1、绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合 A=x|x|f（0）对任意的 x（0，2都成立， 则 f（x）在0， 2上是增函数”为假命题的一个函数是_【答案】y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得 f（x）f（0）且（0， 2上是
2、减函数.详解：令 ，则 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，但 f（x）在0， 2上不是增函数.又如，令 f（x）=sinx，则 f（0）=0，f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，但 f（x）在0，2上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合 中的一个特殊值 ，使 不成立即可.通常举分段函数.14. 已知椭圆 ，双曲线 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点 ，则椭圆 M 的离心率为 _；双曲线 N 的离心率为_【答案】 (1). (2). 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 关系
3、，即得双曲线 N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，解得椭圆 M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，所以椭圆 M 的离心率为双曲线 N 的渐近线方程为 ，由题意得双曲线 N 的一条渐近线的倾斜角为 ， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题共 6 小题，共 80 分 。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15. 在ABC 中，
4、a=7，b=8 ，cosB= （）求A；（）求 AC 边上的高【答案】(1) A =(2) AC 边上的高为【解析】分析：（1）先根据平方关系求 sinB,再根据正弦定理求 sinA，即得A；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程 ，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求 ，解得 AC 边上的高详解：解：（）在ABC 中，cos B= ，B（ ，），sinB= 由正弦定理得 = ，sinA= B（ ，），A（0， ），A= （）在ABC 中，sin C=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= = 如图所示，在ABC 中，sinC= ，h= = ，AC 边上的高为 点睛：解三角形
5、问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16. 如图，在三棱柱 ABC- 中， 平面 ABC，D，E，F，G 分别为 ，AC， ， 的中点，AB=BC= ，AC= =2（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1 的余弦值 ；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交【答案】(1)证明见解析(2) B-CD-C1 的余弦值为(3)证明过程见解析【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得 ，由线面垂直性质得 ,由三棱柱性质可得，因此 ，最后根据线面垂直判定定理得结论， （2）根据条件建立空间直角坐标系 E-ABF，
6、设立各点坐标，利用方程组解得平面 BCD 一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果， （3）根据平面 BCD 一个法向量与直线 FG 方向向量数量积不为零，可得结论.详解：解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC 1平面 ABC，四边形 A1ACC1 为矩形又 E，F 分别为 AC，A1C1 的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面 BEF（）由（I）知 ACEF，ACBE，EFCC1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE 平面 ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系 E-xyz由题意得 B（0，2，0），C（-1，0，0），D
7、（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1） ，设平面 BCD 的法向量为 ， ， ，令 a=2，则 b=-1，c=-4，平面 BCD 的法向量 ，又平面 CDC1 的法向量为 ， 由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角，所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为 （）平面 BCD 的法向量为 ，G（0，2， 1），F（0，0，2）， ， ， 与 不垂直，GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂
8、直，需转化为证明线面垂直.17. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表 ：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率 ；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 k
9、类电影得到人们喜欢， “ ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2， 3，4，5，6）写出方差 ， ， ， ， 的大小关系【答案】(1) 概率为 0.025(2) 概率估计为 0.35(3) = .详解：解：（）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50故所求概率为 （）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评” ，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为 P（ ）=P（ ）+P（ ）=P（A）（1P（B）+（1P（A）P（B）由题意知：P（A）估计
10、为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.250.8+0.750.2=0.35（） = 点睛：互斥事件概率加法公式：若 A,B 互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若 A,B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B).18. 设函数 = （）若曲线 y= f（x）在点（1， ）处的切线与 轴平行， 求 a；（）若 在 x=2 处取得极小值， 求 a 的取值范围【答案】(1) a 的值为 1(2) a 的取值范围是（ ，+）【解析】分析：（1）先求导数，再根据 得 a；（2）先求导数的零点： ，2；再分类讨论，根据是否满足 在 x=2 处取得极小值
11、， 进行取舍，最后可得 a 的取值范围详解：解：（）因为 = ，所以 f （x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由题设知 f (1)=0，即(1a)e=0，解得 a=1此时 f (1)=3e0所以 a 的值为 1（）由（）得 f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若 a ，则当 x( ，2)时，f ( x)0所以 f (x)0所以 2 不是 f (x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是（ ，+）点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.
12、以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.19. 已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围 ；（）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值【答案】(1) 取值范围是（-， -3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析【解析】分析：（1）先确定 p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线 l 的斜率的取值范围，最后根据 PA，PB 与 y 轴相交，舍
13、去 k=3，（2）先设 A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得 ， 再由 ， 得 ， 利用直线 PA，PB 的方程分别得点 M，N 的纵坐标，代入化简 可得结论.详解：解：（）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0）由 得 依题意 ，解得 k0 或 0k1又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1， -2） 从而 k-3所以直线 l 斜率的取值范围是 （-，-3）（-3，0）（0， 1）（）设 A（x1，
14、y1），B（x2，y2）由（I）知 ， 直线 PA 的方程为 y2= 令 x=0，得点 M 的纵坐标为 同理得点 N 的纵坐标为 由 ， 得 ， 所以 所以 为定值点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20. 设 n 为正整数，集合 A= 对于集合 A 中的任意元素和 ，记M（ ）= （）当 n=3 时， 若 ， ，求 M（ ）和 M（ ）的值；（）当
15、 n=4 时， 设 B 是 A 的子集 ，且满足：对于 B 中的任意元素 ，当 相同时，M（ ）是奇数；当 不同时，M（ ）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值； （）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 ，M（ ）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由【答案】(1) M( ，）=1(2) 最大值为 4(3)答案见解析【解析】分析：（1）根据定义对应代入可得 M（ ）和 M（ ）的值；（2）先根据定义得 M(，）= x1+x2+x3+x4再根据 x1，x 2，x3，x40，1，且 x1+x2+x3+x4 为奇数，确定 x1，x 2
16、，x3，x4 中 1 的个数为 1 或3可得 B 元素最多为 8 个，再根据当 不同时，M（ ）是偶数代入验证，这 8 个不能同时取得，最多四个，最后取一个四元集合满足条件，即得 B 中元素个数的最大值；（3）因为 M（ ）=0，所以 不能同时取 1，所以取 共 n+1 个元素，再利用 A 的一个拆分说明 B 中元素最多 n+1 个元素，即得结果.详解：解：（）因为 =（1，1，0），=（0，1，1） ，所以M(，)= (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，M(，）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）设 =（x1，x 2，x3，x4）
17、B，则 M(，）= x1+x2+x3+x4由题意知 x1，x 2，x3，x40，1，且 M(，)为奇数，所以 x1，x 2，x3，x4 中 1 的个数为 1 或 3所以 B (1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).将上述集合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素 ，均有 M(，）=1.所以每组中的两个元素不
18、可能同时是集合 B 的元素所以集合 B 中元素的个数不超过 4.又集合（1，0，0，0）， （0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)满足条件，所以集合 B 中元素个数的最大值为 4.（）设 Sk=( x1，x 2，xn）|( x1，x 2，xn）A，xk =1，x1=x2=xk1=0）（k=1，2，n)，Sn+1=( x1，x 2，xn）| x1=x2=xn=0，则 A=S1S1Sn+1对于 Sk（k=1，2，n1）中的不同元素 ，经验证，M(， )1.所以 Sk（k=1，2 ，n1）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以 B 中元素的个数不超过 n+1.取 ek=( x1，x 2，xn）Sk 且 xk+1=xn=0（k=1，2，n1）.令 B=（e1，e2，en1）SnSn+1，则集合 B 的元素个数为 n+1，且满足条件.故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合点睛：解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用
