1、3.2.3 直线与平面所成的角一、选择题1如果 BC平面 M，斜线 AB 与平面 M 所成的角为 ，ABC ，AA 平面 M，垂足为A，A BC ，那么( )Acos cos cos Bsin sin sin Ccos cos cos Dcos cos cos 2如果APBBPC CPA60，则 PA 与平面 PBC 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.12 2626 63 333平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的 2 倍，则斜线与平面所成角的大小为( )A30 B60 C45 D1204如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，A 1B
2、1 上的点，若B 1MN90，则PMN 的大小是( )A等于 90B小于 90C大于 90D不确定5若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于( )A30 B60 C150 D以上均错6如果一个平面与一个正方体的 12 条棱所在的直线都成相等的角，记作 ，那么 sin 的值为( )A. B. C. D122 33 55题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7平面 外两点 A，B 到平面 的距离分别为 1 和 2，AB 在 上的射影长为 ，则直线 AB 和平面3 所成的角为_8正方形 ABCD 的边长为 a，PA平面 ABCD，PA a，则
3、直线 PB 与平面 PAC 所成的角为_9在正三棱柱 ABCA1B1C1 中侧棱长为 ，底面边长为 1，则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角是2_. 三、解答题10.如图所示，在直三棱柱 ABOABO 中，OO4，OA4，OB 3，AOB90，D 是线段 AB的中点，P 是侧棱 BB上的一点，若 OPBD，求 OP 与底面 AOB 所成角的正切值11.如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 ABBC2AD，AS平面ABCD， ADBC ，AB BC，且 ASAB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦值能力提升12已知 AB 为平面 的一条斜线， B 为斜足，AO，O 为垂足，B
4、C 为 内的一条直线，AB 与平面 所成的角为 ，OBC ，求ABC.4 413如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB AA1，点 D 是 A1B1 的中点，点 E 在 A1C1 上，2且 DEAE.(1)证明：平面 ADE平面 ACC1A1；(2)求直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值32.3 直线与平面的夹角作业设计1A2D如图，设 A 在平面 BPC 内的射影为 O.APBAPC.点 O 在BPC 的角平分线上，OPC30，APO 为 PA 与平面 PBC 所成的角cosAPBcosAPO cosOPC即 cos 60cosAPOcos 30，cosAPO .333B
5、4A A 1B1平面 BCC1B1，A 1B1MN， ( )MP MN MB1 B1P MN 0，MB1 MN B1P MN MPMN，即PMN 90.也可由三垂线定理直接得 MPMN.5B 当直线 l 的方向向量 与平面 的法向量 n 的夹角 n，小于 90时，直线 l 与平面 所成的角与之互余6B 由于两条平行直线和同一平面所成的角相等，则在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，平面 A1BC1满足和十二条棱所在直线成等角，又 B1D平面 A1BC1，垂足为 O，则 O 为A 1BC1 的中心，且B1O B1D，设正方体棱长为 a，则 B1O a，13 33所以 sin .B1OA1B1
6、33730 或 60解析 分 A，B 在 的同侧或异侧两种情形讨论8309.6解析 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，取 AC 的中点 O，OBAC，则 OB平面 ACC1A1，BC 1O 就是 BC1 与平面 AC1 的夹角以 O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，B ，(32，0，0)C1 ， ，(0，12，2) OC1 (0，12，2) .BC1 ( 32，12，2)cos ， OC1 BC1 .(0，12，2)( 32，12，2)14 2 34 14 294332 32 ， ，OC1 BC1 6即 BC1 与平面 ACC1A1 的夹角为 .610解 如图，以
7、 O 点为原点建立空间直角坐标系，则 B(3,0,0)，D .(32，2，4)设 P(3,0，z )，则 ， (3,0，z) BD ( 32，2，4) OP BDOP ， BD OP 4z0，z .92 98P .BB平面 AOB，(3，0，98)POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角tanPOB ，983 38故 OP 与底面 AOB 所成角的正切值为 .3811解 由题设条件知，可建立以 AD 为 x 轴，AB 为 y 轴， AS 为 z 轴的空间直角坐标系(如图所示)设 AB1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D ，S(0,0,1)(12，0，0) (0,0
8、,1)，AS (1，1,1)CS 显然 是底面 ABCD 的法向量，它与已知向量 的夹角 90，AS CS 故有 sin |cos | ，113 33于是 cos .1 sin26312解 如图，过 O 作 OCBC，C 为垂足，连结 AC，由于 AO ，由三垂线定理知 BCAC，在 RtABO 中，ABO ，4AOOB AB，22在 Rt OBC 中， OBC ，4BCOC OB AB AB，22 22 22 12在 RtABC 中，cosABC ，12ABC .313(1)证明 由正三棱柱 ABCA1B1C1 的性质知 AA1平面 A1B1C1.又 DE平面 A1B1C1，所以 DEAA
9、1，而 DEAE，AA 1AEA，所以 DE平面 ACC1A1，又 DE平面 ADE，故平面 ADE平面 ACC1A1.(2)解 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 AA1 ，2则 AB2，A(0，1,0)，B( ，0,0) ，C 1(0,1， )，3 2D .(32， 12，2)易知 ( ，1,0)， (0,2， )， ( ， )AB 3 AC1 2 AD 32 12 2设平面 ABC1 的一个法向量为 n(x，y，z)，则有解得 x y，z y，33 2故可取 n(1 ， ， )3 6所以 cosn， .AD 23103 105由此可知，直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值为 .105高: 考 !试题 库
