1、2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共计 50 分）1已知函数 f（x）=（x a） （xb） （其中 ab） ，若 f（x）的图象如图所示，则函数 g（x）=a x+b 的图象大致为( )A B C D2设函数 f（x）的定义域为 D，如果 xD， yD，使得 f（x）=f（y）成立，则称函数 f（x）为“ 函数”给出下列四个函数：y=sinx；y=2x；y= ；f（x）=lnx ，则其中“ 函数” 共有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函
2、数是( )Ay=2 |x|By=x 3 Cy= x2+1 Dy=cosx4化简 + 得( )A B C D5已知点 P，A，B 在双曲线 =1 上，直线 AB 过坐标原点，且直线 PA、PB 的斜率之积为 ，则双曲线的离心率为( )A B C2 D6四边形 ABCD 是平行四边形， =（2，4） ， =（1，3） ，则 =( )A （1， 1） B （1，1） C （2，4） D （3，7）7已知函数 y=ax2+bx1 在（ ，0 是单调函数，则 y=2ax+b 的图象不可能是( )A B C D8执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为( )A2 B4 C8 D169化简 的结果为( )A
3、5 B C D510当 x0，y0， + =1 时，x+y 的最小值为( )A10 B12 C14 D16二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分 ）11等比数列a n中，已知 a1+a2=324，a 3+a4=36，则 a5+a6=_12一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b%，则 n 年后这批设备的价值为 _13写出命题“存在 xR，x 22x30”的否定是_14函数 f（x）= 在 x=4 处的切线方程_15已知函数 ，那么=_16沿对角线 AC 将正方形 ABCD
4、 折成直二面角后，AB 与 CD 所在的直线所成的角等于_17如图，在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中， = ， = ， = ，则 （ ）=_三、解答题（本大题共 5 小题，共 65 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18阅读如图所示的程序框图（1）写出函数 y=f（x）的解析式；（2）由（1）中的函数 y=f（x）表示的曲线与直线 y=1 围成的三角形的内切圆记为圆 C，若向这个三角形内随机投掷一粒黄豆，求这粒黄豆落入圆 C 的概率19已知点 P（x，y）在圆 x2+y26x6y+14=0 上（1）求 的最大值和最小值；（2）求 x2+y2+2x+3 的最大值与最小值20
5、 （13 分）数列a n（nN *）中，a 1=a，a n+1 是函数 的极小值点（）当 a=0 时，求通项 an；（）是否存在 a，使数列a n是等比数列？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由21 （14 分）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件 300 元现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的 75%，那么
6、羊毛衫的标价为每件多少元？22 （14 分）设有半径为 3km 的圆形村落，A、B 两人同时从村落中心出发B 一直向北直行；A 先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝 B 所在的方向前进（1）若 A 在距离中心 5km 的地方改变方向，建立适当坐标系，求：A 改变方向后前进路径所在直线的方程（2）设 A、B 两人速度一定，其速度比为 3：1，且后来 A 恰与 B 相遇问两人在何处相遇？（以村落中心为参照，说明方位和距离）2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共计 50 分）1已知函
7、数 f（x）=（x a） （xb） （其中 ab） ，若 f（x）的图象如图所示，则函数 g（x）=a x+b 的图象大致为( )A B C D【考点】指数函数的图像变换；函数的零点与方程根的关系 【专题】数形结合；转化思想【分析】根据题意，易得（xa ） （xb）=0 的两根为 a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得 f（x）=（xa） （xb）的零点就是 a、b，观察 f（x）= （x a） （xb）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（，1）与（ 0，1）上，又由 ab，可得 b1，0a 1；根据函数图象变化的规律可得 g（x）=a X+b的单调性即与 y 轴交点的位置，分析
8、选项可得答案【解答】解：由二次方程的解法易得（xa ） （xb）=0 的两根为 a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得 f（x）= （x a） （xb）的零点就是 a、b，即函数图象与 x 轴交点的横坐标；观察 f（x）= （x a） （xb）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（ ，1）与（0，1）上，又由 ab，可得 b1，0a1；在函数 g（x）=a x+b 可得，由 0a1 可得其是减函数，又由 b1 可得其与 y 轴交点的坐标在 x 轴的下方；分析选项可得 A 符合这两点， BCD 均不满足；故选 A【点评】本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于
9、根据二次函数的图象分析出 a、b 的范围2设函数 f（x）的定义域为 D，如果 xD， yD，使得 f（x）=f（y）成立，则称函数 f（x）为“ 函数”给出下列四个函数：y=sinx；y=2x；y= ；f（x）=lnx ，则其中“ 函数” 共有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值 【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的定义，将条件转化为 f（x）+f（y） =0，判断函数是否满足条件即可【解答】解：若xD，yD，使得 f（x）=f （y）成立，即等价为xD，yD，使得 f（x）+f（y）=0 成立A函数的定义域为 R， y=sinx 是奇
10、函数，f（ x）= f（x） ，即 f（x）+f（x）=0，当 y=x 时，等式（x）+f（y）=0 成立，A 为“ 函数”Bf（ x）=2 x0，2 x+2y0，则等式（x）+f（y）=0 不成立，B 不是“ 函数”C函数的定义域为x|x 1，由（x）+f（y）=0 得 ，即 ，x+y2=0，即 y=2x，当 x1 时，y1，当 y=2x 时，等式（x）+f（y）=0 成立，C 为“ 函数”D函数的定义域为（0，+ ） ，由（x）+f（y）=0 得 lnx+lny=ln（xy）=0，即 xy=1，即当 y= 时，等式（x）+f（y）=0 成立， D 为“ 函数”综上满足条件的函数是 A，C，
11、D，共 3 个，故选：C【点评】本题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为 f（x）+f（y）=0 是解决本题的关键3下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是( )Ay=2 |x|By=x 3 Cy= x2+1 Dy=cosx【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可【解答】解：A 中，y=2 |x|是偶函数，但在（ 0，+ ）上单调递增，排除 A；B 中，y=x 3 是奇函数，排除 B；C 中，y=x 2+1 是偶函数，且在（0，+）上单调递减；D 中，y=cosx 是偶函数，但在（0
12、，+）上不单调，排除 D；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，熟记常见基本函数的有关性质是解题关键4化简 + 得( )A B C D【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得 + 的值【解答】解： + = = =故选 D【点评】向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减 ”或是“ 同终点，连起点，方向指向减 ”5已知点 P，A，B 在双曲线 =1 上，直线 AB 过坐标原点，且直线 PA、PB 的斜率之积
13、为 ，则双曲线的离心率为( )A B C2 D【考点】双曲线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由于 A，B 连线经过坐标原点，所以 A，B 一定关于原点对称，利用直线 PA，PB 的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率【解答】解：根据双曲线的对称性可知 A，B 关于原点对称，设 A（x 1，y 1） ，B（ x1，y 1） ，P （x，y） ，则 =1， ，kPAkPB= = = ，该双曲线的离心率 e= = = 故选：A【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系6四边形 ABCD 是平行四边形， =（2，
14、4） ， =（1，3） ，则 =( )A （1， 1） B （1，1） C （2，4） D （3，7）【考点】平面向量的坐标运算 【专题】平面向量及应用【分析】根据向量的加减法计算即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ， =（1，3）（2，4）=（1，1） 故选 A【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题7已知函数 y=ax2+bx1 在（ ，0 是单调函数，则 y=2ax+b 的图象不可能是( )A B C D【考点】一次函数的性质与图象；二次函数的性质 【专题】数形结合；分类讨论【分析】先由函数 y=ax2+bx1 在（ ，0 是单调函数求出 a 和 b 所能出现的情况
15、，再对每一中情况求出对应的图象即可 （注意对二次项系数的讨论） 【解答】解：因为函数 y=ax2+bx1 在（ ，0 是单调函数，所以：当 a=0，y=2ax+b 的图象可能是 A；当 a0 时， 0b0，y=2ax+b 的图象可能是 C；当 a0 时， 0b0，y=2ax+b 的图象可能是 D故 y=2ax+b 的图象不可能是 B故选 B【点评】本题主要考查函数的单调性以及一次函数的图象是对基础知识的考查，属于基础踢8执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为( )A2 B4 C8 D16【考点】循环结构 【专题】算法和程序框图【分析】列出循环过程中 S 与 K 的数值，不满足判断框的条件即可
16、结束循环【解答】解：第 1 次判断后 S=1，k=1，第 2 次判断后 S=2，k=2，第 3 次判断后 S=8，k=3，第 4 次判断后 33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8故选 C【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力9化简 的结果为( )A5 B C D5【考点】方根与根式及根式的化简运算 【专题】计算题【分析】利用根式直接化简即可确定结果【解答】解： = = =故选 B【点评】本题考查根式的化简运算，考查计算能力，是基础题10当 x0，y0， + =1 时，x+y 的最小值为( )A10 B12 C14 D16【考点】基本不等式 【专题】不等式
17、的解法及应用【分析】利用“乘 1 法” 和基本不等式的性质即可得出【解答】解：x0，y0， + =1，x+y=（x+y） =10+ =16，当且仅当 y=3x=12 时取等号x+y 的最小值为 16故选：D【点评】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分 ）11等比数列a n中，已知 a1+a2=324，a 3+a4=36，则 a5+a6=4【考点】等比数列的性质 【专题】计算题【分析】由等比数列的性质可知，a 1+a2，a 3+a4，a 5
18、+a6 成等比数列，结合等比数列的通项公式可求【解答】解：由等比数列的性质可知，a 1+a2，a 3+a4，a 5+a6 成等比数列a1+a2=324，a 3+a4=36，该等比数列的公比 q= =则 a5+a6=（a 3+a4） =4故答案为：4【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题12一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b%，则 n 年后这批设备的价值为 a（1b% ） n【考点】数列的应用 【专题】计算题；应用题【分析】根据题意可知第一年后，第二年后等等每年的价值成等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得答案【解答】解：依题意可知第
19、一年后的价值为 a（1 b%） ，第二年价值为 a（1b%） 2，依此类推可知每年的价值成等比数列，首项 a（1b%）公比为 1b%，进而可知 n 年后这批设备的价值为 a（1b%） n 故答案为a（1b%） n【点评】本题主要考查了数列的应用解题的关键是利用已知条件求得数列的通项公式13写出命题“存在 xR，x 22x30”的否定是“任意 xR，x 22x30”【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题 ，即可得到结论【解答】解：命题是特称命题，命题的否定是“ 任意 xR，x 22x30”，故答案为：“任意 xR，x 22x30”【点评】本题主要考查含有量词的命
20、题的否定，根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键14函数 f（x）= 在 x=4 处的切线方程 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求出函数 f（x）在点 x=4 处的导数，也就是切线的斜率，求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可【解答】解：f（x）= ，f（x）= ，x=4 时，f （4 ）= ，f（ 4）=2，函数 f（x）= 在 x=4 处的切线方程为 y2= （x 4） ，即 故答案为： 【点评】本题主要考查了导数的几何意义：导数在一点处的导数值即为该点处切线的斜率的应用，属于基础试题15已知函数 ，那么
21、= 【考点】函数的值 【专题】计算题；压轴题【分析】根据所求关系式的形式可先求 f（ ） ，然后求出 f（x）+f（ ）为定值，最后即可求出所求【解答】解： ，f（ ）=f（ x）+f（ ）=1f（ 2）+f（ ）=1 ，f （3）+f（ ）=1，f （4）+f（ ）=1，f（1）= =故答案为：【点评】本题主要考查了函数的值的求解，找出规律进行解题可简化计算，当项数较少时也可逐一进行求解，属于基础题16沿对角线 AC 将正方形 ABCD 折成直二面角后，AB 与 CD 所在的直线所成的角等于 60【考点】异面直线及其所成的角 【专题】空间角【分析】取 AC、BD、BC 的中点依次为 E、F、
22、G ，连接 BD、EF 、EG 、FG，则 FGCD，EG AB，FGE为异面直线 AB 与 CD 所成的角，由此能求出结果【解答】解：如下图，取 AC、BD、BC 的中点依次为 E、F 、G ，连接 BD、EF 、 EG、FG ，则 FGCD，EGAB，故FGE 为异面直线 AB 与 CD 所成的角（或其补角） ，设正方形的边长为 2 个单位，则 FG=1，EG=1，EF=1，从而FGE=60，故答案为：60【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维培养17如图，在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中， = ， = ， = ，则 （ ）=1【考点】平面
23、向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】利用正六边形的性质和数量积的性质即可得出【解答】解：由正六边形的性质和数量积的性质可得 =11cos60= ， = = （ ）= = =1故答案为：1【点评】本题考查了正六边形的性质和数量积的性质，属于基础题三、解答题（本大题共 5 小题，共 65 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18阅读如图所示的程序框图（1）写出函数 y=f（x）的解析式；（2）由（1）中的函数 y=f（x）表示的曲线与直线 y=1 围成的三角形的内切圆记为圆 C，若向这个三角形内随机投掷一粒黄豆，求这粒黄豆落入圆 C 的概率【考点】程序框图 【专题】函数的性质
24、及应用；概率与统计；算法和程序框图【分析】 （1）由已知中的程序框图，分析两条分支上的语句，可得函数的解析式；（2）求出数 y=f（x）表示的曲线与直线 y=1 围成的三角形面积，及其内切圆的面积，代入由几何概型概率计算公式，可得答案【解答】解：（1）由已知中的程序框图可得：函数 y=f（x）= ，（2）如图所示：当 y=1 时，A 点坐标为（ 1，1） ，B 点坐标为：（1，1） ，故 OA=OB= ，AB=2，则OAB 的面积 S= =1，OAB 的内切圆半径 r= = ，故圆 C 的面积为： =（3 2 ），故向这个三角形内随机投掷一粒黄豆，求这粒黄豆落入圆 C 的概率 P=（32 ）
25、【点评】本题考查的知识点是分段函数，程序框图和几何概率，是算法，函数和概率的综合应用，难度中档19已知点 P（x，y）在圆 x2+y26x6y+14=0 上（1）求 的最大值和最小值；（2）求 x2+y2+2x+3 的最大值与最小值【考点】圆方程的综合应用 【专题】转化思想；数形结合法；直线与圆【分析】 （1）求得已知圆的圆心和半径，设 k= ，即 kxy=0，则圆心到直线的距离 dr，加上即可得到最值；（2）x 2+y2+2x+3=（x+1 ） 2+y2+2 表示点（x，y）与 A（1，0）的距离的平方加上 2，连接 AC，交圆 C于 B，延长 AC，交圆于 D，可得 AB 最短，AD 最长
26、，加上即可得到所求最值【解答】解：（1）圆 x2+y26x6y+14=0 即为（x3） 2+（ y3） 2=4，可得圆心为 C（3，3） ，半径为 r=2，设 k= ，即 kxy=0，则圆心到直线的距离 dr，即 2，平方得 5k218k+50，解得 k ，故 的最大值是 ，最小值为 ；（2）x 2+y2+2x+3=（x+1 ） 2+y2+2表示点（x，y）与 A（1，0）的距离的平方加上 2，连接 AC，交圆 C 于 B，延长 AC，交圆于 D，可得 AB 为最短，且为|AC|r= 2=3，AD 为最长，且为|AC|+r=5+2=7，则 x2+y2+2x+3 的最大值为 72+2=51，x2
27、+y2+2x+3 的最小值为 32+2=11【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，根据圆心到直线的距离和半径之间的关系以及连接圆外一点与圆心的直线与圆的交点，取得最值是解决本题的关键20 （13 分）数列a n（nN *）中，a 1=a，a n+1 是函数 的极小值点（）当 a=0 时，求通项 an；（）是否存在 a，使数列a n是等比数列？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】数列与函数的综合 【专题】综合题；压轴题【分析】 （I）当 a=0 时，a 1=0，则 3a11 2由 fn（x）=x 2（3a n+n2）x+3n 2an=（x3a n） （x n2）=0，得x
28、1=3an，x 2=n2由函数的单调性知 fn（x）在 x=n2 取得极小值所以 a2=12=1因为 3a2=32 2，则，a3=22=4，因为 3a3=123 3，则 a4=3a3=34，又因为 3a4=364 2，则 a5=3a4=324，由此猜测：当 n3 时，an=43n3然后用数学归纳法证明：当 n3 时，3a nn 2（）存在 a，使数列a n是等比数列事实上，若对任意的 n，都有 3ann 2，则 an+1=3an要使3ann 2，只需 对一切 nN*都成立当 x2 时，y0，从而函数 在这2 ，+）上单调递减，故当 n2 时，数列 bn单调递减，即数列 bn中最大项为 于是当
29、a 时，必有 由此能导出存在 a，使数列a n是等比数列，且 a 的取值范围为 【解答】解：（I）当 a=0 时， a1=0，则 3a11 2由题设知 fn（x）=x 2（3a n+n2）x+3n 2an=（x3a n） （xn 2） 令 fn（x）=0，得 x1=3an，x 2=n2若 3ann 2，则当 x3a n 时，f n（x）0，f n（x）单调递增；当 3anxn 2 时，f n（x）0，f n（x）单调递减；当 xn 2 时，f n（x）0，f n（x）单调递增故 fn（x）在 x=n2 取得极小值所以 a2=12=1因为 3a2=32 2，则，a 3=22=4因为 3a3=12
30、3 2，则 a4=3a3=34，又因为 3a4=364 2，则 a5=3a4=324，由此猜测：当 n3 时，a n=43n3下面先用数学归纳法证明：当 n3 时，3a nn 2事实上，当 n=3 时，由前面的讨论知结论成立假设当 n=k（k3）时，3a kk 2 成立，则由（2）知，a k+1=3akk 2，从而 3ak+1（k+1） 23k 2（k+1） 2=2k（k2）+2k10，所以 3ak+1（k+1 ） 2故当 n3 时，3a nn 2 成立于是，当 n3 时， an+1=3an，而 a3=4，因此 an=43n3综上所述，当 a=0 时，a 1=0，a 2=1，a n=43n3（
31、n3） （）存在 a，使数列a n是等比数列事实上，若对任意的 n，都有 3ann 2，则 an+1=3an即数列a n是首项为 a，公比为 3 的等比数列，且an=a3n3而要使 3ann 2，即 a3nn 2 对一切 nN*都成立，只需 对一切 nN*都成立记 ，则 ， 令 ，则 因此，当 x2 时， y0，从而函数 在这2，+）上单调递减，故当 n2 时，数列 bn单调递减，即数列 bn中最大项为 于是当 a 时，必有 这说明，当 时，数列 an 是等比数列当 a= 时，可得 ，而 3a2=4=22，由（3）知， f2（x）无极值，不合题意，当 时，可得 a1=a，a 2=3a，a 3=
32、4，a 4=12，数列a n不是等比数列当 时，3a=1=1 2，由（3）知，f 1（x）无极值，不合题意当 时，可得 a1=a，a 2=1，a 3=4，a 4=12，数列a n不是等比数列综上所述，存在 a，使数列a n是等比数列，且 a 的取值范围为 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用21 （14 分）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件 300 元现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售问：（1）商场要获取
33、最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的 75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【考点】函数模型的选择与应用；一元二次不等式的应用 【专题】应用题【分析】 （1）先设购买人数为 n 人，羊毛衫的标价为每件 x 元，利润为 y 元，列出函数 y 的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；（2）由题意得出关于 x 的方程式，解得 x 值，从而即可解决商场要获取最大利润的 75%，每件标价为多少元【解答】解：（1）设购买人数为 n 人，羊毛衫的标价为每件 x 元，利润为 y
34、 元，则 x（100，300n=kx+b （k0） ，0=300k+b，即 b=300k，n=k（x 300）y=（x100 ）k（x300）=k（x200 ） 210000k（x（100，300）k 0，x=200 时，y max=10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件 200 元（2）解：由题意得，k（x100 ） （x 300）= 10000k75%x2400x+37500=0解得 x=250 或 x=150所以，商场要获取最大利润的 75%，每件标价为 250 元或 150 元（16 分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数的性质及函数的最值，考查运
35、算求解能力与转化思想属于基础题22 （14 分）设有半径为 3km 的圆形村落，A、B 两人同时从村落中心出发B 一直向北直行；A 先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝 B 所在的方向前进（1）若 A 在距离中心 5km 的地方改变方向，建立适当坐标系，求：A 改变方向后前进路径所在直线的方程（2）设 A、B 两人速度一定，其速度比为 3：1，且后来 A 恰与 B 相遇问两人在何处相遇？（以村落中心为参照，说明方位和距离）【考点】直线和圆的方程的应用 【专题】综合题；直线与圆【分析】 （1）建立坐标系，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于 5，即可求得直线方程
36、；（2）先确定 PQ 的斜率，设出直线方程，利用 PQ 与圆 O 相切，直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两个相遇的位置，即可求得结论【解答】解：（1）建立如图坐标系，则 P（5，0） ，设直线方程为 y=k（x 5） （k0） ，由圆心到直线的距离等于 5，可得k= ，k0 ，k=A 改变方向后前进路径所在直线的方程为 ；（2）由题意可设 A、B 两人速度分别为 3v 千米/小时，v 千米/ 小时，再设 A 出发 x0 小时，在点 P 改变方向，又经过 y0 小时，在点 Q 处与 B 相遇则 P、Q 两点坐标为（ 3vx0，0） ， （0，vx 0+vy0） 由|OP| 2+|OQ|2=|PQ|2 知， （3vx 0） 2+（vx 0+vy0） 2=（3vy 0） 2，即（x 0+y0） （5x 04y0）=0x0+y00， 5x0=4y0将代入 ， 又已知 PQ 与圆 O 相切，直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两个相遇的位置设直线 与圆 O：x 2+y2=9 相切，则有 ， 答：A、B 相遇点在村落中心正北距离 千米处【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题
