1、 1 高考 数学 必做 61 道 圆锥曲线 问题 圆锥曲线 性质 大全 一、 神奇曲线，定义统一 01 距离和差，轨迹 椭双 02 距离定比，三线统一 二、过 焦 半径 ，相关 问题 03 切线 焦径 ， 准线作法 04焦点切线 ， 射影 是圆 05焦半径圆 ，切于大圆 06焦点弦 圆，准线定位 07 焦 三角形 ， 内 心轨迹 三、 焦点 之弦，相关 问题 08 焦 点半径，倒和 定值 09正交焦 弦 ，倒和定值 10焦 弦 中垂，焦交定长 11焦 弦 投影，连线截中 12 焦 弦 长轴， 三 点共线 13对焦 连线，互相垂直 14 相交焦 弦 ，轨迹 准线 15相交焦弦，角分垂直 16 定
2、点 交弦 ，轨迹直线 17焦弦直线 ，中 轴 分比 18 对偶 焦 弦，比和 定值 2 四、相交 之 弦 ， 蝴蝶特征 19 横点 交弦 ， 竖之 蝴蝶 20 纵点交弦，横之 蝴蝶 21 蝴蝶定理 ，一般情形 五、切点 之弦， 相关问题 22 主轴分割， 等比中项 23 定 点 割线，倒 和 两 倍 24 定点割线， 内 外定 积 25 主轴交点，切线平行 六、 定点之弦，张 角 问题 26焦点之弦，张 角 相等 27 定点之弦，张角仍等 28对称之点，三 点共线 29焦点切点，张角相等 30倾角互补，连线定角 七、 动弦中点 ，相关 问题 31 动 弦 中点，斜积定值 32切线 半径 ，斜积
3、仍 定 33动 弦中垂 ，范围特定 34 定向 中点 ， 轨迹 直径 35 定点中点， 轨迹 同型 八、 向量内积， 定值问题 36 焦弦张角，内积定值 3 37存在定点，内积仍 定 九、其它重要性质 38 光线反射 ， 路径 过焦 39 切线 中 割 ，切弦平行 40 直周 之 角 ，斜过定点 41 正交半径，斜切定圆 42 直径端点 ，斜积 定值 43 垂 弦 端点，交轨 对偶 44 准线 动 点 ，斜率 等差 45 焦 点 切线 ， 距离 等比 46共轭点 对， 距离等积 47 正交 中点， 连线定点 48顶点切 圆 ，切线交准 49 平行焦径 ，交点轨迹 50内接内 圆 ，切线永保 5
4、1切线 正交 ， 顶点 轨迹 52 斜率定值， 弦过定点 53 直线动点，切弦 定点 54与圆 四交 ，叉连互补 55 交弦 积比，平行方等 56补 弦外 圆，切于同点 57、 焦点 切 长， 张角相等 58斜率积定，连线过定 4 59 切点连线，恒过定点 60.焦点准线 ，斜率等差 1 61.焦点准线，斜率等差 2 5 1距离和差，轨迹椭双 问题探究 1 已知动点 Q 在圆 A： 22( ) 4xy 上运 动，定点 ( ,0)B ，则 （ 1）线段 QB 的垂直平分线与直线 QA的交点 P 的轨迹是什么？ （ 2）若 BM tMQ ，直线 l 过点 M 与直线 QA的交于点 P ，且 0BM
5、 MP，则点 Q 的实验成果 动态课件 定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆 。 定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线 。 定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线 。 6 轨迹又是什么？ 2距离定比，三线统一 问题探究 2 已知定点 ( 1,0)A ，定直线 1l ： 3x ， 动点 N 在直线 1l 上，过点 N 且与 1l 垂直的直实验成果 动态课件 动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于 1 的常数，则动点的轨迹是椭圆 。 动点到一定点与到一 定直线的距离之比为大于 1 的常
6、数，则动点的轨迹是双曲线 。 动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于 1 的常数，则动点的轨迹是抛物线 。 7 线 2l 上有一动点 P，满足 PAPN ，请讨论点 P 的轨迹类型。 3切线焦径，准线作法 问题探究 3 已知两定点 ( 1,0), (1,0)AB ，动点 P 满足条件 8PA PB，另一动点 Q 满足0 , ( ) 0P A P BQ B P B Q P P A P B ，求动点 Q 的轨迹方程。 实验成果 动态课件 椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线 双曲线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应
7、之准线 抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线 。 8 4焦点切线，射影是圆 问题探究 4 已知两定点 ( 2, 0), (2, 0)AB ，动点 P 满足 条件 2PA PB，动点 Q 满足( ) 0P A P BQB PA PB， ( ) 0PA PBQP PA PB ， 求动点 Q 的轨迹方程。 实验成果 动态课件 焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆 。 焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆 。 焦点在抛物线切线 上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆） 。 9 5焦半径圆，切于大圆 问题探究 5 1 已知动点 P在椭
8、圆 22143xy上， F为椭圆之焦点， 0PM FM，探究 2 OM PF是否为定值 2已知点 P 在 双曲线 22143xy上， F 为 双曲线 之焦点， 0PM FM，探究实验成果 动态课件 以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆 （简称“大圆”） 与椭圆内切 ， ）相切 以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆 （此圆（简称“小圆”） 与双曲线外切）相切 。 以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷大 （实为顶点处的切线） 与曲线外切）相切 10 2 OM PF 是否为定值 6焦点弦圆，准线定位 问题探究 6 过抛物线 yx 42 上不同两点 A、 B 分别作抛物线
9、的切线相交于 P 点， .0PBPA （ 1）求点 P 的轨迹方程； 实验成果 动态课件 椭圆中以 焦点弦 为直径的圆必与准线相离 双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交 。 抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切 。 11 （ 2）已知点 F（ 0， 1），是否存在实数 使得 0)( 2 FPFBFA ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 . 7焦三角形，内心轨 迹 问题探究 7 1已知动点 P 在椭圆 22143xy上， 12,FF为椭圆之左右焦点，点 G 为 12FPF 的内心，试求点 G 的轨迹方程。 2已知动点 P 在双曲线 22143xy上， 12,FF为双曲线之左右焦点，圆
10、 G 是 12FPF实验成果 动态课件 椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆 双曲线焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过 双曲线实 顶点 的两 条 平行 且垂直于实轴的 开线段 (长为 2b) 抛物线焦点三角形 (另一焦点在无穷远处 )的内切圆圆心轨迹是以原 抛物线 焦点为顶点的抛物线 12 的内切圆，探 究圆 G 是否过定点，并证明之。 8焦点半径，倒和定值 问题探究 8 已知椭圆 22143xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 1F 的直线交椭圆于 A， B 两点，是实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 1BF 1 + 1AF1 = 2ep 双曲线的焦点弦的
11、两个焦半径倒数之和为常数 AB在同支111 1 2| | | |AF BF ep AB在异支111 1 2| | | |AF BF ep 。 抛物线的焦点弦的两个焦半径 倒数之和为常数 1BF + 1AF = 2ep 13 否存在实 常 数 ，使 AB FA FB 恒成立。并由此求 AB 的最小值。（借用柯西不等式） 9正交焦弦，倒和定值 问题探究 9 已知椭圆 22143xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 1F 的直线 12,ll分别交椭圆于 A， B两点，和 C， D 两点， 且 12ll ， 是否存在实常数 ，使 AB C D AB C D 恒成实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒
12、数之和为常数 epeCDAB 22| 1| 12 。 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 epeCDAB 2 |2| 1| 12 抛物线 互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 epeCDAB 22| 1| 12 14 立。并由此求四边形 ABCD 面积的最小值和最大值。 10焦弦中垂，焦交定长 问题探究 10 已 知椭圆 22143xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 1F 的直线交椭圆于 A， B 两点， AB中垂线交 x 轴于点 D，是否存在实常数 ，使1AB FD恒成立。 实验成果 动态课件 设 椭圆焦点弦 AB 的中垂线与长轴的交点 为 D，则FD 与 AB 之比是 离心率的一半 。 设 双
13、曲线 焦点弦 AB 的中垂线与焦点所在轴的交点为 D，则 FD 与 AB 之比是离心率的一半 设 抛物线 焦点弦 AB 的中垂线与对称轴的交点为D，则 FD 与 AB 之比是离心率的一半 。 15 11焦弦投影，连线截中 问题探究 11 已知椭圆 22143xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 1F 的直线 1l 交椭圆于 A， B 两点，实验成果 动态课件 椭圆 的焦点弦的端 点 在相应准线上 的 投影与 焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段 。 双曲线 的焦点弦的端 点 在相应准线上 的 投影与 焦点弦 端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线
14、段 。 抛物线 的焦点弦的端 点 在相应准线上 的 投影与 焦点弦 端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段 。 16 直线 2l 4x 交 x 轴于点 G，点 ,AB在直线 2l 上的射影分别是 ,NM，设直线 ,AMBN的交点为 D，是否存在实常数 ，使1GD DF恒成立。 12焦弦长轴，三点共线 问题探究 12 实验成果 动态课件 椭圆 焦点弦 端点 A、 B 与长轴 顶点 D 连线与相应准线的交点 N、 M，则 N、 C、B 三点共线， M、 C、 A 三点共线 双曲线焦点弦端点 A、 B与 实轴 顶点 D 连线与相应准线的交点 N、 M，则 N、C、 B 三点共线
15、， M、 C、A 三点共线 抛物线焦点弦端点 A、 B与顶点 D（ D 在 无穷远处）连线与准线的交点 N、 M，则 N、 C、 B 三点共线， M、C、 A 三点共线 17 已知椭圆 22143xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 1F 的直线 1l 交椭圆于 A， B 两点， ,CD分别为椭圆的左右顶点，动点 P 满足 ,PA AD PC CB试探究点 P 的轨迹。 13对焦连线，互相垂直 问题探究 13 实验成果 动态课件 椭圆 左 焦点弦端点 A、 B 与右 顶点 D 连线 AD， BD 交 相应准线 于 点 N 、 M ，则11NF MF 双曲线 左 焦点弦端点 A、 B与 右 顶点
16、D 连线 AD， BD 交相应准线 于 点 N、 M，则11NF MF 抛物线焦点弦端点 A、 B 与顶点 D（无穷远处） 连线 交相应准线 于 点 N、 M，则NF MF 18 已知双曲线 22131xy， 1F 为双曲线之左焦点，过点 1F 的直线 1l 交双曲线于 A， B两点， ,CD分别为双曲线的左右顶点，动点 P 满足 11,PA AD PC C B动点 Q 满足 22,Q A A C Q B B D试探究 1PFQ 是否为定值。 14相交焦弦，轨迹准线 问题探究 14 实验成果 动态课件 椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处）， 因
17、为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移 双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 19 已知椭圆 22143xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 1F 的直线 12,ll分别交椭圆于 A， B两点，和 C， D 两点，直线 3l 4x ，直线 AD 交直线 3l 于点 P，试判断点 P、 B、 C是否 三点共线，并证明之。 15相交焦弦，角分垂直 问题探究 15 实验成果 动态课件 椭圆的任意两焦点弦 AB， CD端点所在直线 AD 和 BC 交点 P必在准线上且交点 P 与焦点 2F的连线平分角 2BFD 双曲线的任意两焦点弦 AB，CD
18、 端点所在直线 AD 和 BC 交点 P 必在准线上且交点 P 与焦点 1F 的连线平分角 1AFC 抛物线的任意两焦点弦 AB，CD 端点所在直线 AC 和 BD 交点 P 必在准线上且交点 P 与焦点 F 的连线平分角 AFD 20 已知椭圆 22143xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 1F 的直线 12,ll分别交椭圆于 A， B两点，和 C， D 两点，直线 3l 4x ，直线 AD 交直线 3l 于点 P， 试 证明 11PF A PF D 。 16定点交弦，轨迹直线 问题探究 16 实验成果 动态课件 过椭圆长轴 直线 上任意一点 N（ 0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是
19、一定直线 tax 2 。 过双曲线实轴 直线 上任意一点N（ 0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 tax 2 。 过抛物线对称轴上任意一定点N（ 0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 tx 21 已知椭圆 22184xy，过点 (2,0)N 的直线 12,ll分别交椭圆于 A， B 两点，和 C， D 两点，设直线 AD 与直线 CB 交于点 P，试证明 点 P 的轨迹为 直线 4x ， 17焦弦直线，中轴分比 问题探究 17 已知椭圆 22184xy，点 1F 为椭圆之左焦点，过点 1F 的直线 1l 分别交椭圆于 A， B实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦所在直
20、线被曲线及短轴直线所分比之和为定值。 双曲线的焦点弦所在直线被曲线及 虚 轴直线所分比之和为定值。 过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值。 22 两点，设直线 AB 与 y 轴于点 M ， 11,M A AF M B BF试求 的值。 18对偶焦弦，比和定值 23 问题探究 18 已 知 方 向 向 量 为 (1, 3)e 的直线 l 过点(0, 2 3)A 和椭圆 22:1xyC ab( 0)ab 的焦点，且椭圆 C 的中心 O 和椭圆的右准 线上的点 B 满足： 0,OB e AB AO。求椭圆 C 的方程；设 E 为椭圆 C 上任一点，过焦点 12,FF的弦分别为
21、 ,ESET ,设 1 1 1 ,EF FS 2 2 2EF FT ，求 12 的值。 19横点交弦，竖之蝴蝶 实验成果 动态课件 过椭圆上任 一 点 A 作两焦点的焦点弦 AC 和 AB，其共线向量 模的 比之和为定值即1 1 12 2 2212 2121AF m F BAF m F Bemme 为 定 值。 过双曲线上任 一 点 A 作两焦点的焦点弦 AC 和 AB，其共线向量 模的 比之和为 定值即1 1 12 2 2212 2121AF m F BAF m F Bemme 为 定 值。 （ 注 ：图中测算不是向量，故中间一式用的是差） 由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换
22、了焦点，即PA=m1AFPB=m2BF。 m1+m2=0 24 问题探究 19 已知抛物线 2 2yx ，过点 (2,0)T 的动直线 l交抛物线于 A,B 两点，过 A,B 分别作切线 12,ll ，点 P 在抛物线上，且 PT x轴 ， 3l是抛物线在 P 处的切线，若 4l 过点 T 且 43ll交 12,ll 于 N， M，交抛物线于 ,CD，试探索 CN DM 是否成立。 20纵点交弦，横之蝴蝶 实验成果 动态课件 过椭圆长轴 所在直线 上任意一点 T（ 0,t ）的两条弦 AB 和 CD 端点的直线 AD 和 BC 截过 T 点的垂线段 NM（ 12NM FF ） 相等 ，即NT
23、TM 过双曲线实轴 所在直线上任意一点 T（ 0,t ）的两条弦 AB 和 CD 端点的直线 AD 和 BC 截过 T 点的垂线段 NM（ 12NM FF ）相等，即NT TM。 过抛物线对称轴上任意一点 T（ 0,t ） 的两条弦 AB 和 CD 端点的直线 AC 和 BD 截过 T 点的垂线段 NM（ NM FT ）相等，即NT TM。 25 问题探究 20 已知椭圆 22184xy，过点 T(1,0) 的直线 12,ll分别交椭圆于 A， B 两点，和 C， D 两点，设直线 3l 过点 T 且 3lx轴 ，交 ,AC BDll于点 N， M，试证明 TN TM 。 实验成果 动态课件
24、过椭圆短轴上任意一点 M 的两条弦端点作两条直线 ,一定截过 M点与对称轴垂直的直线为相等的线段 PM=MQ 过双曲线虚轴上任意一点 N（ 0,t ）的两条弦端点作两条直线 ,一定截过 N 点与对称轴垂直的直线为相等的线段 PM=MQ 过抛物线对称轴上任意一点 N（ 0,t ）的两条弦端点作两条直线 ,一定截过 N 点与对称轴垂直的直线为相等的线段 PM=MQ 26 21蝴蝶定理，一般 情形 实验成果 动态课件 过椭圆直径所在直线上任意一点 T作的两条弦AB， CD，过其端点作两条直线 AC 和 BD,截过 T 点 与 N 点切线平行的直线段，被 T 点平分，即 MT=TR（ N 点为主轴 O
25、T 与曲线的交点） 过双曲线直径所在直线上任意一点 T作的两条弦 AB， CD，过其端点作两条直线 AC 和 BD,截过 T 点与 N 点切线平行的直线段，被 T 点平分，即 MT=TR（ N 点为主轴 OT 与曲线的交点） 过平行于抛物线对称轴的直线上任意一点 T作两条弦 AB， CD，过其端点作两条直线 AC，BD，截过 T 点与 N 点切线平行的直线段，被T 点平分，即 MT=TR（ N 点为主轴 NT 与曲线的交点） 27 22主轴分割，等比中项 问题探究 22 已知椭圆 22184xy，过原 点 (0,0)O ，点 T(2,1) 的直线 l 交椭圆于点 N，过点 T 的中点弦为 AB
26、，过 A， B 分别作切线 12,ll且交于点 P，求证： 2| | | | |OT OP ON 实验成果 动态课件 过 椭圆中心 O 与点 00( , )Px y 的连线交 椭圆 于 N，交切点弦于点 Q，则， 2| | | | |OQ OP ON 。且 Q 点平分切点弦 AB。（无论点 P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且点 P 与直线 001Ax x By y沿直线 PO 作反向运动。 双曲线中心 O 与点 00( , )Px y 的连线交 双曲线 于 N，交切点弦于点 Q，则， 2| | | | |OQ OP ON 。 且 Q 点平分切点弦 AB。（无论点 P 在曲线的什么位置，
27、上述结论均成立）。且点 P 与直线 001Ax x By y沿直线 PO 作反向运动。 设过点 P 与 抛物线对称轴平行 (中心在对称轴方向的无穷远处 )的直线 交 抛物线 于 N，交切点弦于点 Q，则，2| | | | |O Q O P O N 。且 Q 点平分切点弦 AB。（无论点 P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且点 P与直线 00()y y p x x作反向运动。 28 23定点割线，倒和两倍 问题探究 22 过抛物线 2yx 外一点 (2,0)P 作抛物线的两条切线 PA， PB，切点分别为 A， B，另一直线 l 过点 P 与抛物线交于两点 C、 D，与直线 AB 交于点
28、Q，试探求|PQ PQPC PD的值是否为定值 。 实验成果 动态课件 过 椭圆 221Ax By外 一 点00( , )Px y 的任一直线与椭圆的两个交点为 C、 D， 与 椭 圆 切 点 弦001Ax x By y的交点为 Q，则1 1 2| | | |PC PD PQ成立。反之亦然。 双曲线 221Ax By外 一 点00( , )Px y 的任一直线与双曲线的两个交点为 C、 D，与双曲线切点弦001Ax x By y的交点为 Q，则1 1 2| | | |PC PD PQ成立。反之亦然。 22PA PB bKK a 过抛物线外一点 P 的任一直线与抛物线的两个交点为 C、 D，与抛
29、物线切 点 弦 的 交 点 为 Q ， 则1 1 2| | | |PC PD PQ成立。反之亦然。 29 24 定点割线， 内 外定积 问题探究 23 过椭圆 22143xy外一点 (2,2)P 作直线 l 与椭圆 交于两点 C、 D， 点 Q 在 线段 CD 上，且满足 CP QD PD CQ 试探求 点 Q 的轨迹 。 实验成果 动态课件 过 椭圆 221Ax By外一点 P的任一直线与椭圆的两个交点为 C、 D，点 Q 是此直 线 上 另 一 点 ， 且 满 足CP QD PD CQ 则点 Q 的轨迹即为切点弦 001Ax x By y，反之亦然。 过 双曲线 221Ax By外一点 P
30、的任一直线与双曲线的两个交点为 C、 D，点 Q是 此 直 线 上 另 一 点 ， 且 满 足CP QD PD CQ 则点 Q 的轨迹即为切点弦 001Ax x By y，反之亦然。 过抛物线外一点 P 的任一直线与抛物线的两个交点为 C、 D，点 Q 是此直线上另一点，且满足 CP QD PD CQ 则点Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然。 30 25主轴交点，切线平行 问题探究 24 过抛物线 2yx 外一点 (2,0)P 作抛物线的两条切线 PA， PB，切点分别为 A， B，另一直线 l ： 2x 与抛物线交于点 N，与直线 AB 交于点 Q，求 证：（ 1） N 点处的切线与直线 AB 平行，（ 2） AQ QB 。 实验成果 动态课件 椭圆 221Ax By中心 O 与椭圆外一点 00( , )Px y 的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦 001Ax x By y。 。 双曲线 221Ax By中心 O 与双曲线外一点 00( , )Px y 的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的切点弦001Ax x By y。 。 过抛物线中心 O（这中心在无穷远处）与抛物线外一点 00( , )Px y的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦 。
