1、机械结构分析的有限元法,主讲： 长江大学机械学院周思柱 院长 教授博士生导师国务院特殊津贴专家2006年12月,第一节 绪论 第二节 有限元法的特点 第三节 有限元法分析过程,第一节 绪论,需解决的问题： 1.什么是有限元法。（与材料力学、弹性力学的比较等） 2.方法、步骤。,材料力学、弹性力学解决问题中的困难：机械设计过程中的一般方法：经验法（类比法）校核安全系数造成的结果：有些地方的安全系数过大，而有些还不安全。,发展: 采用数值法有限元法40年代提出有限元法的观点 早期用于飞机上的计算 60年代弹性平面问题 The Finite Element Method (Analysis) 弹性弹
2、塑性，粘弹性静力动力，稳定性固体流体，传热学，电磁学（凡是有场的存在，就可采用有限元法） 与优化、辅助设计（CAD、CAM）结合，IDEAS（大型软件）,发展新单元，网格生成（自动），扩大应用，大型程序微机化 有限元程序：Structural Analysis Program 即 SAP、Super SAPANSYS,预备知识：1.线性代数（矩阵加、减、乘、除、秩、逆、分块等）2.弹性力学,第二节 有限元法的特点,解析法（材料力学、弹性力学）静力几何物理方法转化成偏微分方程求解 数值法 有限差分法：转化微分方程为差分方程。 有限元法：先单元，后整体。（大型线性方程组）,有限元法的优点1.可以解
3、各类复杂问题。2 .矩阵计算，使用计算机。3 .便于掌握。,u1 u21 2,主要过程：单元离散（划分、剖分）单元分析整体分析 一、单元离散 基本单元类型： 一维1.杆单元,第三节 有限元法的分析过程,节点数为2 每个节点自由度为1 用处 ：桁架 共计单元自由度为21,1 (96),u1,v1,v1 2 u2,梁单元,v1u1 1,二维,三角形单元,2 (82),u2,v2,3(1),u3,v3,四边形单元,3,u3,v3,4,u4,v4,4,板单元 (板弯曲),节点数:4 节点由度:3 自由度总数:43,1,2,3,4,W,y x,处理问题对象: 板问题,三棱柱 (四面体单元),处理问题对象
4、: 空间问题,1,2,3,4,u2,w2,v2,六面体 (8节点砖块单元),处理问题对象: 空间问题,2,7,u7,w7,v7,1,3,5,6,8,节点数:4 节点由度: 3 自由度总数:43,节点数:8 节点由度: 3 自由度总数:83,三维,轴对承单元,1,u1,v1,节点数:3 节点自由度:2 自由度总数:32,处理问题对象: 轴对承问题,v2,21,其他类型的单元形状,六（十二）节点三角形单元,节点数:6（12） 节点自由度:2 自由度总数:6（12） 2,处理问题对象: 平面问题,六面体单元 (8 21节点砖块),处理问题对象: 规则方形结构问题,节点数:8-21 节点自由度:3 自
5、由度总数:（8-21）3,1,2,3,4,5,6,八节点 四边形单元,节点数:8 节点自由度:2 自由度总数:82,处理问题对象: 平面问题,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,7,6,8,v1,9,13,17,w2,1,21,节点数:8-21 节点自由度:3 自由度总数:（8-21） 3,8 节点等参元,处理问题对象: 曲面边界问题,8 21节点可变等参元,处理问题对象: 曲线边界问题,节点数:8 节点自由度:2 自由度总数:8 2,等参元,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,13,17,v2,w2,v2,w2,1、在满足计算精度的前提下，划分单元
6、的个数越少越好 2、应力集中区单元划分要密，其他区可以划分的稀一些,怎样划分单元,1 单元的选择 根据结构的形状、载荷分布情况进行选择单元的种类 2 划分单元的个数在划分单元的个数时存在的矛盾 从精度上来讲，划分单元的个数越多越好，但是计算机内存有限从计算复杂程度上来讲，划分单元的个数越少越好,划分单元的原则,二、单元分析 目的：求单元刚度矩阵 求解方法：1、直接法：几何方程物理方程虚功方程求Ke2、变分法：泛函数求极值。3、加权法：微分方程求近似解。,求解过程：1、选择位移模式用节点位移表示单元内的位移,一般形式为： u=0+ 1x+ 2y+ 3x2+ 4xy+ 5y2+,选择多项式位移模式
7、时，应注意保证对称性。即要对称地选取多项式的项数。对于平面问题可利用巴斯卡三角形。,常数项,一次项,二次项,三次项,四次项,对单元1进行分析 取位移模式 u=0+ 1x1点： x=0 u=u12点： x=l1 u=u2,实例分析,划分单元,2、应变分析,3、应力分析,4 、单元刚度方程弹簧模型: F=KS 其中：K-为弹簧刚度S-为净变形量 对应的单元刚度方程:Fe=K eeFe=U1 U2TK e=VBTDBdve=u1 u2T 其中：Fe -为载荷阵列(节点力向量、外力向量)K e -为单元刚度矩阵阵列e -为位移阵列,D -为弹性矩阵(对于一维问题,为E)在二维问题中, 可根据弹性力学确
8、定,各矩阵框图之间的关系:,总刚K: 1 2 3,三、整体刚度距阵分析1、 总刚度矩阵的建立(如何将单元刚度矩阵放进总刚度距阵,2 、整体方程载荷向量: (结构上的外载荷)位移向量:整体方程:,四、计算步骤与例题已知:某种结构,已知尺寸,材料性质、荷载、约束条件（加工图、已知工况）求：应力、应变1、绘模型图（标尺寸、荷载、约束条件、定坐标）2、划分单元。（单元编号、节点编号、准备坐标、确定材料的性质、E、U，确定荷载的作用点、大小、方向，约束的添加） 注意：自己根据力学观点；同时要特别注意刚体位移。3、计算单刚 计算面积A、B、D4、 形成单刚 总荷载列阵,5 边界处理 修改总刚方程 6 解线
9、性方程组 求例:已知:方形物体厚度为单位1,对角为4mm顶点沿对角线方向作用2KN的力, =0.,2KN,2mm,2mm,2KN,4mm,第一步:划分单元网格,y,x,1KN,1,2,3,4,5,6,第二步:单元编号、节点编号表一,单元号,局部号,i,j,m,(1),(2),(3),(4),1,2,3,2,4,5,2,5,3,3,5,6,表二,第三步: 计算单刚阵将b,c代入 公式得:,集合单元1,得 同理有:,第四步：叠加K,第五步：边界处理,荷载阵列:,第六步:求解6个方程组,其中包含有六个数:v1、v2、 u3 、v3 、u5 、u6. 即可求出,根据,可以求出单元应力,最后建立应力(绕节点平均插值)end here!,
