1、多目标及离散变量 优化方法简介,在实际问题中，对于大量的工程设计方案要评价其优劣，往往要考虑多个目标。例如，对于车床齿轮变速箱的设计，提出了下列要求：1)各齿轮体积总和f1(x)尽可能小使材料消耗减少，成本降低。2)各传动轴间的中心距总和f2(x)尽可能小，使变速箱结构紧凑。3)齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低，使变速箱运转噪声小。4)传动效率尽可能高，亦即机械损耗率f4(x)尽可能低，以节省能源。,此外，该变速箱设计时需满足轮齿不根切、不干涉等几何约束条件，还需满足轮齿强度等约束条件，以及有关设计变量的非负约束条件等。按照上述要求，可分别建立四个目标函数： f1(x) 、 f2(x) 、
2、 f3(x) 、 f4(x) 。这几个目标函数都要达到最优，且又要满足约束条件，则可归纳为,在多目标优化模型中，还有一类模型，其特点是，在约束条件下，各个目标函数不是同等地被最优化，而是按不同的优先层次先后地进行优化。例如:工厂生产：1号产品，2号产品，3号产品，M号产品。应如何安排生产计划，在避免开工不足的条件下，使工厂获得最大利润，工人加班时间尽量地少。,若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重要性分成以下两个优先层次：第一优先层次工厂获得最大利润第优先层次工人加班时间尽可能地少。那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然后在此基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加班时间的问题就是分层多
3、目标优化问题。,多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最优，如能获得这样的结果，当然是十分理想的。但是，一般比较困难，尤其是各个分目标的优化互相矛盾时更是如此。譬如，机械优化设计中技术性能的要求往往与经济性的要求互相矛盾。所以，解决多目标优化设计问题也是一个复杂的问题。近年来国内外学者虽然作了许多研究，也提出了些解决的方法，但比起单目标优化设计问题来，在理论上和计算方法，都还很不完善，也不够系统。在前述的单目标优化方法的基础上，扼要介绍多目标优化设计问题的一些基本概念、求解思路和处理方法。,从上述有关多目标优化问题的数学模型可见，多目标(向量)优化问题与单目标(标量)优化问题的一个本质的不同点
4、是：多目标优化是一个向量函数的优化，比较向量函数值的大小，要比标量值大小的比较复杂。在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较其优劣，因此是完全有序的。可是对于多目标优化问题，任何两个解不一定都可以比出其优劣，因此只能是个有序的。例如，设计某一产品时，希望对不同要求的A和B为最小。一般说来这种要求是难以完美实现的，因为它们没有确切的意义。除非这些性质靠完全不同的设计变量组来决定，而且全部约束也是各自独立的。,对多目标设计指标而言，任意两个设计方案的优劣一般是难以判别的，这就是多目标优化问题的特点。这样，在单目标优化问题中得到的是最优解，而在多目标优化问题中得到的只是非劣解。而且，非劣解往往不只一
5、个。如何求得能接受的最好非劣解，关键是要选择某种形式的折衷。,所谓非劣解(或称有效解)，是指若有M个目标fl(x0)(i1，2，M)，当要求(M1)个目标值不变坏时，找不到一个x，使得另一个目标函数值f(x)比f(x*)更好，则将此x*作为非劣解。,显然，多目标优化问题只有当求得的解是非劣解时才有意义，劣解是没有意义的，而绝对最优解存在的可能性很小。,多目标优化方法,多目标优化的求解方法甚多，其中最主要的有两大类。一类是直接求出非劣解，然后从中选择较好解。属于这类方法的如合适等约束法等。另一大类是将多目标优化问题求解时作适当的处理。处理的方法可分为两种：一种处理方法是将多目标优化问题重新构造一
6、个函数，即评价函数，从而将多目标(向量)优化问题转变为求评价函数的单目标(标量)优化问题。,另一种是将多目标(向量)优化问题转化为一系列单目标(标量)优化问题来求解。属于这一大类求解的前一种方法有：主要目标法，线性加权和法，理想点法，平方和加权法，分目标乘除法，功效系数法几何平均法，极大极小法等等。属于后一种的有分层序列法等。此外还有其它类型的方法，如协调曲线法等等。,主要目标法,主要目标法的思想是抓住主要目标，兼顾其它要求。求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标，而其它目标只需满足一定要求即可。为此，可将这些目标转化成约束条件。也就是用约束条件的形式来保证其他日标不致太差，这样处理后，就成
7、为单目标优化问题。,设有l个目标函数f1(x)，f2(x)，、fl(x)，其中 ，求解时可从上述多目标函数中选择一个f(x)作为主要目标，则问题变为,统一目标法,统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。,1线性加权和法线性加权和法又称线性组合法，它是处理多目标优化问题常用的较简便的一种方法。这种方法因为有一定理论根据，故已被广泛应用。但这种方法的成功与否，在很大程度上取决于一个确定方向的凸性条件。如果缺乏凸性，这种方法将归于失败。所谓线性加权和法即将多目标函数组成综合目标函
8、数，把一个要最小化的函数F(z)规定为有关性质的联合。,使用这个方法的难处在于如何找到合理的权系数，以反映各个单目标对整个多目标问题中的重要程度。使原多目标优化问题较合理地转化为单目标优化问题，且此单目标优化问题的解又是原多目标优化问题的好的非劣解。权系数的选取反映了对各分目标的不同估价、折衷，故应根据具体情况作具体处理，有时要凭经验、凭估计或统计计算并经试算得出。,2理想点法与平方和加权法。先对各个目标函数分别求出最伏值和相应的最优点。一般所有目标难于同时都达到最优解，即找不到一个最优解使各个目标都能达到各自的最优值。这个理想点，一般是达不到的。但是，若能使各个目标尽可能接近各自的理想值，那
9、么，就可以求出较好的非劣解。根据这个思想，将多目标优化问题转化为求单目标函数(评价函数)的极值。构造出理想点的评价函数为,分层序列法及宽容分层序列法,分层序列法的基本思想是将多目标优化问题式中的J个目标函数分清主次，按其重要程度逐一排除，然后依次对各个目标函数求最优解。不过后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻优。,现在假设f1(x)最重要，f2 (x)其次，f3 (x)再其次，。 首先对第一个目标函数f1(x)求解，得最优值,求f2 (x)最优值时，公式如下：,采用分层序列法，求解过程中可能出现中断现象，使求解过程无法继续进行下去。一般采用宽容分层序列法,离散变量优化问题,约束非线性离散变量的优化方法有：1)以连续变量优化方法为基础的方法，如圆整法，拟离散法；离散型罚函数法。2)离散变量的随机型优化方法，如离散变量随机试验法；随机离散搜索法。3)离散变量搜索优化方法，如启发式组合优化方法、整数梯度法、离散复合型法。4)其它离散变量优化方法如非线性隐枚举法；离散型网格与离散型小交网格法，离散变量的组合型法。上述这些方法的解题能力与数学模型的函数性态和变量多少有很大关系。,
