1、第一章“运动学”题型一、分类：1.一般的运动方程、速度、加速度之间的关系2.圆周运动二、计算内容1. 一般的运动方程、速度、加速度之间的关系知识地图如下： () () () rttatA求 导 求 导积 分 积 分轨 迹 方 程2.圆周运动知识地图如右：三、解题步骤声明：解题其实就是清清楚楚地把题目做出来。只要满足这个条件就行，并非只能按照一种方式来做。下面给出的只是比较有条理和清晰的一种路子，如果你严格照着做了，结果应该不会错得离谱（老师们还是见过步骤正确，但是简单如四则运算依然要算错的神人，扼腕之余只能表示叹服） ，而且阅卷老师要给你们分也有比较充足的理由（至少卷子上的文字表明你很清楚正确
2、的步骤） 。当然，如果你觉得自己很清楚，而且也能够在卷子上很清楚地表明“你自己很清楚”这件事情，那么只管走自己的路就是。但是切记：如果你心里很清楚，但是卷子上只写寥寥几个字，阅卷老师是断然不能从这几个字中看出来“你很清楚”这件事情的（那个需要超能力，貌似老师都木有） 。特别是如果你写的那几个字还出了点错，那就是你自己要跟自己过不去了。阅卷是“以卷面为依据” ，和“ 以卷面为准绳”的。所以：能多写些就多写些，尽量写清楚。1. 一般的运动方程、速度、加速度之间的关系理解已知条件，知道自己在地图上起点在哪儿；理解求解目标，知道地图上哪里是终点；然后在地图中找路，从起点走到终点即可。如果按照地图上从左
3、至右的方向解题，那是灰常滴简单你再犯错，那就只能是“自作孽”了。如果方向是从右至左，则会涉及几个问题：（1）利用积分链式法则的技巧（参见例题 1） ；（2）分离变量积分的技巧（这是你们这个学期常微里面最简单的内容，必须会的） ；（3）定积分和不定积分的选择问题（参见例题 1） 。2.圆周运动理解已知条件，知道自己在地图上起点在哪儿；理解求解目标，知道地图上哪里是终点；然后在地图中找路，从起点走到终点即可。四、典型例题和习题1. 一般的运动方程、速度、加速度之间的关系【例题 1】 （教材习题 1-5）解：从地图上看，从位置到速度显然行不通（因为不知道位置的函数表达式） ，那么就要考虑从加速度返回
4、速度的路子。但是由于 也不能直接对时间积分（速度表达式也未知） ，所以只有再寻他途。26daxt现在起点是 和 ，终点是 。所以我们的路径必须能够从这两点出发，连接到 。从图上看，很明显，既要x 用到微分 ，又要用到积分 。这个技巧就是第一步用链式法则（引入中间变量 ）引入微分：a x，26dxdaxtt第二步再使用“分离变量积分”来引入积分（这一招请参见本学期你们的常微教材相关部分） 。先分离变量得 2(6)dxd然后积分。教材上使用不定积分的招数，最后通过初始条件来确定积分常数，是可行方法之一。另一种方法是根据定积分的定义， ，上面的积分可以做成定积分()()baffxd，积分一下得到一个
5、隐函数的形式2 2100(6)(6)vXd xd终 点 的 速 度 终 点 的 坐 标起 点 的 速 度 起 点 的 坐 标，这就是结果。23502vX另外，如果有人想直接求解这个方程 ，那也很好这应该是认真学了常微课程之后看到问题226dxt的本能反应，我表示很赞赏。【典型习题】地图左右例题 1-4、习题 1-3【典型习题】地图右左例题 1-7、习题 1-5、习题 1-6。2.圆周运动【例题 2】 （教材习题 1-8）解：这里不给出详细求解过程。你只要顺着地图，从弧长出发，一路走下去，走到加速度的两个分量就可以完成第（1）题。至于第（2）题，画个图就能算出来，我就不细说了。【典型习题】起点有
6、可能是从弧长 开始，也有可能是从角度 开始，本质上没差别，照图走就是。()st ()t例题 1-5、例题 1-6、习题 1-7、习题 1-8第二章“动力学”题型一、分类：运用受力分析和各种守恒定理的综合题。二、计算内容综合。三、解题步骤声明：请参见第一章“声明”部分。1.受力分析2.系统特性分析适用哪些守恒定理列出方程3.有可能要用到运动学分析（运动学和动力学通过牛二 连接在一起）2drmat4.解上面得到的联立方程。另外注意：（1）涉及能量的问题，使用“动能定理”或者“功能原理”之中的任何一种都可以把问题求解出来，用哪种看你的心情而定。而能不能用“机械能守恒定理”则要看是否满足守恒的条件。一
7、旦题目中设计摩擦力的，那么显然机械能就不会守恒了。（1.1）动能定理解题菜单：1.明确研究对象，建立坐标系；2.根据最基本概念和定义，得到所有力的功并求和；3.动能增量；4.使用动能定理。*由于不考虑势能，所以不用设定各种零势能点。（1.2）功能原理解题菜单：1.明确系统组成（有重力势能的，要包含地球、物体；有弹力势能的，要包含弹簧、物体） ；2.分清内力和外力，分清保守力和非保守力；3.所有外力的功；4.所有非保守内力（我们目前只可能是摩擦力）的功；5.使用功能原理。（2）使用势能解题时注意：1.设定坐标系（包含坐标原点、轴向）2.设定势能零点（注意：坐标原点和势能零点是不同的，要分别设定。
8、而且：有几种势能，就要设几个势能零点） 。3.计算，使用我们的公式： 22()-()11() ()pppEmgkk重 力 重 力弹 弹末 势 能 初 势 能 从 初 始 位 置 到 末 位 置 保 守 力 做 的 功 的 负 值重 力 势 能 ： 末 初 末 坐 标 初 坐 标末 初 末 坐 标 初 坐 标切 记 ： 此 地 以 弹 簧 自 然 伸 长 时 质 点 位 置 为 原 点 。四、典型例题和习题【例题 1】质量 m = 100 g 的小球被系在长度 l = 50.0 cm 绳子的一端，绳子的另一端固定在点 o，如图所示。若将小球拉到 p 处，绳子正好呈水平状，然后将小球释放。求小球运
9、动到绳子与水平方向成 q = 60的点 q 时，小球的速率 v、绳子的张力 t 和小球从 p 到 q 的过程中重力所作的功 W。解：（1）求小球的速率 2()()sin601sin60GGWrmgjrzmglTl 动 能 定 理 方 法 :外 力 做 功 ： 只 有 重 力 。 建 立 一 般 的 平 面 直 角 坐 标 系动 能 增 量易 得21 -()-()-sin60002sin6GGTmWVrmgjrzmglgl 功 能 原 理 解 法 ：明 确 所 讨 论 的 系 统 ： 由 物 体 和 地 球 组 成外 力 做 功 ： 木 有 外 力 ， 所 以 此 项 为 零 ； 非 保 守 内
10、 力 做 功 ： 木 有 非 保 守 内 力 ， 所 以 此 项 为 零因 此 二 项 之 和 为 零 。机 械 能 增 量 ：动 能 增 量 为重 力 势 能 增 量 重 力 做 功 的 负 值机 械 能 增 量 外 力 功 非 保 守 内 力 功，计 算 易 得（2）求绳子的张力 22sin60sin60()2.54nTmgvmgallTN受 力 分 析 ： 由 于 题 目 只 要 求 张 力 ， 张 力 在 径 向 ， 故 只 考 虑 径 向 。二 个 外 力 ： 张 力 和 重 力 在 径 向 的 分 力 。基 础 知 识 在 某 个 方 向 上 的 牛 二 ：这 个 方 向 上 的
11、合 外 力 质 量 这 个 方 向 上 的 加 速 度 质 量 径 向 加 速 度运 动 学 的 知 识 径 向 加 速 度 因 为（3）太简单，我就不讲了。【习题】动量和冲量：例题 2-4、例题 2-5、例题 2-7、习题 2-6功和能：例题 2-7、例题 2-8、例题 2-9、习题 2-8、习题 2-9角动量：例题 2-11第五章“静电场”题型一、按照带电体分类： +基 本 带 电 体 ： 7种 情 况 （ 参 见 表 1）复 合 带 电 体 ： 同 系 基 本 带 电 体 的 复 合 （ 点 系 复 合 ： 点 球 壳 ， 球 壳 球 壳 ， 球 体 球 壳 ，按 带 电 体 分 两 类
12、 线 系 复 合 ： 线 筒 ， 筒 筒 ， 柱 筒 ，面 系 复 合 ： 平 面 平 面 ）二、计算内容三、解题步骤声明：请参见第一章“声明”部分。（一）求带电体电场分布的解题步骤1.基本带电体电场分布解题步骤（1）场强方向分析（微元法 or 记忆）和等 E 面分析（微元法 or 记忆） ，记得要表达清楚（要设坐标系的话，也讲一下怎么设定） ；（2）充分使用等 E 面构造一个闭合的高斯面（根据电荷分布情况，决定是否需要分区）（a） “点系”直接使用球面形高斯面；（b） “线系” 、 “面系”等 E 面不封闭的，用等 E 面加上和场强平行的简单平面来“封口” ；（3）计算高斯定理公式的右边（根
13、据电荷分布情况，如果需要分区就分区计算） ；（4）计算高斯定理公式的左边（即高斯面上的电场通量） ，切记计算会非常简单（作为数学专业的学生，你有义务理解结果是怎么来的） ；（5）从高斯定理得到场强大小（根据电荷分布情况，如果需要分区就要分区给出结果） 。2.复合带电体电场分布解题步骤方法一（推荐）：（1）先得到每个基本带电体（总共 7 种）单独存在时候的空间电场强度分布。这个可以直接给出来，或者想从头求一遍都行，看你的心情而定。（2）指出：根据电场的叠加原理，总电场等于“每个带电体单独存在时候的电场强度”的矢量和（这是必需的）。（3）最后实际计算出矢量和来（建议画图，看着分一分区域，然后认真算
14、一下。虽然极为简单，但是每次都有一批人做错，让广大阅卷教师对这批神人敬佩不已） 。方法二（这种路子算起来，容易失误的地方相对多一点）：使用和 1 中所述一样的方法来做即可。（二）求带电体电势分布的解题步骤（1）如果电场强度未知，则使用（一）中所述合适的方法算出任意 P 点的电场强度；如果已知，则直接使用；（2）选取合适的电势零点：（a）如果带电体只占据有限的空间，则选择无穷远点为电势零点；（b）如果带电体占据无限的空间，则选择一有限远点为电势零点；（3）选取合适的路径，计算下列积分得到 P 点的电势：()=-0()=()PUPErdA零 点点零 点 （ 沿 你 自 己 选 择 的 捷 径 积
15、分 ） 。注意：（a） “捷径”就是最容易计算积分的路径，你可自行选择；E求 带 电 体 在 空 间 产 生 的 电 场 强 度带 电 体 产 生 的 电 势 （ 或 者 电 势 差 ）（b）如果电场强度有分区，那么电势也要分段计算。（4）如果要求的是两点之间的电势差，可选两种方法之一：（a）用（3）的方法先求分别出两点的电势，再求两电势之差；（b）使用两点电势差的计算公式： ()=()QPQPUErdA点点 沿 你 自 己 选 择 的 “捷 径 ”积 分直接计算。从成本上说，如果仅仅是计算电势差的话，用方法（b）更划算一些。四、典型例题和习题（一）基本带电体1.求基本带电体的电场分布（具体参
16、见表 1） 。2.在 1 的基础上，求空间任意点的电势（或者求空间任意两点的电势差） 。【例题 1】求均匀带电球体（半径 R，带电 ）的空间电场分布，电势分布。Q解：下面是严格按照前面解题步骤来计算的过程。（1）空间电场分布：建立球坐标系（原点在带电球体球心处） ，则我们要求的是空间任意一点 P 处的电场强度，设 P 点距离原点为 。r场强方向沿球坐标系的径向向外。根据电荷分布，空间分为 和 。rR内 区 ： r外 区 ：构造一个过 P 点（半径为 ）的同心球面作为高斯面（关于高斯面的构造是关键点之一） 。高斯面上处处电场强度大小相等，且处处场强方向和球面面元垂直。先讨论 rR内 区 ：高斯面
17、内所围的电荷为34rQ高斯面上电场通量为 2()( )=4eEdsEdssEr AA高 斯 面 高 斯 面 高 斯 面 因 为 平 行 于 因 为 高 斯 面 上 各 处 大 小 相 等高 斯 面 面 积 根 据 积 分 的 几 何 意 义根据高斯定理易得： 。如果要写成矢量式也可以，为：304QrR 304QrR下面讨论 ，此地略去过程（诸位考场上可不能偷懒） ，仅写出结果： 。矢量式为：r外 区 ： 20Er。024QE（2）空间电势分布：即我们要求空间任意一点 P 处的电势。电场分布已经由（1）求得。电势零点：设为无穷远点 （最基本要点，不能少） 。选择球坐标系的径向为路径，计算积分 (
18、)=()PUErdA点 （ 沿 径 向 积 分 ）的值，即可得 P 点电势。电场分布存在分区问题，所以电势也要分区计算。R内 区 ：03202 2323 3000000 ()=()()=()()444848RRRPPRrRrRRrR QUEdrrEdEddrdQQ AAAAA点 点外 区 ：类似过程，略去细节（你们自己补上） 02200()=44PrrQUEddrAA点【习题】其它基本带电体的电场分布（参见表 1）（二）复合带电体1.求复合带电体的电场分布。2.在 1 的基础上，求空间任意点的电势（或者求空间任意两点的电势差，一般复合带电体大多求电势差） 。【例题 2】求由一无限长均匀带电薄圆
19、筒（半径 ，单位长度带电 ）和一同轴无限长均匀带电薄圆筒（半1R+径 ，单位长度带电 ）形成的复合带电体形成的空间电场分布和两筒之间的电势差。1R-解：（1）求电场分布。使用方法一。建立柱坐标系，z 轴就是沿着筒的轴线。查表得下列结果：小筒的空间电场分布为： 110)0;)2rRErREr内 区 (外 区 (大筒的空间电场分布为： 220);)rrr内 区 (外 区 (根据电场的叠加原理，总电场等于“每个带电体单独存在时候的电场强度”的矢量和（这话一定要说） 。那么复合带电体的空间电场分布为（虽然很简单，依然请各位画个图，看清楚再写出来）： 120);)IrRErIr区 (区 区 (（2）求电
20、势差目标是求小筒和大筒之间的电势差。这个时候我们直接使用电势差的公式来计算是最划算的（因为不用再去设电势零点，也不用再去求线和筒子的电势分别是多少，省很多力） 。当然，你要明白的是：整个小筒上各处电势是相同的，而整个大筒上的电势也是相同的（不知道原因的人，回去面壁） 。因此，要求电势差的时候，可以在一个垂直于 z 轴的平面内，沿径向进行如下的计算：2211 20001()()=(= lnRRUErdRErdrAA大 筒两 筒 小 筒大 筒小 筒 小 筒 大 筒 （ 在 一 个 垂 直 于 轴 的 平 面 内 ， 径 向 路 径 ）这就是电势差。【习题】参见本章之“一、按带电体分类”中复合带电体
21、部分所列情形。表 1：基本带电体的电场分析目标：求出任意给定点 P 处的电场强度 E（矢量） 。带电体形状 1 任意点场强方向 2等 E面形状 3P 点场强方向和该处等 E 面几何关系高斯面 4 高斯面上电场通量5高斯面内电荷代数和 6（仅是大小）E（矢量表达式，表示所选的单0r位矢量，请自行搞清楚其方向）点电荷（电量 Q）（球坐标系中的）径向同心球面垂直 同心球面，半径 r24rEiqQ204Er024Qr均匀带电薄球壳（电量Q）（球坐标系中的）径向同心球面垂直 同心球面，半径 r2r0iirRq内 区 ：外 区 ： 204r内 区 ：外 区 ： 024Rr内 区 ：外 区 ：均匀带电球体（
22、电量 Q） 7（球坐标系中的）径向同心球面垂直 同心球面，半径 r24rE3iirqQR内 区 ：外 区 ： 3024rE内 区 ：外 区 ： 3024QrR内 区 ：外 区 ：无限长均匀带电细线（线电荷密度 ）（柱坐标系中的）径向同轴柱面垂直 同轴柱面（半径 ，长度 ）rl+顶+ 底= “罐头筒”rlil0r0r无限长均匀带电薄圆筒（单位长度带电 ） 7（柱坐标系中的）径向同轴柱面垂直 同轴柱面（半径 ，长度 ）rl+顶+ 底= “罐头筒”2rlE0iirRql内 区 ：外 区 ： 02Er内 区 ：外 区 ： 02Rr内 区 ：外 区 ：无限长均匀带电圆柱（单位长度带电 ） 7（柱坐标系中
23、的）径向同轴柱面垂直 同轴柱面（半径 ，长度 ）rl+顶+ 底= “罐头筒”rl2iirqlR内 区 ：外 区 ： 20rE内 区 ：外 区 ： 20rR内 区 ：外 区 ：无限大均匀带电薄平面（面电荷密度 ）垂直于带电平面平行平面垂直 “任意顶面形状（顶/底面积 ）S的盒子（顶+底+侧面） ”2EiqS0202r注：1对于“点系” ，建立球坐标系，原点就在那个“点”上；对于“ 线系” ，建立柱坐标系，Z 轴就沿着那条“线” ；“面系” ，建立平面直角坐标系，XY 平面就在“面”上。2任意点处电场 E 的方向，在表中第二列描述之外，还要根据电荷的电性来决定最终的方向：如果是正电荷，则带电体发出
24、电场线，反之带电体接收电场线。比如，带正电的“点系” ，则电场方向沿球坐标系的径向向外（反之，带负电的则电场方向沿径向向内） 。而最后两列的公式中电量或者电荷密度是代数值，已经包含了正负电性的信息。3这一栏的“同心”或者“同轴”指的是和设定的坐标系同心或者同轴（ Z 轴） 。4（1）充分利用等 E 面建立高斯面：如果等 E 面是封闭的，则直接用过 P 点的等 E 面作为高斯面即可；如果等 E 面不封闭，则使用过 P 点的等 E 面加上垂直于电场的平面形成封闭的高斯面。 （2）切记：我们的目标是求一个任意 P 点的电场强度矢量，方向可以用叠加原理搞清楚，大小就用高斯定理来对付了。设 P 点的坐标
25、是 （请勿将这个 和带电体半径参数 混起来这是作业rrR和考试中常见的错误动作） ，我们设定的高斯面就是一个通过 P 点的封闭曲面。5由于所设定高斯面的特殊几何性质，在高斯面上的通量非常容易计算。表中仅给出最后结果，但请自行弄清楚来龙去脉。6这一步需要考虑是否该分区关键是根据电荷分布来决定。7这些情况，如果已知条件换成电荷密度（比如体密度或者面密度） ，也要会做。第六章“稳恒磁场”题型一、按照载流导体分类：只 有 基 本 载 流 导 体 ： 6种 情 况 （ 参 见 表 2）二、计算内容三、解题步骤声明：请参见第一章“声明”部分。1.磁感应强度方向分析（微元法 or 记忆）和等 B 线分析（微
26、元法 or 记忆） 。2.充分使用等 B 线构造一个闭合的安培环路（必须指明绕行方向）：（1） “线系”-直接使用圆形安培环路；（2）长直螺线管，螺绕环：参见教材（P166） ；（3）无限大载流平面：参见后面例题 2。3.计算安培环路定理公式的右边（注意环路绕行方向和电流方向满足“右手关系”的电流值是正的，反之的则是负的） 。4.计算安培环路定理的左边，切记计算会非常简单。5.从安培环路定理得到最后结果。四、典型例题和习题求导体中电流在空间激发的磁场的磁感应强度分布（具体参见表 2） 。【例题 1】求无限长载流直导体圆筒在空间产生的磁感应强度的空间分布（电流为 I，半径为 R） 。解：下面是严
27、格按照求解步骤来计算的过程。磁感线在垂直于圆筒的平面上是与圆筒的截面同心的圆周，方向与电流成右手螺旋的关系，这些圆周也是等 B线。空间任意一点 P 处的磁感应强度方向，就是过这一点的磁感线的切线方向（与电流成右手螺旋关系的那一边） 。直接以过 P 点的等 B 线（封闭圆周）为安培环路，绕行方向和电流 I 的方向成右手螺旋关系。根据电流分布可知，需要分区讨论安培环路定理的两边：先讨论 rR内 区 ：安培环路内所围电流为零，所以安培环路定理公式右边 。0沿着环路的积分为： ()( )=2IBdrBdrrBB AA高 斯 面 高 斯 面 因 为 平 行 于 因 为 环 路 是 等 线 ， 其 上 上
28、 各 处 大 小 相 等安 培 环 路 周 长 根 据 积 分 的 几 何 意 义根据安培环路定理易得 。0再讨论 rR外 区 ：安培环路内所围电流为 I，所以安培环路定理公式右边 。0I沿着环路的积分为： ()( )=2IBdrBdrrBB AA高 斯 面 高 斯 面 因 为 平 行 于 因 为 环 路 是 等 线 ， 其 上 上 各 处 大 小 相 等安 培 环 路 周 长 根 据 积 分 的 几 何 意 义根据安培环路定理易得 。02Ir求 导 体 中 稳 恒 电 流 在 空 间 产 生 的 磁 感 应 强 度【例题 2】求无限大均匀导体平面在空间产生的磁感应强度的分布（平面上垂直于电流
29、方向单位宽度中流过电流为 ） 。i解：类上。无限大平面磁感线平行于导电平面，方向和电流成右手螺旋关系，如右图所示（注意在左半边和右半边空间中的磁感应强度方向是相反的） 。空间任意一点 处的磁感强度的方向就是磁感线的方向。P在和电流垂直的平面内作如图通过 点的矩形，其中水平边长为 ，铅直边Pa长为 。设定环路绕行方向为逆时针向（此方向和电流方向成右手螺旋关系） 。b空间无需分区。安培环路圈入的总电流为 ，bi安培环路定理右边 ，0安培环路定理左边= +0()0()=()=+=2IBdrBdrBdrrrBdBb A左 边 下 边 右 边 上 边左 边 右 边 左 边 右 边左 边 右 边左 边 右
30、 边 左 边 大 小 相 等 且 平 行 于 道 理 类 似 左 边 的于是有安培环路定理得 02i【习题】参见表 2 所列情形。表 2 的注：1. （1）充分利用等 B 线建立安培环路：如果等 B 线是封闭的，则直接用过 P 点的等 B 线作为安培环路即可；P如果等 B 线不封闭，则使用过 P 点的等 B 线加上垂直于磁感应线的线段形成封闭的安培环路。 （2）切记：我们设定的安培环路是一条过待求点 P 点的封闭曲线。一般就设这个点的坐标是 。 r2. 由于这里的安培环路都具有特殊的几何性质，在环路上的曲线积分非常容易计算。表中仅给出最后结果，但请自行弄清楚来龙去脉。3.这一步需要考虑是否该分
31、区关键是根据电流的分布来决定。表 2：基本稳恒电流的磁场分析问题：求出任意给定点 P 处的磁感应强度 B（矢量） 。载流导体形状任意点磁感应强度方向等 B线形状P 点磁场方向和该处等B 线几何关系安培环路 1安培环路上的线积分2环路内电流的代数和 3（仅是大小）B（矢量表达式）无限长直导线，电流为I垂直于导线的圆形切向，与电流方向成“右手关系”垂直于导线平面内的圆形相切 等 B线构成的圆形,半径为 r2rI02IBr02ttIar为 切 向 方 向单 位 向 量无限长直圆筒，电流为I同上 同上 同上 同上 2BrRI内 区 （ ）0外 区 （ ） 02rBIr内 区 （ ）外 区 （ ） 02
32、ttrRIa内 区 （ ）外 区 （ ）为 切 向 方 向 单 位 向 量无限长直圆柱，电流为I同上 同上 同上 同上 2rB2rRIrI内 区 （ ）外 区 （ ） 020BIr内 区 （ ）外 区 （ ） 020tttrIRar内 区 （ ）外 区 （ ）为 切 向 方 向 单 位 向 量长直螺线管，沿轴线方向单位长度匝数为n内部沿管子轴线方向，与电流方向成“右手关系” ；外部磁场为零平行于管子轴线的直线相切 矩形(管内部分长度为 )llBnl0BnI管 内管 外 0nI管 内管 外细螺绕环，沿轴线方向单位长度匝数为 n内部沿管子轴线方向，与电流方向成“右手关系” ；外部磁场为零平行于管子轴线的圆形相切 曲边梯形(管内部分长度为 )llBnlI0BnI管 内管 外 0nI管 内管 外无限大均匀导体平面，垂直于电流方向单位长度电流为 i匀强磁场，与电流方向成“右手关系” 垂直于电流的平面内的直线 平行 矩形(平行于平面的部分长度为 )l2lBil02iB02i
