1、第三章 导数与定积分 第1节 导数的概念与运算,考纲解读1. 利用导数的定义求一些简单函数的导数.2. 利用求导公式与求导法则求函数的导函数.3. 利用导数的几何意义求切线斜率和切线方程，这也是高考的热点问 题. 知识点精讲一、基本概念1. 导数的概念设函数 在 处附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限，即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫函数 在 处的导数，记作,或 .,即2.导数的几何意义：函数在这定点处的切线斜率函数 在 处的导数 ，表示曲线 在点 处的切线 的斜率，即 ，如图3-1所示. 过点 的切线方程为 . 同样可以定义曲线 在 的法线为过点 与曲线
2、 在 的切线垂直的直线. 过点 的法线方程为 . 3. 导数的物理意义:瞬时速度 .,设 时刻一车从某点出发，在 时刻车走了一定的距离 . 在 时刻到 时刻，车走了 ，这一段时间里车的平均速度为,，当 与 很接近时，这个平均速度近似于 时刻的瞬时速度.若令 ，则可以认为 ，即 就是 时刻的瞬时速度. 二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式表,三、导数的运算法则(和、差、积、商),设 ， 均可导，则（1） ； （2） ；（3） ； （4） . 题型归纳及思路提示 题型39 导数的定义【例3.1】 设 存在，求下列各极限.（1） ；（2） .【分析】 ，导数的定义中，增量 的 形式是多样
3、的，但不论 选择哪种形式， 必须选择相应 的形式. 利用函数 在点 处可导的条件，可以将已知 极限变形转化为导数定义的结构形式.,【解析】 (1),(2)题型40 求函数的导数【例3.2】 求下列函数的导数. (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) .【解析】(1) ；(2) ；(3) ；,(4) ；,(5) ；(6) . 【评注】对于基本初等函数（指、对、幂、三角函数），可以直接根据导 数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.题型41 导数的几何意义 【例3.5】 设 为曲线 上的点，且曲线 在点 处切线倾斜角的取值范围为
4、，则点 横坐标的取值范围为（ ）.A. B. C. D.,【分析】根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线 在点 处切线的斜,率的范围是 ，根据导数的几何意义，只要函数的导数在这个范围即可. 【解析】 ，由于曲线 在点 处的切线的倾斜角的取值范围为，所以其切线的斜率的范围为 ，根据导数的几何意义，得 ，即 故选A. 【评注】函数 在某点处的导数、曲线 在某点处切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解 题中要善于在这三者之间转化.,第2节 导数的应用,考纲解读1.了解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性， 会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.2.
5、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值.3.生活中的优化问题，会利用导数解决某些实际问题. 知识点精讲基本概念与性质1.利用导数的符号判断函数的单调性,一般地，函数的单调性与其导数正负有如下关系：在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减.,2.函数极值的概念设函数 在点 连续且 ，若在点 附近的左侧，右侧 ， 则 为函数的极大值点；若在点 附 近的左侧 ，右侧 ，则 为函数的极大值点. 函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或
6、极小值，且极大值不一定比极小值 大. 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值 点.,3.函数的最大值、最小值,若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点与区间端点处取得. 题型归纳及思路提示题型42 利用原函数与导函数的关系判断图象【例3.7】若函数 的导函数在区间 是增函数，则函数在区间 上的图象可能是 （ ）.A B C D,【分析】 利用导数的几何意义求解.,【解析】 由导数的几何意义是切线的斜率知，函数 图象上的切线斜率递增. 选项B中曲线从左到右的点的切线斜率由大到小变化；选项C，斜率是一个常数；选
7、项D中曲线从左到右的点的切线 斜率先增后减，只有A项中曲线上从左到右的点的切线斜率是 递增的. 故选A.题型 43 利用导数求函数的单调区间 【例3.8】 求函数 的单调区间. 【解 析】 ，令 得 或，如表3-1所示. 的单调区间为 和单调减区间为 .,表3-1,题型44 函数的极值与最值的求解,【例3.9】设函数 ，则（ ）.A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点 【分析】 求函数的极值点，即求解导函数的变号零点. 【解析】 因为 ，所以 .当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减.因此， 时，函数 取得极小值. 故选D.,题型4
8、5 已知含参函数在区间上单调性或无单调性或存在单调区间， 求参数的范围,【例3.11】 已知函数 .（1）当 时，求 的极值；（2）若 在 上是增函数，求 的取值范围. 【 解 析 】（1）当 时， ，令 得 ，令 得 ，故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在 处， 有极小值.所以 是 的极小值.（2）若 在 内是增函数，当且仅当,，即 在 上恒成立.,( i ) 当 时， 恒成立； ( ii) 当 时，令 为开口向上的二次函数，其对称轴 为 ， 在 上的最大值为 ，令 得 (iii) 当 时， 为开口向下的二次函数，其在 上 的最大值为 ，令 ，得 .综上， 的取值范围是 .,【例3
9、.12】 已知函数 .,（1）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 求 ， 的值；（2）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围. 【解 析】（1）由函数 的图象过原点，得 ，又 ， 在原点处的切线斜 率 ，则 ，所以 或 .故 或 ， . （2）由 ，得 ， ， 又 在 上不单调，则 在 内有实根，,即有 或 ，,解得 或 .综上， 的取值范围是 .【评注】 若 在某区间上不单调，则 在此区间有实数根，可先考虑 在整个定义域内的根的情况，结合函数的图 象和性质找出给定区间有实根的充要条件.,【例3.13】设函数 ，若函数 在 上存在,单调递增区间，求实数 的取值范围. 【分 析】 函
10、数 在给定的区间存在单调区间，转化为导函数在给定区 间上大于零有解. 【解 析】依题意， 有解，得 在区间 上有解，则 ， ，令 ，易知 在 上为增函数，所以最大值为 .,题型46 含参函数的单调性（区间）,【例3.14】设函数 ，在 处取得极值，且曲线在点 处的切线垂直于直线 .（1）求 、 的值；（2）若函数 ，讨论 的单调性. 【解 析】 （1）由 ，故 ，又 在 处取得极值，故 ，从而 ，由曲线 在点 处的切线与直线 垂直 可知该切线斜率为 ，即 ，有 ，从而 （2）由（1）知 ，故 ，令 ，,有 .,当 ，即当 时， 在 上恒成立，故函 数 在 上为增函数； 当 ，即当 时，方程 有
11、 两个不相等的实根 ， .当 时， ，故 在上为减函数；当 时， ，故 在 上 为增函数. 综上所述，当 时， 在 上为增函数；当时， 在 和 上为增函数，在上为减函数.,题型47 方程解（函数零点）的个数问题,【例3.16】 设 为实数，函数 . （1）求 的极值；（2）若方程 有三个实数根，求 的取值范围；（3）若 恰好有两个实数根，求 的值. 【解 析】 （1） ，令 ，得 . 如表3-3所示.表3-3,可知 在 和 上单调递减，在 上单调递增，极小值为,，极大值为 （2）若要 有 个实数根，只需要 ，即 ，得 ，故 的取值范围是 . （3）若要 恰好有两个实数根，只需要或 ，即 或 ，
12、解得 所以当 有两个根时， 【评注】 本类题要结合函数用单调性和极值入手，体现数形结合的数学思想.,题型48 不等式恒成立与存在性问题,【例3.17】已知函数 .（1）求 的最小值；（2）若对于所有 都有 ，求实数 的取值范围. 【分析】 第（2）问可用分离变量的方法求解. 【解析】 的定义域是 .（1） ，令 ，解得 ；令 ，解得 . 从而 在 单调递减，在 单调递增. 所以，当 时， 的最小值为 .（2）依题意，得 在 上恒成立. 即不等式,对于 恒成立 ，即,设 ，则 ，令 得 . 当 时，因为 ，故 在 上 是增函数，当 时，因为 ，故 在上是减函数. 所以 在 上的最小值是 . 故
13、的 取值范围是 . 【评注】 第（2）问的解法一应用分离变量的方法解题，使得构造的新 函数中不含参数，避免了对参数的分类讨论.,题型49 利用导数证明不等式,【例3.21】设 为实数，函数 ， . （1）求 的单调区间与极值；（2）求证：当 且 时， . 【分 析】 证明不等式可构造函数 ，转化为函数在 上恒大于 . 【解 析】 （1）由 ， 知 ， .令 ，得 ，于是当 变化， 、 变化如 表3-4所示. 表 3-4,故 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，,在 处取得极小值，（2）设 ， ，于是 ，由（1）知当 时， 最小值为于对任意 ，都有 ，所以 在 上单调递增，于 是当 ，对 都有
14、 ，而 ，从 而 ， ，即 ，故 【评注】 一般地，要证 在区间 上成立，构造辅助函数 ，通过分析 的单调性，从而求出 在 上的最小值，只要能证明 ，就可证明 .,题型50 导数在实际问题中的应用,【例3.22】 一个圆环直径为 ，通过铁丝 、 、 、 ( 、 、 是圆上三等分点) 悬挂在 处，圆环呈水平状态并距天花板 ，如图3-9所示.（1）设 长为 ( )，铁丝总长为 ( ) ，试写出 关于 的函数解析式，并写出函数定义域； （2）当 取多长时，铁丝总长 有最小值，并求此最小值. 【解 析】 （1）由题意 四点构成一个正三棱锥， ， ， 为 该三棱锥的三条侧棱. 三棱锥的侧棱 ，于是 有
15、.,（2）对 求导得 .,令 得 ，解得 或 （舍）. 当 时， ；当 时， . 故当 时，即 时， 取得最小值为 .,第3节 定积分和微积分基本定理,考纲解读1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义. 知识点精讲定积分的概念一般地，设函数 在区间 上连续，用分点 将区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 ，在每个小区间 上取一点 ，作和式 .,当 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间 上的定积分. 记为 .,其中 为被积函数， 为积分变量， 为积分区间， 为积分上限， 为积分下限. 题型归纳及思路提示题型51 定积分的计算 【例3.23】计算 _.【解 析】,题型52 求曲边梯形的面积,【例3. 17】 由曲线 ， 围成的封闭图形的面积为（ ）.A. B. C. D. 【解 析】 由 得 和 ，则由 和 围成的封闭 图形的面积为 .故选A.,
