1、 2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 （ 选拔赛） 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用 处 和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填
2、写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名）： 山东大学（威海） 参赛队员 (打印并 签名 ) : 1. 2. 3. 指导教师或 指导教师 组负责人 (打印并 签名 )： 日期： 2012 年 7 月 6 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 队员信息表 学号 姓名 所属院 专业 年级 电话 指导教师 是否有笔记本 数学与统计学院 数学与统计学院 数学与统计学院 2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 （ 选拔赛 ） 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评
3、 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 家庭经济困难认定和困难补助分配 摘要 贫困生 认定 具有非常 重要的意义，困难补助能够有效的资助贫困大学生完成学业。但目前 贫困生认定的方法主要集中在定性判断，缺乏定量的计算，从而使得贫困生的等级评定具有一定的争议性。 本文针对问题 现状， 在 使用 层次分析法的基础上 运用 多层次 模糊分析法， 建立了 一个 兼顾定性与定量的贫困 等级 认定 体系 ，从而 使模型具有 客观 、 公正、可操作性 等特点 。 首先，我们用层次分析法建立了 层次分析 模型 。将 影响 贫困等级 认定 的因
4、素 分为家庭 (B1)、个人 (B2)、社会 (B3)和学校 (B4)四个 方面 ， 建立 了 递阶层次结构。 然后 ， 我们用 Delphi 法 构造出各层次中的所有判断矩阵 。最后，我们又分别进行了 层次单排序 、层次总排序以 及一致性检验 。 其中， 通过 Matlab 编程计算， 我们得到 了 准则层四个因素的权重为 0 0.5987 0.2548 0.0938 0.0527 ，一致性比率为 CR=0.0536，通过一致性检验。 鉴于 层次分析法在实际操作时具有很大的主观性， 我们 又建立了多层次模糊综 合评价模型 。 首先 ， 确定因素集 (U)和评语集 (V)， 并 将评语集的等级
5、用 1 分制量化， 通过专家评分 确认 评价等级向量 H 1.0， 0.8， 0.5， 0.3。 对于评判 结果 ， 我们 先根据一级 模糊综合评价 矩阵 D w 和 二级模糊综合评价 矩阵 D 1,2,3,4 ， 得到评价隶属度矩阵 D wD。然后，求出 综合评价值 ， 根据最大隶属度原则， 再 通过比较 M 值的大小， 最后 对所有评定对象进行排序 ，确定最终等级 。 层次分析法 本身具有 定量数据少、 定性成分 多 、 不易令人信服等 缺点。 我们 在文论最后分析了模型的优缺点，并 采用熵权法对模型进行改进。在利用层次分析法所得主观权重值之后，利用公式 1 1 计 算 各评价指标熵值 ，
6、然 后 再利用 1 1 计算 各评价指标的熵权 。 根 据模糊层次分析法 S =wR 得到 熵权模糊综合评判值 S， 通过比较 S 的大小，对所有评定对象进行排序 ， 按照规定的名额限制 确定贫困等级。 最后，我们又使用 C+编程 将评选过程进行 了计算机实现。通过该程序运行，我们可以进行打分， 打分结束后会自动计算出其综合得分情况。 关键词：贫困 认定 体系 层次分析 多层次模糊 评价 熵权法 2 模型操作 我们可以按照以下步骤将模型应用到实际贫困生认定工作中： 1. 使用 Delphi 法 ，在实际情况允许的条件下，征求更多专家的意见， 确定 层次分析法中 更为客观 的 判断矩阵，从而得到
7、更客观 、更公平 的 权重； 2. 在实际贫困认定过程中 ，由评定小组（一般由部分学生和老师组成） 通过 多层次 模糊 数学模型中的方法 对贫困认定参选人进行打分 ； 3. 通过 计算机编程 计算 出每一个学生的综合得分情况，并初步确定“建议评定等级” ，初步 win32 控制台编程代码已经在 本论文 附录三中给出，电子邮件附件中“贫困认定 .exe”即可用作贫困等级认定工作 ； 4. 考虑到学校家庭经济苦难认定政策不同，所以模型应用到不同学校时应该稍做调整，并征询领导的意见 ，但是基本因素不变 ； 5. 最后， 使用 UI 设计用户界面，使评选过程更人性化，评选速度更快。 （ 由于时间限制，
8、 本论文 未 实现 UI 编程设计） 3 目录 家庭经济困难认定和困难补助分配 . 1 摘要 . 1 模型操作 . 2 一 问题重述 . 4 1.1 背景资料与条件 . 4 1.2 需要解决的问题 . 4 二 定义与符号说明 . 4 2.1 定义说明 4 2.2 符号说明 5 三 问题分析 . 6 3.1 问题的重要性分析 . 6 3.2 该问题的研究现状分析 . 6 3.3 问题的思路分析 . 6 3.3.1 层次分析法 (AHP) 6 3.3.2 多层次模糊综合评价模型 . 7 3.3.3 确定权数 . 8 四 模型假设 . 8 五 模型建立与求解 . 8 5.1 层次分析法（ AHP）
9、8 5.1.1 建立递阶层次结构 . 9 5.1.2 构造比较判断矩阵 . 9 5.1.2 层次单排序及一致性检验 . 10 5.1.3 层次总排序及一致性检验 . 11 5.1.4 确定权重及一致性检验 . 12 5.2 建立模糊层次综合评价模型 18 5.2.1 确定因素集（ U）和评语集（ V） . 18 5.2.2 建立模糊评价矩阵并确定权重 20 5.2.3 模糊综合评 价 21 5.2.4 实际评价过程 . 21 5.1.5 评价实例分析 . 22 六 模型评价、改进 . 24 6.1 模型的评价 24 6.2 模型的改进 25 七 模型的推广应用 . 26 7.1 模型的推广 2
10、6 7.2 模型的应用 26 参考文献 . 27 附录 . 28 附录一 . 28 附 1.1 A_data1.mat 28 附 1.2 A_calculate_AHP.m 28 附录二 . 31 附 2.1 A_data2.mat . 31 附 2.2 A_calculate_mohu.m 31 附录三 pinkunrending.cpp . 32 4 一 问题重述 1.1 背景资料与条件 经济发展带来了社会的进步 ， 但贫富差距也在扩大 ， 这一现象在我国高校学生群体中也得到体现。高校贫困生群体是随着我国高校收费 制度 改革而产生的 。 1根据教育部的有关文 件 2， 高校家庭经济困难学生
11、是指在国家招收的普通高等学校学生中 , 由于家庭经济困难 , 无力支付教育 费用或支付教育费用很难的学生 。 对大学生贫困状况进行等级划分 ， 有非常重要的意义 ， 能更有效地资助贫困大学生完成学业。 为了让家庭经济困难的学生能够顺利完成学业，不为在校期间的学费、住宿费等相关费用担忧，学校实行 一揽子 资助政策。由于资金有限，所以要把有限的资金用到最需要的同学身上。 现有的做法是：把家庭经济困难学生依据困难程度分为三个档次 ， 特殊困难、困难和一般困难 ， 对应困难档次资助的金额分别是 3000+元、 2000+元、 1000+元，比例分别占全校学生总数的 3%、 17%、 10%。 对家庭经
12、济困难学生每年都要进行认定，目前的认定主要是依据其申请材料、个人陈述、班级同学评定以及日常行为表现等，存在很大的主观性，在一定程度上有失公平。 1.2 需要解决的问题 为了能够实现认定的公平、客观、科学，需要针对学生家庭经济状况建立一个整体的评价体系， 建立模型 ， 确立一个相对客观的家庭经济困难认定体系 ， 并对认定的实现过程编程 。 同时，我们还要 做到以下要求： 1. 将贫困程度量化； 2. 模型必须具有可操作性； 3. 实现认定过程尽可能公平； 4. 解释 说明如何操作 模型。 二 定义与符号说明 2.1 定义说明 层次分析法（ Analytic Hierarchy Process，简
13、称 AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题 。 3 5 Delphi 法又名专家意见法 、专家咨询法 ，是依据系统的程序，采用匿名发表意见的方式，即 专家 团队成员之间不得互相讨论，不发生横向联系，只能与调查人员发生关系，以反覆的填写问卷，以集结问卷填写人的共识及搜集各方意见 。 隶属度是元素属于某集合的程度，设论域 U，选定 0U，考虑 U 的一个运动着的边界可变的集合 ，于是 0属于 的隶属度为： 0 1 ( 0 的次数 ) 实际中，并不要求 n 为无穷大，只要 n 足够大即可。 模糊综合评价 法，是应用模糊关系合成的原理，从多个
14、因素 (指标 )对被评 价事物隶属等级状况进行综合性评判的一种方法 。 2.2 符号说明 1. :准则层 (B)中各因素之间的 判断矩阵，其中 表示 准则层 A中第 i 个指标对于目标层的重要性 与 第 j 个指标对于目标层的重要性 之比； 2. :子准则层 (C)中各因素之间的判断矩阵，其中 表示 准则层中第 j 个子指标对于该准则的重要性 与 第 k 个准则对于该准则的重要性 对B 的重要性之比 ; 3. CR :一致性检验时中的 一致性比率 ； 4. :A、 的 最大特征根； 5. :A、 的 最大特征根的特征向量归一化之后得到的权向量； 6. 1, 2, 3, 4:模糊数学模型中的 因
15、素集 ； 7. 1, 2, 3, 4:模糊数学 模型 中 的 评语集 ； 8. H:模糊数学 模型 中 的 评价等级向量； 9. :模糊数学中的模糊评价矩阵 ； 10. D:模糊数学模型中因素 中的各因素权重的分配 ，即 模糊权向量 ； 11. D:多层次模糊综合评价法中的 评价判断 结果 矩阵； 12. :加权平均后的最终综合得分； 6 三 问题分析 3.1 问题的重要性分析 中央政府每年都在加大力度资助家庭经济困难的学生完成学业，对学生经济困难程度进行准确排序，关系到贫困学生的切身利益，也是确保国家资助合理、有效利用的关键。 高等院校学生家庭贫困程度认定是高校贫困生资助的最 关键的环节，处
16、理不当有可能引起矛盾冲突，给教学管理带来困难；另一方面，贫困生认定的具体工作又十分繁琐，常常消耗大量的时间和精力。 3.2 该 问题 的研究 现状 分析 目前，贫困生认定的焦点主要集中在指标体系和认定流程方面，已经相继出现了大量关于贫困生认定的方法和体系，但主要集中于定性的评判，缺乏定量计算 ，从而使贫困生认定工作一直处于争议较大的尴尬境地。 杨莹在 贫困生经济困难程度的量化排序 中将贫困程度进行了量化，但是 这只是一种主观评定 。 4 褚华东提出建立家庭经济困难学生认定的量化评分方法和简历分层助困模式 , 但是并未提出具体的指标体系以及权重的计算方法 。 5 罗增强 在充分调研与大量文献分析
17、的基础上制定了科学的评价指标体系，采用层次分析法对其进行量化，得出一套客观且操作性强的评价方法。 但是此方法还是有一定的主观性 。 6 3.3 问题的思路分析 家庭经济困难认定与困难补助分配 问题 是一个 定量分析 决策 问题 ， 我们 需要 建立一个相对完整 、客观 的贫困认定体系 ，并通过编程实现 该体系 。 3.3.1 层次分析法 (AHP) 我们 首先建立 一个 基于 层次分析法 的数学模型 。然后按照以下四个步骤解决问题： (1)建立递阶层次结构 ； (2)构造出各层次中的所有判断矩阵； (3)层次单排序及一致性检验； (4)层次总排序及一致性检验。 7 AHP 的关键环节是建立判断
18、矩阵，判断矩阵是否科学、合理直接影响到 AHP 的效果，通过分析，我们发现 以下问题 ： (1)检验判断矩阵是否具有一致性需要求判断矩阵的最大特征根 ，看 是否同判断矩阵的阶数相等。若 ，则具有一致性。当阶数 较大时，精确计算 的工作量非常大。 (2)当判断矩阵不具有一致性时需要调整判断矩阵的元素，使其具有一致性 ，而这 可能需要经过多次 调整、计算、检验 。 (3)检验判断矩阵是否具有一致性的判断标准： CR0.9，属于特殊困难 ，在 实际评选家庭经济困难学生时 就可以 优先考虑该生 。 如果再计算出其他同学的最后得分，我们可以对其进行分数排序， 判断其最终评定等级。 我们在 Matlab
19、中编程计算，详细见附录二。运行结果如图 5.2.1 所示。 图 5.2.1 六 模型评价、 改进 6.1 模型的评价 本文 首先 通过 AHP法计算出 比较 合理的贫困因素组合权重，最终得出综合指数，使评价直观可靠。通过相应两两指标的比较， 建立 目标的评价，更一层一层分析了各指标因素对贫困等级的影响，可见它兼顾了模糊评价和层次分析法的优点， 使 评价的结果更合25 理，模型的应用性更强。由于这种方法在处理各种难以用精确数学方法描述的复杂系统问题方面所表现出的独特的优越性，近年来已在许多学科领域中得到了十分广泛的应用。 基于层次分析法的模糊综合评价应用于高校贫困生认定 , 综合考虑影响学生困难
20、程度的各方面因素 , 建立定性与定量相结合的贫困生认定指标体系 , 减弱人为因素的影响 , 可以在很大程度上弥补当前各种认定方法的不足 , 明确判定贫困生的困难等级。第一 、 应用 层次分析法能使问题分析更加系统、层次化 ； 第二 、 结合实际设定评判指标的四级评定标准 ,将各因素的影响程度进一步细分 , 明确说明同一因素的不同情况对应的评价等级 , 评价指标量化的可操作性显著增强 、 第三 、 模糊综合评判降低了人为干扰 ,使评判结果的可信度大幅提升 。 应用模糊数学的方法对学生家庭贫困情况进行评价，不但可以比较出学生家庭贫困程度，还可以减少因主观因素造成的误差，可以提高评价的准确性，具有一
21、定的可操作性。 6.2 模型的改进 层次分析法定量数据较少，定性成分较多不易令人信服的缺点，我们采用熵权法对模型进行改进 。 (1)构建 m个事物 n个评价指标的判断矩阵 R 1,2, , , 1,2, (2)计算各评价指标熵值 1 1(3)计算各评价指标的熵权 1 1 1(4)根据模糊层次分析法 wR 得到熵权模糊综合评判值 S，通过比较 S 的大小，对所有评定对象进行排序，按照规定的名额限制确定贫困等级。 26 七 模型的 推广应用 7.1 模型 的 推广 本模型还可以更广泛的运用到各个领域，对模糊事务的分析有独到之处，例如，学生综合素质测评，个人信誉度评价，单位员工业绩考核，公司的竞标比
22、较，公司物流的选址等，有很强的推广性，应用性。 7.2 模型的应用 我们可以 利用模糊综合评价法及贫困生认定指标体系开发学生管理信息系统 , 通过计算机手段降低计算量 ,更能增强该方法的应用性 。 我们首先使用 visual studio 2010 控制台程序 编写 了 贫困生认定的源代码， 初步解决了计算机评价工作。 其中程序运行时，首先需要输入被评分者的姓名（如果需要其他信息，如学号班级等，可以继续添加），然后对给出的 17 个小题进行打分， 每个题目分值均为 100，以 0， 100内的整数计分，如果打分错误则重新打分。对一个人打分结束后会自动输出他的综合得分，并询问是否继续。 下面是一
23、个 win32 控制台程序运行结果，如图 7.2.1 所示。 图 7.2.1 27 参考文献 1陈和潮 ， 当前高校贫困学生的教育和管理 ， 江西财经大学 学报 ,2005(5)， 109-111，2005。 2教育部 财政部，教育部财政部关于认真做好高等学校家庭经济困难学生认定工作的指导意见 教财 20078号。 3司守奎，数学建模算法与应用，北京：海军航空航天出版社， 2011。 4杨莹、秦培春，贫困生经济困难程度的量化排序， 时代教育， 2011(12)， 90， 2011。 5褚华东 ， 高校贫困生认定方法及资助模式研究 ，新西部 2010年 01期， 111 B1=1 3 4 5 6
24、 6 8 1/3 1 2 4 5 5 6 1/4 1/2 1 2 3 4 5 1/5 1/4 1/2 1 2 3 5 1/6 1/5 1/3 1/2 1 3 4 1/6 1/5 1/4 1/3 1/3 1 4 1/8 1/6 1/5 1/5 1/4 1/4 1; B2=1 2 2 4 1/2 1 1 3 1/2 1 1 3 1/4 1/3 1/3 1; B3=1 3 4 1/3 1 2 1/4 1/2 1; B4=1 3 4 5 1/3 1 2 3 1/4 1/2 1 2 1/5 1/3 1/2 1; save A_data1 A B1 B2 B3 B4 附 1.2 A_calculate_AHP.m %程序在 Windows8 64位操作系统环境下，在 Matlab2011B中测试成功； %本程序数据存储在 A_data1.mat中，其中数据文件通过手工录入并 save为 .mat文件； %本程序使用层次分析法计算 权重，并进行一致性检验； %运行程序，按提示输入 15中任意数字，即可得到所求的权重、一致性指标等； clear all; clc
