1、1-2-2-3 排列与组合习题课考点 1 排列组合应用题1、某校为庆祝 2011 年国庆节，安排了一场文艺演出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法：(1)3 个舞蹈节目互不相邻；(2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间分析 由题目可获取以下主要信息：题目中涉及 3 个舞蹈、4 个小品共 7 个节目；是同类节目互不相邻的问题解答本题的第(1)问可以先安排 4 个小品，然后让 3 个舞蹈“插空” ；第(2)问彼此相间时安排方式只能是小品占 1,3,5,7，舞蹈占 2,4,6.故分两步，先安排小品，再安排舞蹈，或先安排舞蹈再安排小品来源:学优高考网 g
2、kstk(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间，故小品只能排在 1,3,5,7位，舞蹈排在 2,4,6 位，安排时可分步进行方法一：先安排 4 个小品节目在 1,3,5,7 位，共 A 种排法；再4安排舞蹈节目在 2,4,6 位，有 A 种排法，故共有 A A 144(种) 排3 4 3法方法二：先安排 3 个舞蹈节目在 2,4,6 位，有 A 种排法；再安3排 4 个小品节目在 1,3,5,7 位，共 A 种排法，故共有4A A 144(种)排法3 42、A、B、C 、D、E 五人站成一排，如果 A、B 必须相邻，且 B 在A 的右边，那么不同排法的种数有( )A60 B48 C36 D24答
3、案 D解析 将 A 与 B 看作一个元素，与其它 3 人排队共有 A24 种排法，A 在 B 的左边只有一种情形选 D.点评 此题中去掉“A 与 B 必须相邻” 的条件时，A 在 B左边与 A 在 B 右边的情形一样多，故有 A 60 种12 5若将“A 与 B 相邻”改为 A 与 B 不相邻，则有排法A A 36 种.12 24 3考点 2 分堆与分配问题1、有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成 1 本、 2 本、3 本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3本；(3)分成每组都是 2 本的三组；来源:学优高考网(
4、4)分给甲、乙、丙三人，每个人 2 本；(5)6 本相同的书放到 4 个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书解析 (1)分三步：先选一本有 C 种选法，再从余下的 5 本中16选两本有 C 种选法；最后余下的三本全选有 C 种选法由分步乘25 3法计数原理知，分配方式共有 C C C 60(种)16 25 3(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)题的基础上，还应考虑再分配问题，因此，分配方式共有 C C C A 360( 种)16 25 3 3来源:学优高考网 gkstk(3)先分三步，则应是 C C C 种方法，但是这里面出现了重26 24 2复，不妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，
5、若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为( AB，CD，EF) ，则C C C 种分法中还有(AB，EF ，CD )、(CD 、AB、EF )、26 24 2(CD、EF， AB)、( EF，CD，AB)、( EF，AB ，CD )共 A 种情况，而3且这 A 种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序不同，因此，只能作为一3种分法，故分配方式有 15(种) 来源:gkstk.ComC26C24C2A3(4)在问题 (3)的基础上再分配即可，共有分配方式A C C C 90(种)C26C24C2A3 3 26 24 2(5)先把 6 本书并成一排，它们之间有 5 个空，在
6、 5 个空中选出3 个空放上“隔板”.6 本书被分成了 4 组，4 组书的本数也恰好对应一种放书的方法共有 C 10(种)352、在例 2 的条件下，求下列情况下有多少种不同的分配方式？(1)2 堆各 1 本，另外一堆 4 本；(2)2 人各 1 本，另外一人 4 本；(3)分给甲、乙、丙三人，每人至少 1 本解析 (1)可一堆一堆地分别取出，即得到 C C C .但在分堆16 15 4过程中，对于各一本的两堆是无区别的，每 A 种分法相当于一种2分法，所以分堆数为 15( 种)C16C15C4A2(2)两人各 1 本，另外一人 4 本，也即在(1)题的基础上再分配给三人，又有 A 种分配方案
7、，所以分配种数为 A 90( 种)3C16C15C4A2 3(3)每人至少 1 本，可以分为三类情况：“2、2、2 型”即例 2(4)中的分配情况，有 C C C 90(种) 方法；来源:学优高考网26 24 2“1、2、3”即例 2(2)中的分配情况，有 C C C A 360(种 )方法16 25 3 3“1、1、4 型” ，有 C A 90(种)方法46 3一共有 9036090540(种)方法3、10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出 4 只，试求出现以下结果时各有多少种情况？(1)4 只鞋子恰成两双；(2)4 只鞋子没有成双的解析 (1)根据题意只需选出两双鞋，所以有
8、C 45( 种)情210况(2)方法一：4 只鞋若没有成双的，则它们来自于 4 双鞋；先从10 双中取 4 双，有 C 种取法，再从每双中取一只，各有 C 种取410 12法，所以由分步乘法计数原理共有C C C C C 3 360( 种) 情况410 12 12 12 12方法二：分以下五类：(1)4 只左鞋，有 C 210(种) 情况；410(2)4 只右鞋，有 C 210(种) 情况；410(3)3 只左鞋，1 只右鞋，有 C C 840(种) 情况；310 17(4)2 只左鞋，2 只右鞋，有 C C 1 260(种) 情况；210 28(5)1 只左鞋，3 只右鞋，与(3) 同也有
9、840 种情况由分类加法计数原理共有 2102108401 2608403 360(种 )情况考点 3 建模求解排列组合问题1、一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，nN*) ，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则 f(m，n)_.解析 从原点 O 出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为 0，则爬到点(m，n)需 m 个 0 和 n 个 1.这样爬行方法总数f(m， n)是 m 个 0 和 n 个 1 的不同排列方法数 m 个 0 和 n 个 1 共占mn 个位置，只要从中选取 m 个放 0 即可f (m，n) C .mm
10、 n2、方程 xyz12 的非负整数解的个数为_答案 91解析 把 x，y，z 分别看作是 x 个 1、y 个 1 和 z 个 1，则共有 12个 1，问题抽象为 12 个 1 和两个十号的一个排列问题由于x、y、z 非负，故允许十号相邻，如 111111111111 表示x4，y0，z8， 111111111111表示 x0，y12，z 0 等等，不同排法总数为从 14 个位置中选取 2 个放十号，方程的非负整数解共有 C91 个填 91 个考点 排列组合综合问题1、方程 xyz12 的非负整数解的个数为_答案 91解析 把 x，y，z 分别看作是 x 个 1、y 个 1 和 z 个 1，则
11、共有 12个 1，问题抽象为 12 个 1 和两个十号的一个排列问题由于x、y、z 非负，故允许十号相邻，如 111111111111 表示x4，y0，z8， 111111111111表示 x0，y12，z 0 等等，不同排法总数为从 14 个位置中选取 2 个放十号，方程的非负整数解共有 C91 个填 91 个解析 方法一：从 0 与 1 两个特殊值考虑，可分为三类：第一类：取 0 不取 1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C 种方法；0 可放在后两位，有 C 种方法；最后需从剩下的三张14 12中任取一张，有 C 种方法；又除含 0 的那张外，其他两张都有正13面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有 C C C 22(个) ；14 12 13第二类：取 1 不取 0，同上分析可得不同的三位数有 C 22A (个) ；24 3第三类：0 和 1 都不取，有不同的三位数 C 23A (个) 34 3综上所述，不同的三位数共有C C C 22C 22A C 23A 432(个) 14 12 13 24 3 34 3方法二：任取三张卡片可以组成不同的三位数 C 23A (个) ，其35 3中 0 在百位的有 C 22A (个)，这是不合题意的，故不同的三位数共24 2有 C 23A C 22A 432(个)35 3 24 2
