1、3-2-2 向量法在空间平行关系中的应用命题方向 1 线线平行1、E、 F 分别是长方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 AA1、CC 1 的中点，求证：四边形 B1EDF 是平行四边形证明 ， ，B1F B1C1 C1F ED EA AD ， ，B1C1 AD C1F EA ，由条件知， B1F 与 ED 显然不共线B1F ED B 1F 平行且等于 ED，四边形 B1EDF 是平行四边形2、正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 M、N 分别是棱 BB1 和对角线CA1 的中点，求证：MN BD.证明 以 D 为原点， DA、DC 、DD 1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系
2、如图设正方体棱长为 1，则 B(1,1,0)，M (1,1， )，C(0,1,0) ，12A1(1,0,1)，N 是 A1C 中点，N ， (1,1,0)， ，(12，12，12) DB NM (12，12，0) 12DB ，显然 MN 与 DB 不共线，MN DB.NM DB 命题方向 2 线面平行1、如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别是C1C、 B1C1 的中点求证： MN 平面 A1BD.证明 证法一：如图所示，以 D 为原点， DA、DC、DD 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得 M ，(0，1，
3、12)N ，D(0,0,0)、A 1(1,0,1)、B(1,1,0)，(12，1，1)于是 ， (1,0,1)， (1,1,0) MN (12，0，12) DA1 DB 设平面 A1BD 的法向量是 n(x，y ，z)则 n 0，且 n 0，DA1 DB Error!，来源:学优高考网取 x1，得 y1， z1.n(1，1，1)又 n (1，1，1)0，MN (12，0，12) n， MN平面 A1BD，MN MN 平面 A1BD.证法二： MN C1N C1M 12C1B1 12C1C ( ) ，12D1A1 D1D 12DA1 ，又MN平面 A1BD.MN DA1 MN 平面 A1BD.来
4、源:学优高考网 gkstk证法三：由证法二知， 0 ，MN 12DA1 DB 即 可用 与 线性表示，故 与 、 是共面向量MN DA1 DB MN DA1 DB 平面 A1BD，又 MN平面 A1BD，即 MN 平面 A1BD.MN 2、在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，E 是 PC 中点，求证：PA 平面 EDB.来源:学优高考网 证明 设 a， b， c，则 (bc) ，DA DC DP DE 12 (a b)， ac ，DB 12 PA 2 2 ，来源:学优高考网 gkstkPA DB DE 与 、 共面，PA DB DE 、 不共线，PA平面 BDE.DB DE PA 平面 B
5、DE.命题方向 3 面面平行1、如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中求证：平面A1BD 平面 CD1B1.证明 以 D 为原点，分别以 、 、 为 x、y、z 轴，建DA DC DD1 立如图所示的空间直角坐标系设棱长为 1，则 A1(1,0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B 1(1,1,1)、C(0,1,0)、D(0,0,0)， ( 1,0，1)， (0,1，1)，A1D A1B (1,1,0)， (0,1，1)，D1B1 D1C 设平面 A1BD 的一个法向量为 n1(x，y ，z) ，来源:学优高考网则Error!Error!.令 z 1，得 x1，y1.平面
6、A1BD 的一个法向量为 n1(1,1,1)设平面 CD1B1 的一个法向量为 n2(x，y，z)，则Error!Error!.令 y1，得 x1， z1，n 2( 1,1,1)n 1n 2，即 n1 n2.平面 A1BD 平面 CD1B1.2、在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，|DA| 2，| DC|3，|DD 1|4，M、N、E、F 分别为棱A1D1， A1B1，D 1C1，B 1C1 的中点求证：平面 AMN 平面 EFBD.证明 证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0，) ，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N(2，4) ，E(0 ，4)，F(1,3,4)32
7、 32 (1，0) ， (1，0)， (1,0,4) ，MN 32 EF 32 AM ( 1,0,4) BF ， .MN EF AM BF MN EF，AM BF.MN 平面 EFBD， AM 平面 EFBD.平面 AMN 平面 EFBD.证法二：由证法一可知，A(2,0,0)，M (1,0,4)，N(2，4)，32D(0,0,0)，E(0 ，4) ，F(1,3,4)，则 ( 1,0,4)， (0，4)，32 AM AN 32 (0， 4)， (1,3,4)DF 32 DF 设平面 AMN，平面 EFBD 的法向量分别为 n1(x 1，y 1，z 1)，n2(x 2，y 2，z 2)，则Error!，即Error!，令 x11，得 z1 ，y 1 .14 23又Error!，即Error!，令 y21，得 z2 ，x 2 .38 32n 1(1 ， ， )，n 2( ，1， )23 14 32 38n 1 n2，即 n1 n2，平面 AMN 平面 EFBD.23
