1、2017 届第一学期温州十校联合体高三期末考试数学学科 试题考生须知：1本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题纸。来源:一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。1.已知集合 ， ，则 （ 2|xyP)1ln(|xyQQP） A B C D|1x|2|12x|22.若复数 ，其中 为虚数单位，则 z = （ iz1i）A1 B1+ C1+ D1iiii3. “一条直线 与平面 内无数条直线异面”是“这条直
2、线与平面 平行”的 （ l）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件4. 二项式 的展开式中常数项为 （ 61()x）A B C D15205.若向量 ,且 ，则 的值是 （ (sin2,co),(1cs)ab21tanab）A B C D2586546.点 P 为直线 上任一点， ，则下列结论正确的是 （ 34yx12(5,0)(,F）A B 12|8F12|8PFC D以上都有可能|P7.设函数 ，若关于 x 的方程 恰有三个不同的实2log(),0()xf2()0fxaf数根，则实数 a 的取值范围是 （ ）A B C D 0,)(0,)(1,)1,)8.已
3、知数列 的首项 ，前 n 项和为 ，且满足 ，则满足na1nS2naS的 n 的最大值是 2100nS（ ）A8 B9 C10 D119.在 中，点 A 在 OM 上，点 B 在 ON 上，且 ， ，若OMN/ABMN2O，则终点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界）时， 的取值范Pxy 1yx围是 （ ）A B C D 1,2,3,24,310.点 P 为棱长是 2 的正方体 的内切球 O 球面上的动点，点 M 为1AB的中点，若满足 ，则动点 P 的轨迹的长度为 1CPM（ ）A B C D52458二、填空题:本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。1
4、1.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形， 各边的长度如图所示，则此几何体的体积是_，表面积是 _.12.袋中有 3 个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字 ， 2,10随机摸出一个将其上的数字记为 ，然后放回袋中，再次随机摸出1a一个，将其上的数字记为 ，依次下去，第 n 次随机摸出一个，将2其上的数字记为 记 ，则（1）随机变量 的期望 nan12是_；（2）当 时的概率是_。n13.设 是定义在 R 上的最小正周期为 的函数，且在 上)(xf 765,)63，则 _ , _.5sin,0)6()co,3fxaa1()3f14.若 的垂心 恰好为抛物线 的焦点，
5、O 为坐标原点，点 A、B 在此OAB(1,0)H2ypx抛物线上，则此抛物线的方程是_， 面积是 _。AB15.对于任意实数 和 b，不等式 恒成立，)(a |)2|1(| xaba则实数 x 的取值范围是 _。16.设有序集合对 满足： ，记(,)AB1,2345,678,AB分别表示集合 的元素个数，则符合条件 的,Card ,CardrB集合的对数是_.17.已知 A 是射线 上的动点，B 是 x 轴正半轴的动点，若直线 AB 与圆0()xy相切，则 的最小值是_.21x|A3、解答题: 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18. （本题满分 14
6、 分）已知 三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且，来源:Z_xx_k.Comcos3in0aCAbc（1 ）求角 A 的值；（2 ）求函数 在区间 的值域。()os24insfxx23,74第 11题来源:19. (本题满分 15 分)如图四边形 PABC 中， ，90PACB，现把 沿 AC 折起，使 PA 与平面 ABC 成 ，设此23,4PABCPA6时 P 在平面 ABC 上的投影为 O 点（O 与 B 在 AC 的同侧） ，（1 ）求证： 平面 PAC；/（2 ）求二面角 PBCA 大小的正切值。20. (本题满分 15 分)定义在 D 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存
7、在常数()fxxD，都有 ，则称 是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 的0M|(|fxf ()f上界。已知函数 ，321)1ax（1 ）当 时，求函数 在 D 上的上界的最小值；5,aD()f（2 ）记函数 ，若函数 在区间 上是以 3 为上界/()gxf2xyg0,)的有界函数，求实数 的取值范围。a21. (本题满分 15 分)椭圆 的离心率为 ，左焦点 F 到直线 ：21(0)xyab13l的距离为 ，圆 G： ，9x102()（1 ）求椭圆的方程；（2 ）若 P 是椭圆上任意一点，EF 为圆 N： 的任一直径，求2(1)4xy的取值范围；EF（3 ）是否存在以椭圆上点 M 为圆心
8、的圆 M，使得圆 M 上任意一点 N 作圆 G 的切线，切点为 T，都满足 ？若存在，求出圆 M 的方程；若不存在，请说明|2N理由。来源:22. (本题满分 15 分)已知数列 满足 ，na211,8nnam(1)若数列 是常数列，求 m 的值；na（2 ）当 时，求证： ；1m1n（3）求最大的正数 ，使得 对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论。4na参考答案1.C【解析】本题考查集合的基本运算. , ,所以.选 C.【备注】集合的基本运算为高考常考题型，要求熟练掌握.2.A【解析】本题考查复数的概念与运算. ,所以 .选 A.3.B【解析】本题考查充分必要条件.由一条直线 与平面 内无
9、数条直线异面,可得,这条直线与平面 平行或这条直线与平面 相交；反之,由一条直线与平面 平行可得, 这条直线 与平面内无数条直线异面.所以“一条直线 与平面 内无数条直线异面”是“这条直线与平面 平行”的必要不充分条件.选 B.4.B【解析】本题考查二项式定理.其展开式的通项公式 = ,令,可得展开式中常数项为 .选 B.【备注】二项展开式的通项公式： .5.A【解析】本题考查平面向量的数量积,二倍角公式. = .选 A.6.C【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.若 ,则点 P 的轨迹是以为焦点的双曲线,其方程为 .因为直线 是它的渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有 .选 C.7.
10、D【解析】本题考查分段函数,函数与方程.作出函数 的图象.由方程,得 或 .显然 有一个实数根 ,因此只要有两个根(不是 ),利用图象可得,实数 a 的取值范围是 .选 D.8.B【解析】本题考查等差、等比数列,数列求和.当 时, ,得 .当 时,有 ,两式相减得 .再考虑到 ,所以数列 是等比数列,故有.因此原不等式化为 ,化简得 ,得,所以 n 的最大值为 9.选 B.9.D【解析】本题考查平面向量的数量积.利用向量知识可知,点 落在平面直角坐标系中两直线 及 x 轴、y 轴围成的四边形(含边界 )内.又因为,其中 表示点 与点 Q 连线的斜率.由图形可知,所以 .选 D.10.C【解析】
11、本题考查空间几何体的相关运算.直线 DP 在过点 D 且与 BM 垂直的平面内.又点P 在内接球的球面上,故点 P 的轨迹是正方体的内切球与过 D 且与 BM 垂直的平面相交得到的小圆.可求得点 O 到此平面的距离为 ,截得小圆的半径为 ,所以以点 P 的轨迹的长度为.选 C.11. 、【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积与体积.还原出空间几何体,易知此几何体是半个圆锥.该半圆锥的底面半径为 4,高为 6,母线长 .所以该几何体的体积是,表面积是.12. 、【解析】本题考查古典概型,随机变量的数学期望.(1)可以求得随机变量 的分布列如表所示,所以 的期望为 .(2)当 时,即 ,即有
12、个 2,1 个 1,即 1 的位置有 n 种情况,所以所求的概率是 .0 1 2 4p13. 、【解析】本题考查分段函数,三角函数的性质.由于 的周期为 ,则 ,即,解得 .此时 .14. 、【解析】本题考查抛物线的标准方程与几何性质.因为焦点为 ,所以抛物线的方程是.设 ,由抛物线的对称性可知, .又因为 ,得,解得 (不妨取正值 ),从而可得 面积是 .15.【解析】本题考查基本不等式,绝对值不等式.原不等式可化为恒成立,因此只要求 的最小值.因为,所以 ,且当 时取到最小值为 2.因此有 ,解得 .16.44 对【解析】本题考查集合与元素的关系.由条件可得 .当时,显然不成立;当 时,则
13、 ,所以,符合条件的集合对有 1 对;当 时,则,所以 A 中的另一个元素从剩下 6 个数中选一个,故符合条件的集合对有对;当 时,则 ,所以 A 中的另两个元素从剩下 6 个数中选 2 个,故符合条件的集合对有 对;当 时,则 ,矛盾; 由对称性,剩下的几种情况类似,故符合条件的集合的对数是 对.17.【解析】本题考查直线与圆的位置关系.解一:设 ,则直线 AB 的方程是 .因为若直线 AB 与圆 相切,所以 ,化简得 ,利用基本不等式得 ,即 ,从而得 ,当 ,即时, 的最小值是 .解二:在 中,设 ,则利用面积可得 ,得;由余弦定理得, ,即,解得 ,即有 .解三:设切点 C 点, ,则
14、,即 ,整理得,解得 ,即 的最小值是 .18.(1)因为 ,由正弦定理得 ,即；因为 ,得 ,所以 ；解得 .(2)由(1)得 ,所以 = =.因为 ,所以 ;故函数 的值域为 .【解析】本题考查三角函数的性质与最值,三角恒等变换,正弦定理.(1)由正弦定理得,所以 ,解得 .(2)由(1)得 ,经三角恒等变换得= .因为 ,所以 的值域为 .19.(1)连 AO,因为 平面 ABC,得 .又因为 ,得 平面 PAO, .因为 是 PA 与平面 ABC 的角, .因为 ,得 .在 中, ,故有 ,从而有 ,得 平面 PAC.(2)过 O 作 BC 的垂线交 CB 延长线于 G 点,连 PG,
15、则 是二面角 PBC A 的平面角.在 中,易知 ,所以(2)以 OB、OA、OP 为 x、y、z 轴,建立坐标系,可得 .可求得平面 ABC 的法向量是 ,平面 PBC 的法向量是 ；所以二面角 PBCA 大小 的余弦值是 ；即【解析】本题考查线面平行与垂直,空间向量的应用.(1)证得 , ,有 ,得 平面 PAC.(2)建立恰当的空间直角坐标系,求得平面 ABC 的法向量 ,平面PBC 的法向量是 ；所以二面角 PBC A 大小 的余弦值 ,即20.(1)因为 ,得 ,得 或 ,故可得函数 在区间 上单调递增,区间 是单调递减.因为 ,所以 ；故有上界 ,即上界的最小值是 .(2)因为 ,
16、故有函数 ；令 ,因为 ,得 .因为 在 上是以 3 为上界的有界函数,得 在 上恒成立,即 ,得 在区间 上恒成立.记 ,当 时, 单调递增,所以 ;单调递减, ,所以实数 的取值范围是 .(另解:利用函数 的最值求解.当 时,函数 在区间 上单调递增,所以只要 ,解得 ,所以 ;当 时,函数 在区间 上单调递减,在区间 单调递增,所以只要 ,解得 ,所以 ;当 时,函数 在区间 上单调递减,所以只要 ,解得 ,所以综上可知,实数 的取值范围是 .【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(1)求导得 ,故有上界 ,即上界的最小值是 .(2) ,换元法,构造函数,求导得 .21.(1)
17、由题意得 ,解得 ;所以椭圆的方程为 .(2) ,因为 ,所以 ；即 的取值范围是 .(3)设圆 M ,其中 ,则 .由于 ,则 ,即 ,代入 ,得 对圆 M 上任意点 N 恒成立.只要使 ,即 ,经检验满足 ；故存在符合条件的圆,它的方程是 .【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆的位置关系. (1)由题意求得 ,所以椭圆的方程为 .(2)求得 ,因为 ,所以 .(3)联立方程,套用根与系数的关系,存在符合条件的圆,它的方程是 .22.(1)若数列 是常数列,则 ,得 ；显然,当 时,有 .(2)由条件得 ,得 .又因为 ,两式相减得 .显然有 ,所以 与 同号,而 ,所以 ；从而有 .(3)因为 ,所以 .这说明,当 时, 越来越大,显然不可能满足 .所以要使得 对一切整数 n 恒成立,只可能 .下面证明当 时, 恒成立；用数学归纳法证明:当 时, 显然成立;假设当 时成立,即 ,则当 时, 成立.由上可知 对一切正整数 n 恒成立.因此,正数 m 的最大值是 2.【解析】本题考查数列求和.(1)若数列 是常数列,则 ,得 , .(2)作差证得 ,从而有 .(3)求得.即 对一切整数 n 恒成立,只可能 .用数学归纳法,证得正数 m 的最大值是 2.
