1、寒假专题八分情况讨论 【本讲教育信息】一. 教学 内容：寒假专题分情况讨论二、教学要求1、巩固有理数的几种分类方法，加法及乘法法则，深入理解相反数、乘方、绝对值的概念，知道几何图形的分类及角的分类方法；2、树立分类意识，能够从问题环境中抓住分类的对象，并能根据对象的特点找出科学合理的分类标准；3、能够在实际背景中理解各数量关系及 变化规律，合理分情况讨论；发展应用数学知识解决问题的意识和能力，进一步加深对相关数学知识的理解；认识数学知识之间的联系。三、重点、难点重点：1、巩固基本概念与法则；2、从问题情景中抓住分类的对象并找出正确的分类标准；3、能够逐类讨论并概括归纳。难点：1、确定分 类对象
2、及标准2、正确、全面地讨论、归纳四、课堂教学（一）知识要点1、基本概念的讨论在本学期的学习中，我们接触了许多的新概念及概念之间的关系，如整式分为单项式与多项式、等式分为方程、恒等式与矛盾式，几何图形分为平面图形与立体图形，角按角度分为零角、锐角、直角、钝角、平角、优角、周角。以上 这些都是对一个较大的概念按一定 的标准进行分类，而我们往往通过对其中每一小类的讨论，掌握其性质，从而对大概念这一整体进行把握。我们所接触的事物往往不是单一的，一成不变的，因此需要我们能够分清它的不同情况，逐一讨论，通过概括总结解决问题。（1）有理数的分类有理数按不同的目的标 准有不同的分类方法，我们常见的两种是：注意
3、：确定统一的分类标准，按照标准分类要做到既不重复又不遗漏。我们对有理数的相反数、绝对值及倒数的讨论往往建立在有理数分类的基础上。（2）相反数、绝对值、倒数（A）相反数数 a的相反数表示为 a， 不一定是负数。对于 a的符号的确定需要分类讨论。0a（B）绝对值数 a的绝对值表示为 a，对于 的化简要有具体分类讨论的思想，把可能出现的情况都想到，做到解题准确。一般是对绝对值里面的式子按正数、负数、0 进行分类，确定为哪一类，再根据其性质讨论。 a0如： a100（C）倒数数 a的倒数表示为 a1， 与 的符号相同，即 01a 对于一个数的倒数大小的讨论有四种情况： 1时， 10 a时， 时， 1时
4、， 0a2、加法与乘法的法则加法法则：（1）同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加。 （2）异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数和为 0。 （3）0 和任何一个有 理数相加，仍得这个有理数。乘法法则：同号两个数相乘得正，异号两个数相乘得负，并把绝对值相乘，任何有理数和 0相乘都得 0。加法与乘法法则都要对进行运算的两个数分类讨论，对每类的运算结果进行规定，进行计算时首先要确定进行运算的两个数属于哪一类，特别地，除法与减法可以转化为乘法和加法进行。在2、3、4、5 这四个数中求任何两个数相乘，所得的积中最大的。共有23、2
5、4、2（5） 、34、3（5） 、4（5）六种情况，积最大的值为正数，因此必为同号相乘，只有2（5） 、34 两种情 况，可知最大的积是3412。通过分析几种情况利用法则可准确判断结果，而不出现漏掉最大值的现象。3、比较大小对于一些没有具体数值而比较大小的问题，需要分情况讨论其结果。如 ta与 比较， 0时， at t时， 时， tba，则 与 比较。 a、 b都有三种情况：正数、0、负数，分别讨论。 0a时有三种可能， 0b，此时 ba 时有三种可能， ，此时 0a时不可能，因为最小的绝对值为 0。综合 b，当 0a时， b；当 a时 b。4、 n个naaa有两种情况，nn是 正 奇 数是
6、正 偶 数如化简 1 是 正 奇 数 为 正 整 数 时是 正 偶 数 ， 特 别 注 意 当 n。,4nm为偶数， 2,n为奇数，如 12n另外，由于 为正偶数时， na则可知，互为相反数的偶数次幂相等，则偶数次幂为一个正数的数有两个，如 25a，则 。由乘法法则可知，任何数的偶次幂都为正数。5、应用题在现实生活中存在一些问题需要分不同情况讨论，总结结论。如某出租车收费标准是 4千米以内为 10元，超过 4千米不足 20千米时，每千米 1.2元；超过 20千米后，每千米 1.8元。甲乘坐出租车走了 s千米，则应付多少车费？其中没有给出 s在哪一范围内。这段路有三种情况。因此，要对 s分情况讨
7、论。分4s、 20和 三种情况讨论。 时，收费 10元； s在 420 千米时，收费（101.2（ 4） ）元；时，收费（101.2161.8（ s20） ） 元。6、几何方面在几何中分情况讨论的问题也相当 普遍，同学们往往看不到分类的必要性。如过平面上三点，两两画一条直线，可有几条直线。分两种情况：三点在一条直线上，则可画一条直线；三点不在一条直线上，则可以画三条直线。一个钝角减去一个锐角是什么角，有三种情况。钝角，如 17020150直角，1001090锐角，1206060【典型例题】例 1：在直线 AB上取点 C，已知 AB8，BC2，求 AC。分析：作图是其中的关键。C 点在直线 AB
8、上，但是 C点是否取在 A、B 之间没有确定，要分情况讨论。例 2：已知 ba,互为相反数， dc,互为倒数， 2x，求 xcdba205204的值。分析： 2,1,0x，则 ，分两种情况：例 3： a表示有理数，那么 a一定小于 3吗？分析： 是有理数，有三种可能：正数、 0、负数。对三种情况分别讨论。例 4：比较 ba与 的大小。分析： a与 b都为正数，由加法法则，可知 ba比 和 都大。化简 ba，要判断 符号。由加法法则可知，有 5种情况： ,同号；异号且负数绝对值较大； ,异号且正数绝对值较大； ba,互为相反数； ba中一数为 0。例 5：已知 4条线段，长度分别是 5、6、11
9、、16，任取三条可组成几个三角形。分析：如图三角形 ABC，线段 BC是 B到 C的连线，ABAC 为 B到 C的折线，由两点之间线段最短可知，ABACBC。则以上四个数据中任取三个也应满足这个关系。小结：（一）能够确定树立分类的意识，分类时统一分类标准；（二）按分类标准做到既不重复又不遗漏；（三）逐步讨论完全；（四）善于总结概括结论。【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）一、填空1、将下列各数填入相应的括号内。 ,3125,.097,62.,5正数集合 负整数集合 整数集合 有理数集合 2、已知 03x， 204y，则 yx的最大值为 。3、若 a，则 a（填、或） 。5、若 ,，且 ，那么
10、 ba 0（填或） 。6、若 ，则 （填或）7、化简 n1 8、 a，则 0。9、三条直线两两相交有 个交点。10、 0b的倒数是 ，相反数是 绝对值是 。二、选择1、两个数的积是负数，则（ ）A. 两个数都是负数 B. 一个数是负数，一个数是正数C. 至少有一个数是负数 D. A 或 B2、如果有理数 ba,的倒数的绝对值分别是 3和 2，那么 ba的值是（ ）A. 是 65 B. 65 C. 是 65 D. 61或 53、两个数的积是零，下列判断中正确的是（ ）A. 两个数都是零 B. 其中只有一个数是零 C. 至少有一个数是零 D. 一个数不小于零，另一个数不大于零4、若 n为正整数，那么 ann1的结果是（ ）A. 0 B. a2 C. 2 D. 2或 a三、化简1、 a 2、 x
