . 1 分21)1(3f2 分2()xxf()3f函数 在点 处的切线方程为：()yf1,f，即 3 分320y（）解： xaxxaxaln1l)1(ln)(g32 定义域为 0,1（ ） （
29、， ）4 分2222 )1()1()()(g xaxxa2,hyge设 要 使 在 ， 上 有 极 值 ，则()()0a12,有 两 个 不 同 的 实 根5 分244a或 21212(),x,0eexexxA而 且 一 根 在 区 间 ， 上 ， 不 妨 设 又 因 为1h(0),h0,(0ae又 只 需 即 ） 联立可得： 6 分ea（）证明： （）知，由 单 调 递 减则时 ， )(,0)(),1(2xgx2()0gx（ ） 时 ， 单 调 递 增2g()1()x在 （ ， ） 上 有 最 小 值 2t1g()tx即 （ ， ） ， 都 有7 分单 调 递 增又 当 )(0)(,0(1x
30、gx数学试卷（理科） 第 18 页（共 6 页）单 调 递 减当 )(,0)(,1xgx1g()在 （ ， 上 有 最 大 值8 分s,)()sx即 对 都 有又 ),e),0(,221211 （ax2121g()()lnlnaatsgxx10 分l121axn )(l22e)0(1lnl)( xk设 01(k2xx11 分eekx 2),e 上 单 调 递 增 ，在 （12 分sgt12()请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22. 解: （）1 分2225cos()(cosin15inxyxy即曲线 的普通方程为 2 分1C21042
31、2,cos,in,xyy曲线 的方程可化为 3 分20x即 . 4 分1)()(:22（）曲线 左焦点为（ ，0） 5 分1C4直线 的倾斜角为 , 6 分l2sinco数学试卷（理科） 第 19 页（共 6 页）所以直线 的参数方程为： 7 分l 为 参 数 ）tyx(24将其代入曲线 整理可得： ， 8 分2C043tt设 A,B 对应的参数分别为 则 所以 . 9 分21, 4,2311t所以 10 分12()()ABttt解法二：（）同解法一. 4 分（）曲线 左焦点为（ ，0） 5 分1C4直线 的斜率为 , 6 分ltan1k直线 的普通方程为 . 即 7 分yx40y圆 的圆心坐
32、标为：（-2，1）. 8 分2圆心 到直线 的距离 9 分Cl2|1d故 . 10 分2ABr解法三：（）同解法一. 4 分（）曲线 左焦点为（ ，0） 5 分1C4直线 的斜率为 , 6 分ltan1k直线 的普通方程为 7 分yx， 9 分212224 3560()(1) 1yx xy 或10 分2AB=-3 23. 解：（ ）当 时， ，即 ， a()6fx1236x即 或 或 3 分213x23x或 或 4 分1x数学试卷（理科） 第 20 页（共 6 页）所以不等式 的解集为 5 分21x()6fx|21x（）对任意 ，都有 ，使得 成立，则有R2 )(1g， 6 分|()|()yfyg又 7 分|23|xax)(3)|axa， 8 分()1g从而 ，解得 ， 9 分|3|15或故 10 分,)(,aU
