1、东城区 2016-2017 学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）D （3）A （4）B（5）D （6）C （7）B （8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） 1 （10） 6 （11） 3 （12） 7， 23 （13） 13 （14）1， (,) 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（）设等比数列 na的公比为 q由题意，得 3418q， 2所以 12nna(,) 3 分又数列 b是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 4()n从而
2、132n,) 6 分（）由（）知 1(32nb(,)数列 n的前 项和为 7) 9 分数列 132的前 项和为 (132nn 12 分所以，数列 nb的前 项和为 (7)3n 13 分（16）（共 13 分）解：（）由题意 2T， 2 分因为点 (0,1)在 (sin()fx图象上，所以 2sin=又因为 |，所以 6 4 分所以 07x 6 分（）由（）知 ()2sin()6fx，因为 0x，所以 6MGFEPOCA BD yzx当 26x，即 6x时， ()fx取得最大值 2；当 ，即 时， ()f取得最小值 113 分（17）（共 14 分）解：（）设 AC与 BD的交点为 F，连结 E
3、因为 为矩形，所以 为 A的中点在 P中，由已知 E为 P中点，所以 EF 又 平面 B，C平面 D，所以 P平面 5 分（）取 中点 O，连结 P因为 是等腰三角形， 为 CD的中点，所以 又因为平面 PCD平面 AB，平面 ，所以 O平面 取 AB中点 G，连结 ，由题设知四边形 为矩形，所以 FCD所以 P1 分如图建立空间直角坐标系 Oxyz，则 (1,0)A， (,1)， (0,)， (,0)，B， ， G,2C， ,P设平面 的法向量为 ()xyzn，则 0,An，即 20,.令 1z，则 y， x 所以 (2,)平面 PCD的法向量为 (1,0)OG设 ,n的夹角为 ，所以 6c
4、os3由图可知二面角 APCD为锐角，所以二面角 B的余弦值为 63 10 分（）设 M是棱 上一点，则存在 0,1使得 PMC因此点 (0,1)， (,)， (1,20)A由 BAC，即 2 因为 0,12，所以在棱 PC上存在点 ，使得 BC此时， PM 14 分（18）（共 14 分）解：（） ()fx的定义域为 (1,)因为 lna，所以 21()()fxx因为 0f为 f的极小值，所以 ()，即 210()a所以 1a此时， 2()1xf当 ,0x时， ()0f， ()fx单调递减；当 ()时， ， 单调递增所以 f在 处取得极小值，所以 1a 5 分（）由（）知当 时， ()fx在
5、 0,)上为单调递增函数， 所以 ()0fx，所以 f对 ,恒成立因此，当 1a时， ()ln1)ln(1)0axxf，()0fx对 ,恒成立当 时， 22()()()fxx，所以，当 (0,1)xa时， ()0fx，因为 ()fx在 0,1)a上单调递减，所以 ff所以当 时， ()并非对 (,)恒成立综上， a的最大值为 1 13 分（19）（共 13 分）解：（）由题意得 22.cab， ，解得 3所以椭圆 C的方程为2143xy 5 分（）设 12(,)(,)(,)AxyBQ因为点 P在直线 O上且满足 |POA，所以 1(3,)因为 BQ三点共线，所以 所以 1212322(3,)(
6、,)xyxy，3122,().y解得312,.xxyy因为点 Q在椭圆 C上，所以2314x所以22113()()43xy即221 12296()()()3443yxxy，因为 ,AB在椭圆 C上，所以2143xy，2143xy因为直线 ,OAB的斜率之积为34，所以1234yx，即120xy所以229()，解得 5所以 |5BPQ 14 分（20）（共 13 分）解：（） 4A中所有与 x正交的元素为 (1,)， (,1)， (1,)， (1,)，(1,)， (1,) 3 分（）对于 mB，存在 12(,),nixL，12(,),niyyL；使得 xe令,0,iii y， 1nik；当 ii
7、xy时 1i，当 iixy时 1i. 那么 1()2nixke. 所以 2mk为偶数8 分（）8 个，2 个n时，不妨设 1(,1)x， 2(1,1,)x在考虑 4时，共有四种互相正交的情况即：1，分别与 12,x搭配，可形成 8 种情况所以 8n时， A中最多可以有 8个元素10 分14时，不妨设 14(,)y个 ， 17(,)y 个 个 ，则 1y与 2正交令 2,aaL， 214,)bbL， 24(,)ccL且它们互相正交设 bc相应位置数字都相同的共有 k个，除去这 k列外,相应位置数字都相同的共有 m个，相应位置数字都相同的共有 n个.则 (14)2140amkke.所以 7，同理 7.可得 nm.由于 (142)0ackme，可得 27， *2mN矛盾. 所以任意三个元素都不正交.综上， 14n时， A中最多可以有 个元素. 13 分
