1、1随机整数规划模型（文档2 篇）以下是网友分享的关于随机整数规划模型的资料 2 篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。第 1 篇甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中 X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的专业推广者推广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天2安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为 x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批 20 人） ，其中，有多种组合方案；
2、甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退 a b 批兼职推广员，其余的 b 批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣 2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从-，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到 9 人，如若不行，考虑争取 4 人。5.4 01 型整数规划模型1、 01 型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝
3、定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍） 。在整数规划问题中，01 型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为 0 或1，在实际问题的讨论中，01 型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范3例，以说明这个事实。01 型整数规划的的数学模型为：M i ) n z =c 1x 1+c 2x 2+ +c n x n 目标函数 M a (x约束条件为：a 11x 1+a 12x 2+ a 1n x n (, =) b 1a 21x 1+a 22x 2+ a 2n x n (, =) b 2a m 1x 1+a m 2x 2+
4、 a mn x n (, =) b m x , x , , x =0 | 1n 12这里，0 | 1 表示 0 或 1。2、01 型整数规划模型的解法01 型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量 x 1, x 2, , x n 的每一个 0 或 1 值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。这种方法一般适用于决策变量个数 n 较小的情况，当 n 较大时，由于 n 个 0、1 的可能组合数为 2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也n几乎是不可能的。隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。此时，就只能用穷举法了。3.
5、应用实例4例 1 工程上马的决策问题 1）问题的提出某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。2）模型分析与变量的假设这是工程上马的决策问题，对任一给定的工程而言，它只有两种可能，要么上马，要么不上马，这两种情况分别对应二进制数中的 1、0，大凡这样的实际背景所对应的工程问题，大都可考虑用 01 型整数规划模型建立其相应的模型。0, 第 j 项工程可上马 x j = (j =1, 2, 3, 4, )1, 第 j 项工程不上马设因每一年的投资不超过所能提供的可
6、用资金数 25 千元，故该 01 型整数规划问题的约束条件为：5x 1+4x 2+3x 3+8x 418 x +7x +9x +6x 2212348x 1+10x 2+2x 3+10x 424 x i =0|1, j =1, 2, 3, 4由于期望收益尽可能大，故目标函数为：m ax z =20x 1+40x 2+20x 3+30x 43）模型的建立与求解至此，我们得到该问题的 01 型整数规划模型为：5m ax z =20x 1+40x 2+20x 3+30x 4约束条件为：(1) 5x 1+4x 2+3x 3+8x 418 x +7x +9x +6x 22 (2)1234(3) 8x 1+
7、10x 2+2x 3+10x 424x i =0|1, j =1, 2, 3, 4下面用隐枚举法求其最优解。易知，该 01 型整数规划模型有一可行解（0，0，0，1） ，它对应的目标函数值为：z =30。自然，该模型的最优解所对应的目标函数值应不小于30，于是，我们增加一过滤条件为：20x 1+40x 2+20x 3+30x 430 （4）在此过滤条件（过滤条件可不唯一）下，用隐枚举法求01 型整数规划模型的最优解的步骤为：（1）先判断第一枚举点所对应的目标函数值是否满足过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，再判断该枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将
8、该枚举点所对应的目标函数值z1（本例中，z130）作为新的目标值，并修改过滤条件为：20x 1+40x 2+20x 3+30x 4z 1，再转下一步；(2) 再判断第二枚举点所对应的目标函数值是否满足新的过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，接着判断该6枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将该枚举点所对应的目标函数值 z2（z2 z1）作为新的目标值，并修改过滤条件为： 20x 1+40x 2+20x 3+30x 4z 2，再转下一步；(3) 重复步骤（2） ，直至所有的枚举点均比较结束为止。由隐枚举法的求解步骤，我们可给出该问题的求解过程如下表所示，并
9、得到最优解为：(x 1, x 2, x 3, x 4) (0, 1, 1, 1) ，相应的目标值为 90（千元） 。故应上马的工程为 2 号、3号、4 号工程。注：在该表中，表示满足相应条件，表示不满足相应条件。例 2 工序的流程安排问题 1）问题的提出一条装配线由一系列工作站组成，被装配或制造的产品在装配线上流动的过程中，每站都要完成一道或几道工序，假定一共有六道工序，这些工序按先后次序在各工作站上完成，关于这些工序有如下的数据：另外工艺流程特别要求，在任一给定的工作站上，不管完成哪些工序，可用的总时间不能超过 10 分钟，如何将这些工序分配给各工作站，以使所需的工作站数为最少？2）模型分析
10、与变量的假设下面，我们先讨论工序与工作站的关系，并试图建立起7该问题的 01 型整数规划模型。对任一工序而言，它要么属于工作站 j ，要么不属于工作站 j ，故决策变量可定义为：若工序 i 在工作站 j 上 运 行1x ij =若工序 i 不在工作站 j 上 运 行 0这种定义，使我们能根据最优解中的隶属关系。又因工序 1，2，3 所需的工作时间不超过 10 分钟，故工序 1，2，3 的工作可以在一个工作站上完成，此时，工序4，5，6 只能分别在各自的工作站上工作，该可行解对应的工作站数为 4 个。也就是说，对最优解而言，该装配线上所需的工作站个数不会多于 4 个。因此，我们再定义变量如下：x
11、 ij的值来很快确定工序 i 与工作站 j 之间若在最 优 解 中 需 要 工 作 站 j 1w j =若在最 优 解 中 不 需 要 工 作站 j 0至此，我们得到所需的目标函数为：max z =w 1+w 2+w 3+w 4再考虑该模型的约束条件：（1） 每道工序均隶属于一个工作站，且每一工序都必8须完成，故有以下六个约束：x i 1+x i 2+x i 3+x i 4=1 (i =1, 2, 3, 4, 5, 6)（2）在任一工作站上完成隶属工序所用的时间不能超过10 分钟，故有以下四个约束：3x 1j +5x 2j +2x 3j +6x 4j +8x 5j +3x 6j 10 (j=1
12、, 2, 3, 4)（3）最后，我们再考虑各道工序所受的先后次序约束的条件。先考察工序 2 与工序 3 的关系，因工序 2 在工序 33 隶属于工作站 4，则工序 2 无论属于那个工作站均可；若工序 3 隶属于工作站 3，则工序 2 可属于工作站 1 或 2或 3；此时，变量件为：x 2j (j =1, 2, 3)应满足的约束条x 21+x 22+x 23x 33；同理，若工序 3 隶属于工作站 2 或 1，则变量满足的约束条件为：x 2j (j =1, 2, 3)应x 21+x 22x 32 x 21x 31同理，根据其它工序的优先关系，可仿此法给出其相应的约束条件，由上图知，六个工序之间有
13、五个优先关系，9故这类约束条件共有 15 个。另外，在最优解中，若有一个工作站隶属于该工作站的全部条件：x 1j +x 2j +x 3j +x 4j +x 5j +x 6j 6w j (i =1, 2, 3, 4)w p (p =1, 2, 3, 4)不用（即w p=0） ，则x ip (i =1, 2, 3, 4, 5, 6)必须为 0，于是，有以下四个约束3）模型的建立与求解至此，我们得到了该问题的 01 型整数规划模型，它共包含 28 个变量，29 个约束条件，这样的模型用枚举法求解，人工计算是很难胜任的，这时，只能求助于计算机求解了。我们给出该问题的模型如下，求解的过程望感兴趣的读者自
14、己完成之。该问题的目标函数为：max z =w 1+w 2+w 3+w 4约束条件为：x i 1+x i 2+x i 3+x i 4=1 (i =1, 2, 3, 4, 5, 6)103x 1j +5x 2j +2x 3j +6x 4j +8x 5j +3x 6j 10 (j=1, 2, 3, 4)x 21+x 22+x 23x 33； x 21+x 22x 32； x 21x 31 x 21+x 22+x 23x 53； x 21+x 22x 52； x 21x 51； x 11+x 12+x 13x 43； x 11+x 12x 42； x 11x 41； x 31+x 32+x 33x
15、43； x 31+x 32x 42； x 31x 41；x 41+x 42+x 43x 63； x 41+x 42x 62； x 41x 61；x 1j +x 2j +x 3j +x 4j +x 5j +x 6j 6w j (i =1, 2, 3, 4)max f =w 1+w 2+w 3+w 4+w 5+w 6+w 7+w 8+w 9+w 10ai =1j =110100ij*60010100a(100*1010100iji =1j =1100*101*+500*112ai =1j =1ij100) *0. 5562*108*0. 40i =10j =1100a i 1+a i 2+. +a
16、 i 10010w i (i =1,2.10)第 2 篇第卷第期交通运输工程学报年月12文章编号：一（）一一飞机排班数学规划模型孙宏，杜文（中国民航飞行学院空中交通管理学院，四川广汉西南交通大学交通运输学院，四川成都）摘要：分析了国内航空公司普遍采用的单枢纽线性航线结构以及飞机排班工作流程和要求，研究了描述飞机排班问题的数学模型构造方法，引入“航班节”的概念，将一个具体的飞机排班问题归结为三种典型排班模式中的一种，即基于飞机调度指令要求的排班问题、基于最少需用飞机数的排班问题、基于飞机使用均衡要求的排班问题。应用结果表明平均每架飞机分配的航班任务时间与期望飞行时间的偏差仅为，而且得到飞机排班方
17、案的时间不到，因此此飞机排班模式是解决单枢纽线性航线结构下的飞机排班问题的一种有效方法。13关键词：交通管理；飞机排班；数学模型；航班节；单枢纽线性航线结构中图分类号：文献标识码：，（，；，）：14，（），“”，15，16，：；：（一） ，17，引定一架具体执行的飞机。由于认识到飞机排班工作嗣在航空运输生产中的重要性和复杂性，欧美的许飞机排班是航空公司生产计划中的一项控制性多大型航空公司从世纪年代开始在生产中广工作，其实质就是根据市场部下达的航班计划、每架泛采用专门的飞机调度管理系统来管理这项工作。飞机的技术状况以及飞机调度指令，为每个航班指而在中国，随着各航空公司机队规模的扩大，航班量收稿日
18、期：一基金项目：中国民航科研基金项目（）作者简介：孙宏（一） ，男，河北深县人，中国民航飞行学院副教授，博士，从事航空运行管理研究万 方数据交通运输工程学报牟18的增长，特别是航线网的日益大型化和复杂化，人工排班的落后方式已难以满足运营管理工作的要求，因此实现飞机排班工作的自动化已大势所趋。由于国内外航空公司在生产组织及管理模式上的差异，国外现有的飞机排班管理系统软件不能满足国内航空公司的需求嵋 ，为此本文研究符合国内航空公司运行组织特点的飞机排班数学模型及算法，以实现飞机调度工作自动化。飞机排班问题系统分析飞机排班的原则符合航班计划的要求航班计划中明确规定了每个航班所使用的机型、航班的起飞机
19、场和到达机场、起飞时亥和到达时刻，这就要求分配给每个航班的飞机应与该航班的机型属性一致，且指派给同一架飞机的相邻个航班应符合航站衔接和过站时间衔接要求，即前一航班的到达机场应与后一航班的起飞机场相同，前一航班的到达时刻应在后一航班的起飞时刻之前，且中间的时间间隔不得低于该型号飞机完成一次地面过站作业所需要的最低时间标准。唯一性原则每个航班应当且仅能安排一架飞机执行，每架飞机在同一时段最多只能执行一个航班。19相互匹配原则这主要是指飞机排班应满足飞机调度指令的要求，不得将飞机分配给限制执行的航班。使用均衡要求即每架飞机每天的平均飞行时间和起落次数与根据维修计划确定的期望使用时间和期望使用次数基本
20、一致，以确保维修工作按计划顺利进行。最少需用飞机数要求在运力严重紧张时，飞机排班工作的基本目标就是用最少的飞机承担起尽可能多的航班任务。在以上所涉及的条飞机排班原则中，前条可以理解为“约束条件”，满足这些限制的飞机排班方案称为“可行方案”，而后条则被视为“优化目标”。飞机排班问题可以描述为：在满足前条原则的“可行排班方案”中寻找最优解或满意解，是一个多目标优化问题。飞机排班作业流程飞机排班工作流程见图，基本步骤如下。（）飞机调度员向市场部通报次日每种机型的可用飞机架数，市场部据此下达次日航班计划。万 20方数据通报可用运力机务部：飞机调度市场部：航班计划分析：航班计划分析：飞机排班限制卜一弩机
21、撕维修控制发布：航班计划与运输调度指令生成飞机排班方案估：排案可行、 提交飞机排班计划幽机排班沉程（）分析飞机排班工作要求，包括航班计划、飞机维护计划、调度指令及飞机基本技术状况信息。（）计算每架飞机期望飞行小时及起落次数。 （）制订初始飞机排班方案。21（）评估该方案的优劣，如不满意，首先考虑对排列方案进行技术调整，称之为“战术调整”。（）如果通过战术调整仍不能得到满意结果，则需要与市场部或机务部进行协调，更改航班计划或调度指令，称之为“战略调整”。数学模型的构造航班节的提出目前，国内各航空公司的航班组织方式基本上采用单枢纽线性航线结构，其基本特点如下。（）公司的所有运输生产活动都是围绕一个
22、基地机场，即“枢纽”展开的，每套机组，或每架飞机所执行的第一个航班的起飞站和最后一个航班的到达站均为该基地机场。（）基本的航线都是围绕基地机场的点对点直飞航线，或是其延伸，沿同一条航线的某些航班之问存在一种“天然”的衔接关系，如表中的航班，一构成了以基地广州白云机场（）为起点和终点的航班串，将这样的航班串称为“航班节” 。通过引入航班节概念，将飞机对航班的分配问题转化为飞机对航班节的分配问题，每个航班节均以枢纽机场为起点和终点，并在枢纽机场有固定的起飞和到达时刻，从而使问题的规模和复杂性降低。飞机排班问题的数学规划模型首先定义所有待分配的航班节集合为22，一厂， ，第期孙宏，等：飞机排班数学规
23、划模型表航班节的构成蚰离港到港序号航班号机场时刻机场时刻：23：所有可用于执行航班任务的飞机集合为一。志，）式中：行为航班节总数；为飞机数。对于任一航班节， ，其在枢纽机场的出发时刻为川到达时刻为其在枢纽机场的基准过站时间为，且该航班节中所包含的起落次数为。定义匹配性函数风以描述飞机调度指令对飞机与航班节之间分配的限制（飞机。与航班节，间相匹配）一（否则）决策变量：为。（飞机只在执行完航班节， 。后执行航班节， ）。【（否则）完成所有航班任务所使用的飞机数腑为月抖胁一24磁 ，酬则“最少需用飞机数”排班原则可以表述为升胁。 ：，志（）。一一进一步地，定义：。 。 、毛出表示飞机在次日的期望飞行
24、时间和飞行次数，则“飞机使用均衡”排班原则可以表述为，卜卜乙。一。：。一：（乞一坛） （）詈卅卜，据。一 ；（）25根据飞机排班原则“每架飞机在同一时段最多只能执行一个航班”，飞机是在执行了航班节后，最多只能执行个后续航班节歹，即给定参数愚、，变量序列：中最多只能有一个为“真值”，即有，：（凫，）（）同理，对于给定的参数是、，变量序列；中最多只能有一个为“真值”，即；（是，）（）！类似地，根据飞机排班原则“每个航班必须且万 方数据仅能安排一架飞机”可知：对于任意航班节，总有且只能有一个变量：取“真值”，即有：一（）26（）女一，根据飞机排班原则“飞机与所分配的航班节应相匹配”可知：能够分配飞机
25、忌执行航班节的前提是飞机是与航班节相互匹配，即屈，因此有，：风（忌，） （）最后，由于分配给任意飞机尼的相邻个航班节、必须满足过站时间间隔要求，因此有，：（。丁）；（志，）（）这样，综合式（）式（）即可得到飞机对航班节分配问题的数学模型，其中式（）式（）分别为目标函数，式（）式（）为约束条件。模型解的讨论非线性目标函数的处理虽然可以对非线性目标函数进行线性化处理口 ，但是将额外增加大量的辅助变量和约束方程，而27且最终还是要面临求解。一整数规划问题。多目标的处理多目标问题的求解有种基本方式：一是当某一目标存在好的算法时，再追加另一目标；另一方法是通过构造评估函数，或是通过对目标函数的加权组合，
26、将多目标问题转化为单目标求解。但是对于飞机排班问题，使用上述方法却面临着许多困难：首先，每个目标函数都是非线性的，任何一个单目标的飞机排班问题都是的，不存在好的算法；其次，在实际生产作业过程中，根据具体的生产环境和需求的不同，每个优化目标的重要性是变化的，而且在许多情况下难以用合适的加权因子描述。问题的规模考虑一个拥有架飞机队，每日待分配的航班节为个的飞机排班问题，直接求解上述。一规划模型需涉及 一个决策变量，28个约束方程，即使对于一个单目标问题的求解，其计算量也是非常庞大的，这意味着采用精确算法的时间代价会非常高；而且其实用价值也不大，因为从生产应用的角度来看，飞机排班时有许多需要考虑的因
27、素是无法在数学模型中准确描述的，需要依靠飞机调度员根据工作经验加以“人工处理”，因此在实际工作中飞机调度员真正希望的是飞机调度系统软件能在较短时间内得出一个能基本符合要求的较好的可行调度预案。交通运输工程学报年算法的设计进一步地，将一个具体的飞机排班问题，归结为种典型排班模式中的一种，即：基于飞机调度指令要求的排班问题、基于最少需用飞机数的排班问题、基于飞机使用均衡要求的排班问题，对于每种典型的飞机排班模式，在对次要的约束条件进行简化、松弛的基础上，构造出相应的能够满足工程应用要求的启发式算法。对于基于飞机调度指令要求的排班问题，其实质是寻找一种满足飞机与所分配航班节间匹配限制的可行的飞机调度
28、方案，因此通过对式（）式（）29进行简化可以建立一种基于分阶段指派的启发式算法口；对于基于最少需用飞机数的排班问题，最终可以转化为对应求需用飞机数最少的航班节编组问题，并通过构造描述航班节间衔接关系的网络流模型加以解决。对于基于飞机使用均衡要求的排班问题，可以对飞机与航班节间的匹配约束，即式（）做松弛处理，并将原问题转化为“寻找一个使评估函数最小的航班节编组方案问题，并根据每架飞机均衡使用的要求构造评估函数” ，其基本思想如下。（）根据航班节间的过站时间衔接关系以及可用飞机数，构造一个描述航班节间衔接关系的航班节衔接网络，见图。图航班节衔接网络模型“（）基于飞机使用均衡要求的排班问题转化为寻找
29、一个使评估函数值最小的航班节编组方案问题。（）对于任一给定的航班节编组方案，存在一个航班节编组与可用飞机间的最优指派，且该最优指派可以通过解一个二部图的最小权最大匹配得到，利用对应于最优指派的总费用权值作为评估函数。30（）利用模拟退火算法搜寻使评估函数值最小的航班节编组方案（即图的有向路分解方案） 。为检验算法的计算效率，研究中分别针对架飞万 方数据机对个航班节（算例） ，架飞机对个航班节（算例） ，以及架飞机对个航班节（算例）的飞机排班问题进行仿真试验，结果见表。为便于对比，对每种情况均进行连续次的仿真计算，各项对比指标均为连续次计算结果的平均值，其中瓢表示平均每架飞机的期望飞行时间与实际分配的飞行任务时间的偏差，该值为。表示达到最优解。裹计算结果平均运算平均迭代取得最优解算例！时间次数的比例算例算例算侧
