1、如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例 1 求下列函数的周期 , xy2sin )1(32tan)(xy(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数 ，对于函数定义域内的T每一个 值都能使 成立，同时考虑到正弦函数 的周期xTxi)(2sin， xysin是 2解： , 即 )(2sin)i(i xx2i)(2sin 当自变量由 增加到 时，函数值重复出现，因此 的周期是 xxysn(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到
2、一个最小正数 ，对于函数定义域内T的每一个 值都能使 成立，同时考虑到正切函数 的周期32tan)(32tanxTta是 解： , 即 )(t)t(32tanx 32tn)(32tanxx 函数 的周期是 y2注意：1、根据周期函数的定义，周期 是使函数值重复出现的自变量 的增加值，T如 周期不是 ，而是 ； 2、 是定义域),(2(xfTxf1”“)(xfTf内的恒等式，即对于自变量 取定义域内的每个值时，上式都成立2、根据公式求周期对于函数 或 的周期公式是 ，BxAy)sin(BxAy)cos(|2对于函数 或 的周期公式是 )ta( )t( |T例 3 求函数 的周期623sinxy解
3、： 4T3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例 4 求函数 的周期 xxy2sincosin32解： 1cos3 x1)62sin(1)2cossin23( xx T例 5 已知函数 求周期),3cos(in3s)(xxf解： 32sin1(21in2 xxf )4i()3cos(si1x 32T4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期2|a例 6 求函数 的周期|cos|xy解： 2cos1|2x T例 7 求函数 的周期|cos|sin|xy解： xxxx 2sin1|2sin|1|cos|in| 2)4(124cos1 函数 的最小正周期 |in|x
4、y2T5、若函数 ，且 ，都是周期函数，)()(21ffxfk )(,)(,1xffxk且最小正周期分别为 ，如果找到一个正常数 , 使 ，kT, kTnn21( 均为正整数且互质 )，则 就是 的最小正周kn,21 )()(21xfxffyk期 例 8 求函数 的周期xy21cosi解： 的最小正周期是 ， 的最小正周期是 xsin21Tx1cos42T 函数 的周期 ，把 代入得 ，即 ，yn21T1 n21因为 为正整数且互质， 所以 21, ,n函数 的周期 xy1cosin41例 9 求函数 的周期43解： 的最小正周期是 ， 的最小正周期是 ，x32si 321Tx4cos 384
5、2T由 ， ， ( 为正整数且互质), 21Tn218n21891,n得 ,所以 函数 的周期是 xy43cossi2431T函数的周期性-函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然“出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的2.若
6、 T 是周期，则 kT（k0,kZ ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期。如常函数 f(x)=C； 3.若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足： f(x+a)=f(xa),则2a 为函数 f(x)的周期。（若 f(x)满足 f(a+x)=f(ax)则 f(x)的图象以 x=a 为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.若函数 f(x)图象有两条对称轴 x=a 和 x=b， （a0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；5.数列 中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0 是对称
7、轴，则周期是 4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为 6。四.经典例题做一做【例 1】已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数，且当 x(0,1)时，f(x)=x+1.求 f(x)在(1,2)上的解析式。解法 1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。 ） x(1,2), 则-x (-2,-1), 2-x(0,1), T=2,是偶函数 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.x(1,2).解法 2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)如图：x(0,1), f(x)=x+1. 是偶函数x(-1,0)时 f(x)=f(-x)=
8、-x+1.又周期为 2， x(1,2) 时 x-2（-1，0）f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例 2】 f(x)的定义域是 R，且 f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若 f(0)=2008,求 f(2008)的值。解： 周期为 8， 法二：依次计算 f(2、4、6、8)知周期为 8，须再验证。方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例 3】若函数 在 R 上是奇函数，且在 上是增函数，且 .求 的周期；证明 f(x)
9、的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线 x=2k+1轴对称, (kZ );讨论 f(x)在(1,2)上的单调性；解: 由已知 f(x)=f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期 T=4.设 P(x,y)是图象上任意一点,则 y=f(x),且 P 关于点(2k,0)对称的点为 P1(4k-x,-y).P 关于直线 x=2k+1 对称的点为P2(4k+2-x,y).f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,点 P1 在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又 f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x) f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, 点 P2 在图
10、象上,图象关于直线2k+1 对称.设 1x1x22,则-2-x2-x1-1, 02-x22-x11.f(x)在(-1,0)上递增, f(2-x1)f(2-x2)(*)又 f(x+2)=-f(x)=f(-x) f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).(*)为 f(x2)f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。【研究 .欣赏】已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T=5，函数 y=f(x)(-1x1)是奇函数.又知 y=f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在 x=2 时函数取得最小值-5.
11、证明： ；求 的解析式；求 在 上的解析式.解： 是以 为周期的周期函数，且在-1,1上是奇函数， ， .当 时，由题意可设 ，由 得 ， ， . 是奇函数， ，又知 在 上是一次函数，可设 ，而 ， ，当 时， ，从而 时， ，故 时， .当 时，有 ， .当 时， ， .五提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习 27 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在 R 上的奇函数，它的最小正周期为 T，则f（ ）的值为A.0 B. C.T D. 2.（2004 天津）定义在 R 上的函数 f（x）既是偶函数又是
12、周期函数.若 f（x）的最小正周期是 ，且当 x0， 时，f（x）=sinx ，则 f（ ）的值为A. B. C. D. 【填空题】3.设 是定义在 上，以 2 为周期的周期函数，且 为偶函数，在区间 2，3上， = ,则 = 4.已知函数 f(x)是偶函数，且等式 f(4+x)f(4-x)，对一切实数 x 成立，写出 f(x)的一个最小正周 5.对任意 xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且 f(0)=6,f(4)=3,则 f(69)= 6.设 f(x)定义在 R 上的偶函数，且 ，又当 x(0，3时，f(x)=2x，则 f(2007)= 。答案提示：1、A；由 f（ ）=f（ +T）
13、=f（ ）=f（ ） ，知 f（ ）=0.（或取特殊函数 f（x）=sinx）2、D； f（ ）=f（ 2）=f（ ）=f （ ）=sin = .3、 ; 4、8；5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是 6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -66、 ，周期 T=6， F(2007)=f(3)=6【解答题】7.设函数 f(x)的最小正周期为 2002，并且 f(1001+x)=f(1001x) 对一切 xR 均成立，试讨论
14、f(x)的奇偶性.解: 周期是 2002, f(2002+x)=f(x),又由 f(1001+x)=f(1001x)得 f(2002-x)=f(x) 对任意的 x 都有 f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数.8.设 f(x)为定义在实数集上周期为 2 的函数，且为偶函数，已知 x2,3时 f(x)=x，求 x-2,0时 f(x)的解析式。分析：由 T=2 可得 x-2,-1 和 x0,1时的解析式；再由奇偶性可得 -1，0上的解析式。解：因为函数 f(x)是 T=2 的周期函数，所以 f(x+2)=f(x).又由于 f(x)为偶函数，故 所以解析式为 9.设 f(x)是定
15、义在（- ，+ ）上的函数，对一切 xR 均有 f(x)+f(x+2)=0，当-1x1 时，f(x)=2x-1，求当 1x3时，函数 f(x)的解析式。思路分析： f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2) 该式对一切 xR 成立， 以 x-2 代 x 得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)当 1x3 时，-1x-21， f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 f(x)=-f(x-2)=-2x+5， f(x)=-2x+5（1x 3）评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。10.（200
16、5 广东）设函数 在 上满足 ， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有 f(1)=f(3)=0。（）试判断函数 y=f(x)的奇偶性；（ ）试求方程 f(x)=0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解：由 得 即 由已知易得 ，所以 ，而 ，从而 且 故函数 是非奇非偶函数;(II)由 ,从而知函数 的周期为 当 时， ，由已知 ，又 ，则 当 时，只有 方程 =0 在一个周期内只有两个解而函数 在闭区间-2005，2005共含有 401 个周期，所以方程 =0 在闭区间 -2005，2005共含有 802 个解【探索题】对于 k Z，用 Ik 表示区间(
17、2k-1，2k+1 。已知xIk 时，f(x) (x-2k)2，(1)当 k N*时,求集合 Mka使方程 f(x)ax 在 Ik 上有两个不相等的实根的 a 的值 (2)并讨论 f(x)的周期性。解：yf(x)图像就是将 yx2(x（-1，1 ）向右平移 2k 个单位所得，其中 kN设 y1f(x),y2ax ，由集合 Mk 可知，若 aM ，则函数y1f(x)与 y2ax 图像有 两个交点，即当 x2k+1 时，0y210a Mka 0a ，kN ，即 Mk(0， 对任意 ，所以 f(x)是 2 为周期的周期函数。思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；周期性的的讨论注要是看你
18、运用定义的意识和能力函数 f(x) (x)最小正周期的求法若 f(x)和 (x)是三角函数，求 f(x) (x)的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：一、定义法例 1 求函数 ysin xcos x的最小正周期.解: sin xcos x)(fsin xcos xcos( x )sin( x )22sin( x )cos( x ) (f对定义域内的每一个 x，当 x 增加到 x 时，函数值重复出现，因此函数的最小正2周期是 .2二、公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为 T ，正余切函数 T |2
19、|例 2 求函数 ycot xtan x 的最小正周期.解： y 2tan1tan2xx2cottan12 T 2三、最小公倍数法设 f(x)与 (x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数， T1、 T2分别是它们的周期，且 T1 T2，则 f(x) (x)的最小正周期 T1、 T2的最小公倍数，分数的最小公倍数分 母 的 最 大 公 约 数分 子 的 最 小 公 倍 数21,例 3 求函数 ysin3 xcos5 x 的最小正周期.解：设 sin3x、cos5 x 的最小正周期分别为 T1、 T2，则 ，所以52,31Tysin3 xcos5 x 的最小正周期 T2 12 .例 4 求 ys
20、in3 xtan 的最小正周期.5解：sin3 x 与 tan 的最小正周期是 与 ，其最小公倍数是 10 .3510 ysin3 xtan 的最小正周期是 10 .2四、图象法例 5 求 ysin x的最小正周期.解：由 ysin x的图象：可知 ysin x的周期 T . 通 俗 定 义周 期 函 数对 于 函 数 y=f（ x） ， 如 果 存 在 一 个 不 为 零 的 常 数 T， 使 得 当 x 取 定 义 域 内的 每 一 个 值 时 ， f（ x+T） =f（ x） 都 成 立 ， 那 么 就 把 函 数 y=f（ x） 叫 做 周期 函 数 ， 不 为 零 的 常 数 T 叫
21、 做 这 个 函 数 的 周 期 。 严 格 定 义设 f(x)是 定 义 在 数 集 M 上 的 函 数 ， 如 果 存 在 非 零 常 数 T 具 有 性 质 ； （ 1） 对 有 （ XT） ； （ 2） 对 有 f（ X+T） =f（ X） 则 称 f（ X） 是 数 集 M 上 的 周 期 函 数 ， 常 数 T 称 为 f（ X） 的 一 个 周 期 。如 果 在 所 有 正 周 期 中 有 一 个 最 小 的 ， 则 称 它 是 函 数 f（ X） 的 最 小 正 周 期 。 由 定 义 可 得 ： 周 期 函 数 f（ X） 的 周 期 T 是 与 X 无 关 的 非 零 常
22、数 ， 且 周期 函 数 不 一 定 有 最 小 正 周 期 。 编 辑 本 段 周 期 函 数 性 质（ 1） 若 T（ 0） 是 f(X)的 周 期 ， 则 -T 也 是 f(X)的 周 期 。 （ 2） 若 T（ 0） 是 f(X)的 周 期 ， 则 nT（ n 为 任 意 非 零 整 数 ） 也 是f(X)的 周 期 。 （ 3） 若 T1 与 T2 都 是 f(X)的 周 期 ， 则 T1T2 也 是 f(X)的 周 期 。 （ 4） 若 f(X)有 最 小 正 周 期 T*， 那 么 f(X)的 任 何 正 周 期 T 一 定 是 T*的正 整 数 倍 。 （ 5） T*是 f(X
23、)的 最 小 正 周 期 ， 且 T1、 T2 分 别 是 f(X)的 两 个 周 期 ， 则 （ Q 是 有 理 数 集 ） （ 6） 若 T1、 T2 是 f(X)的 两 个 周 期 ， 且 T1/T2 是 无 理 数 ， 则 f(X)不 存在 最 小 正 周 期 。 （ 7） 周 期 函 数 f(X)的 定 义 域 M 必 定 是 双 方 无 界 的 集 合 。 编 辑 本 段 周 期 函 数 的 判 定定 理 1若 f(X)是 在 集 M 上 以 T*为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数 则 K f(X)+C（ K 0） 和 1/ f(X)分 别 是 集 M 和 集 X/ f(X
24、) 0， X 上 的 以 T*为 最小 正 周 期 的 周 期 函 数 。 1 证 ： T*是 f(X)的 周 期 ， 对 有 XT* 且 f(X+T*)= f(X)， K f(X)+C=K f(X+T*)+C， K f(X)+C 也 是 M 上 以 T*为 周 期 的 周 期 函 数 。 假 设 T* 不 是 Kf(X)+C 的 最 小 正 周 期 ， 则 必 存 在 T（ 0 T T*）是 K f(X)+C 的 周 期 ， 则 对 ， 有 K f(X+T)+C=K f(X) +C Kf(X+T)- f(X)=0， K 0， f(X+T)- f(X)=0， f(X+T)= f(X)， T是
25、f(X)的 周 期 ， 与 T*是 f(X)的 最 小 正 周 期 矛 盾 ， T*也 是 K f(X)+C 的 最 小 正 周 期 。 同 理 可 证 1/ f(X)是 集 X/ f(X) 0， X 上 的 以 T*为 最 小 正 周 期 的周 期 函 数 。 定 理 2若 f(X)是 集 M 上 以 T*为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数 ， 则 f(aX+n)是 集 X/aX+ n 上 的 以 T*/ 为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数 ， （ 其 中 a、 b 为 常 数 ）。 证 ： 先 证 是 f(ax+b)的 周 期 T*是 f(X)的 周 期 ， ， 有 XT*
26、 M， a（ X ） +b=ax+b T* M， 且 fa（ X+ T ） +b=f（ ax+bT*） =f（ ax+b） 是 f（ ax+b）的 周 期 。 再 证 是 f（ ax+b） 的 最 小 正 周 期 假 设 存 在 T（ 0 T ） 是 f（ ax+b） 的 周 期 ， 则 f（ a（ x+T） +b） =f（ ax+b） ， 即 f（ ax+b+aT） =f（ ax+b） ， 因 当 X 取 遍 X/X M,ax+b M 的 各 数 时 ,ax+b 就 取 遍 M 所 有 的 各 数 ， aT是 f(X)的 周 期 ， 但 =T*这 与 T*是 f(X)的 最 小 正 周 期
27、矛 盾 。 定 理 3设 f(u)是 定 义 在 集 M 上 的 函 数 u=g（ x） 是 集 M1 上 的 周 期 函 数 ， 且 当X M1 时 ， g(x) M， 则 复 合 函 数 f(g(x)是 M1 上 的 周 期 函 数 。 证 ： 设 T 是 u=g(x)的 周 期 ， 则 1 有 （ xT） M1 且 g（ x+T） =g(x) f(g(x+T)=f(g(x) =f(g(x)是 M1 上 的 周 期 函 数 。 例 1 设 =f(u)=u2 是 非 周 期 函 数 ， u= g(X)=cosx 是 实 数 集 R 上 的 周 期 函 数 ，则 f(g(x)=cos2x 是
28、R 上 的 周 期 函 数 。 同 理 可 得 ： （ 1） f(X)=Sin(cosx)， （ 2） f(X)=Sin(tgx)， （ 3） f(X)=Sin2x， （ 4） f(n)=Log2Sinx(sinx 0)也 都 是 周 期 函 数 。 例 2 f(n)=Sinn 是 周 期 函 数 ， n=g(x)=ax+b(a 0)是 非 周 期 函 数 ， f(g(x)=Sin(ax+b)是 周 期 函 数 （ 中 学 数 学 中 已 证 ） 。 例 3 f(n)=cosn 是 周 期 函 数 ， n=g(x)= （ 非 周 期 函 数 ） 而 f(g(x)=cos 是非 周 期 函 数
29、。 证 ： 假 设 cos 是 周 期 函 数 ， 则 存 在 T 0 使 cos （ k Z） 与 定 义 中T 是 与 X 无 关 的 常 数 矛 盾 ， cos 不 是 周 期 函 数 。 由 例 2、 例 3 说 明 ， 若 f(u)是 周 期 函 数 ， u= g(X)是 非 周 期 函 数 ， 这 时f(g(x)可 能 是 ， 也 可 能 不 是 周 期 函 数 。 定 理 4设 f1(X)、 f2(X)都 是 集 合 M 上 的 周 期 函 数 ， T1、 T2 分 别 是 它 们 的 周 期 ，若 T1/T2 Q 则 它 们 的 和 差 与 积 也 是 M 上 的 周 期 函
30、数 ， T1 与 T2 的 公 倍 数为 它 们 的 周 期 。 证 ： 设 （ (pq)=1） 设 T=T1q=T2p 则 有 ： 有 （ xT） =（ xT1q）=（ xT2p） M， 且 f1(x+T) f2（ x+T） = f1(x+T1q) f2（ x+T2p） = f1(X)f2(X) f1(X) f2(X)是 以 T1 和 T2 的 公 倍 数 T 为 周 期 的 周 期 函数 。 同 理 可 证 ： f1(X) 、 f2(X)是 以 T 为 周 期 的 周 期 函 数 。 定 理 4 推 论设 f1(X) 、 f2(X)fn(X) 是 集 M 上 的 有 限 个 周 期 函 数
31、T1、 T2Tn 分 别 是 它 们 的 周 期 ， 若 ， （ 或 T1， T2Tn 中 任 意 两个 之 比 ） 都 是 有 理 数 ， 则 此 n 个 函 数 之 和 、 差 、 积 也 是 M 上 的 周 期 函 数 。 例 4 f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x 是 以 2 、 、 /2 的 最 小 公 倍 数 2 为周 期 的 周 期 函 数 。 例 5 讨 论 f(X)= 的 周 期 性 解 ： 2tg3 是 以 T1= 为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数 。 5tg 是 以 T2 为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数 。 tg2 是 以 T3= 为 最
32、小 正 周 期 的 周 期 函 数 。 又 都 是 有 理 数 f(X)是 以 T1、 T2、 T3 最 小 公 倍 数 （ T1、 T2、 T3） = 为 最 小 正 周 期 的周 期 函 数 。 同 理 可 证 ： （ 1） f(X)=cos ; (2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。 是 周 期 函 数 。 定 理 5设 f1(x)=sin a1x， f2(x)=cosa2x， 则 f1(x)与 f2(x)之 和 、 差 、 积 是周 期 函 数 的 充 要 条 件 是 a1/a2 Q。 证 先 证 充 分 性 ： 若 a1/a2 Q， 设 T
33、1、 T2 分 别 为 f1(x)与 f2(x)的 最 小 正 周 期 ， 则 T1= 、 T2= ， 又 Q 由 定 理 4 可 得 f1(x)与 f2(x)之 和 、 差 、 积 是 周 期 函 数 。 再 证 必 要 性 （ 仅 就 f1(x)与 f2(x)的 差 和 积 加 以 证 明 ） 。 （ 1） 设 sina1x-cosa2x 为 周 期 函 数 ， 则 必 存 在 常 数 T 0， 使 sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。 令 x= 得 2cos（ a1x+ ）
34、 ， 则 （ K Z） 。 (2) 或 C Z（ 3） 又 在 （ 1） 中 令 2sin（ a2x+ ） sin =-2sin =0 由 (4) 由 sin （ 5） 由 上 述 （ 2） 与 （ 3） ， （ 4） 与 （ 5） 都 分 别 至 少 有 一 个 成 立 。 由 （ 3） 、 （ 5 得 ） （ 6） 无 论 （ 2） 、 （ 4） 、 （ 6） 中 那 一 式 成 立 都 有 a1/a2 。 （ 2） 设 sinaxcosa2x 为 周 期 函 数 ， 则 是 周 期 函 数 。 编 辑 本 段 非 周 期 函 数 的 判 定1（ 1） 若 f(X)的 定 义 域 有 界
35、例 ： f(X)=cosx（ 10） 不 是 周 期 函 数 。 （ 2） 根 据 定 义 讨 论 函 数 的 周 期 性 可 知 非 零 实 数 T 在 关 系 式 f(X+T)= f(X)中 是 与 X 无 关 的 ， 故 讨 论 时 可 通 过 解 关 于 T 的 方 程 f(X+T)- f(X)=0，若 能 解 出 与 X 无 关 的 非 零 常 数 T 便 可 断 定 函 数 f(X)是 周 期 函 数 ， 若 这 样 的T 不 存 在 则 f(X)为 非 周 期 函 数 。 例 ： f(X)=cos 是 非 周 期 函 数 。 （ 3） 一 般 用 反 证 法 证 明 。 （ 若
36、f(X)是 周 期 函 数 ， 推 出 矛 盾 ， 从 而 得 出f(X)是 非 周 期 函 数 ） 。 例 ： 证 f(X)=ax+b(a 0)是 非 周 期 函 数 。 证 ： 假 设 f(X)=ax+b 是 周 期 函 数 ， 则 存 在 T（ 0） ， 使 对 ， a（ x+T） +b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又 a 0， T=0 与 T 0 矛 盾 ， f(X)是 非 周 期 函 数 。 例 ： 证 f(X)= 是 非 周 期 函 数 。 证 ： 假 设 f(X)是 周 期 函 数 ， 则 必 存 在 T（ 0） 对 ， 有 (x+T)= f(X)，当 x=0 时
37、， f(X)=0， 但 x+T 0, f(x+T)=1， f(x+T) f(X)与 f(x+T)= f(X)矛 盾 ， f(X)是 非 周 期 函 数 。 例 ： 证 f(X)=sinx2 是 非 周 期 函 数 证 ： 若 f(X)= sinx2 是 周 期 函 数 ， 则 存 在 T（ 0） ， 使 对 ， 有sin(x+T)2=sinx2， 取 x=0 有 sinT2=sin0=0， T2=K （ K Z） ， 又 取 X= T 有 sin( T+T)2=sin（ T） 2=sin2k =0， ( +1)2 T2=L (L Z+)， 与 3+2 是 无 理 数 矛 盾 ， f(X)=sinx2 是 非 周 期 函 数 。
