1、2017 届广东七校联合体高三上学期联考（二）数学（理）试题一、选择题1设集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是0,1A|BxaABa（ ）A B a1C D0【答案】B【解析】试题分析： ,故选 B.,aA【考点】集合及运算.2命题：“ ，使 ”，这个命题的否定是（ ）0x02xA ，使 B ，使1a0x21xaC ，使 D ，xx【答案】B【解析】试题分析：特称命题的否定,将原命题中的存在量词 改为全称量词 ,并将结论否定,故选 B.【考点】命题及其关系.3已知 （其中 均为实数， 为虚数单位） ，则 等于（ 12aibi,abiabi）A2 B C1 D1 或 2【答案】B【解析】试
2、题分析：,所以 1,210,211 baabiabbia 或解 得,故选 B.2i【考点】复数的四则运算.4设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于nanS423a74S（ ）A B 74145C7 D14【答案】C【解析】试题分析：,故选 C.7427,2,2 1141434 aaSaa则【考点】等差数列的通项公式即前 项和.n5若函数 的零点在区间 上，则 的取值范围是（ ）2xf0,A B 1,2,1C D,【答案】C【解析】试题分析： 单调递增,xf,故选 C. 210210aaf 解 得【考点】零点存在性定理.6函数 的图象向右平移 个单位后，与函数cos2yx的图像重
3、合，则 （ ）in6A B 126C D3512【答案】C【解析】试题分析： 向右平移 个单位后,得到xycos， 2in22cos xy,故选 C.3,6解 得Zk【考点】三角函数图象变换.7等差数列 和等比数列 的首项都是 1，公差公比都是 2，则 （ nanb135ab）A64 B32 C256 D4096【答案】D【解析】试题分析：,故 409621,2,121 18495153 bbna ann选 D.【考点】等比数列和等差数列的通项.8由曲线 ，直线 所围成的平面图形的面积为（ ）1xy,y3xA B3292lnC D4ln4【答案】D【解析】试题分析： ,故选 D.3ln42ln
4、3213131 xdxS【考点】定积分的应用.9已知 是 所在平面内一点， ，现将一粒黄豆随机撒在PABC20PBCA内，则黄豆落在 内的概率是（ ）A B 1413C D22【答案】C【解析】试题分析：以 为邻边作平行四边形 ,则PC, PBDC,20,PBBA,即 是 边 上的中线 的中点,点 到 的距离等于2DAO到 的距离的 , ,因此所求概率为 ,故选 C.C1ABCPBS2121ABCPS【考点】1.几何概型；2.平面向量的运算.【思路点睛】本题考查学生的是几何概型的概率求法与平面向量相结合的交汇处,属于基础题目.根据向量加法的平行四边形法则,结合共线向量的充要条件,得到点 是P边
5、 上的中线 的中点,再根据几何概型公式,将 面积与 的面ABCAOBCA积相除可得到本题的答案.几何概型通常是事件构成的区间长度与基本事件构成的区间长度之比.10把 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且,ABCD两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）A36 种 B30 种 C24 种 D18 种【答案】B【解析】试题分析：分两步进行分析:先计算把 四件玩具分给三个小朋友,每DCBA,位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将 件玩具分成 组,其中 组有 件,剩4312余 组各 件,有 种分组方法,再将这 组对应三个小朋友,有 种方法,则21624C363A有 种情况；
6、计算 两件玩具分给同一个人的分法数目,若 两件玩具36BAB分给同一个人,则剩余的 件玩具分给其他 人,有 种情况.综上可得,22213C两件玩具不能分给同一个人的不同分法有 种,故选 B.BA 06【考点】排列组合的应用.11若 ，且 ，则 的可能取值是（ 0,2xytan23txyx）A B 14C D3712【答案】A【解析】试题分析：,则 的 2,tan.0,2,0 yxuyxyx 设 u值域是 .R,记2231tan1t2tata,3tan32t uyxyxyxuyx 为,当3120;tan0,31ta2 uwuyxwuyxw 时 ，时 ，且仅当 时取等号,3u,故选 A. yxyx
7、yx650,3tan3或【考点】1.两角和与差的正切公式；2.基本不等式.【思路点晴】本题主要考查学生的是三角函数的应用问题,属于中档题目.其中设得到 是本题的解题关键.先根据已知求出,tanuyx,312tanuyxw的范围,再通过令 的整体代换,找到和要求的 的关yxwtan系,即把 变形成为关于 的函数形式,通过基本不等式放缩求出最值,并验证取等条件.12已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆PlnfxQ上任意一点，则线段 的长度的最小值为（ ）21xeyPA B 2e21eC D21e【答案】C【解析】试题分析：由圆的对称性知,只需考虑圆心 到 图象上0,1eCxfln一点距离的最
8、小值.设函数 图象上任一点 ,xflntfftP1,ln.即经过 的切线斜率为 ,由切线垂直于直线 ,所以Pt1.不妨设 ，01ln,10ln2teet化 简 得 21lngxex则 为增12,230,2,3gxexxx 时 ， 在函数,又 ,即当 时线段 长度最小,为0ln21,ePQ,故选 C.ee221【考点】1.求切线方程；2.函数的单调性；3.两点间距离公式.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上任意一点的切线方程,属于中档题.由圆心到圆上任意一点的距离为 ,本题转化为圆心 到函数 上10,1eCxfln一点距离的最小值,由导数的几何意义,求出切线斜率为 ,由两直线垂直的条件,
9、求出t1,判断函数 的单调性,求出零点,再由01ln2tet xexgln2两点间距离公式求出最小值.13已知函数 ，且 2sin02fx23f（1）求 的值；（2）若 ，求 8,5ff6f【答案】(1) ；(2) .624【解析】试题分析：(1)由 又 ,可得 ；(2),23sinf 06由 ,利用两角和与差的正弦公式化简可得 ,结合58f 54cos,求出 ,利用二倍角公式化简 ,即可得203sinsin62f解.试题解析：解：（1） ， ，2sin3fsi13 ， ， ，解得： 4025626分（2）由（1）知： ， ，sin6fx 2sin2i2sin2sin666ff2sincois
10、icoi6842s5 8 分cos5 ， 10 分0,2 2243sin1cos15 3482sin22sin4icos6652f 12 分【考点】1.特殊角的三角函数求值；2.两角和与差的正弦公式.【方法点睛】本题主要考查的是特殊角的三角函数值,两角和与差的正弦公式,同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式,属于中档题.解本题需要掌握的基本公式有:等,在求 sinsi,1cosin,cosinsi 22 三角函数值时,要注意先根据已知判断出角的范围,再确定函数值的正负.二、填空题14 的值等于_2204xd【答案】 【解析】试题分析： ,其中 表202020244xddx dx204示半径
11、为 的圆的面积的 , , ,因此1011原式等于 ,故填 .2【考点】定积分的计算.15已知实数 满足 ，若目标函数 的最大值为 ，最小值为,xy02xyzxya，则 _ba【答案】 1【解析】试题分析：画出不等式组表示的区域如图,可知当直线 经过点zxy时,直线在 轴的截距最大, 最小,即 ;当直线 经过点0Byz10b时,直线在 轴的截距最小, 最大,即 ,所以 ,故填 .2A 2a1ba【考点】线性规划.16如图，正六边形 的边长为 1，则 _ABCDEFACDB:【答案】 23【解析】试题分析：连接 ,则 是等边三角形, 的夹角为BFDDBF与,即 的夹角为FAC,10与,ACB 3,
12、120cos1222,故填 .0cos33【考点】平面向量数量积的运算.【方法点晴】本题考查学生的主要是平面向量数量积的运算,属于基本题目.熟练的掌握正六边形的性质和余弦定理,数量积的定义,向量的夹角公式,是解决本题的关键.连接 ,利用正六边形的性质和余弦定理,可得出 与 的夹角为 ,BFDACFDB120且 ,再利用数量积的定义即可得到 的值,在求向量夹角时要注意向量3ACB的起点相同.17已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值2fxa1,2x2fxa范围是 _【答案】 5,1【解析】试题分析： 即22,2, 33 axxfaxfx 可 得由时 ，,ax2设 ,当 时, ,即 递减,可
13、得2xgg则 10xgx,即 ；设 ,当5min 5a22hh时, ,即 递减,可得 ,即 .综上可得:21x0xhmin1a,故填 .a1【考点】1.存在性问题；2.导数的应用.【方法点晴】本题考查学生的是存在性问题以及导数在函数问题中的应用,属于难题.解决本题的关键是在 的前提下,把绝对值外的变量 乘到绝对值里,整体去掉2xx绝对值,通过常用的解决恒成立和有解类型问题的方法,参变分离,转化为函数的最值问题,分别构造函数 ,求导判断单调性求出最值,解不等式即可得到 的范围.xhg和 a三、解答题18设数列 的前 项之积为 ，且 nanT*21log,nN（1）求数列 的通项公式；n（2）设
14、，数列 的前 项之和为 若对任意的 ，*1baNnbnS*n总有 ，求实数 的取值范围1nS【答案】(1) ；(2) .12n2【解析】试题分析：(1)由 ,再由 可21*,1lognnTNT得 1nTa得数列 的通项公式；(2)先求出na,再根据对任意的 ,可nnnSS 212,1212,*nN得 的取值范围.试题解析：解：（1）由 ，得 ，*2log,nTN12nT所以 ，12*,nTN所以 122 1*21 ,2nnna Nn又 ，所以 6 分01T1*,na（2）由 ，得 ，12nnb21nnnS:所以 ，11 12n nn nS因为对任意的 ，故所求的 取值范围*,2nNl是 12
15、分,2【考点】1.等比数列的通项公式和性质；2.等比数列求和.19在长方体 中， 分别是 的中点， ，1ABCD,EF1,AD2ABC过 三点的的平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体1ACB、 、，且这个几何体的体积为 1D403（1）求证： 平面 ；/EF1ABC（2）求 的长；1（3）在线段 上是否存在点 ，使直线 与 垂直，如果存在，求线段P1ACD的长，如果不存在，请说明理由1AP【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) .41A291P【解析】试题分析：(1)证得 是平行四边形,得出线线平行,利用线面平行的判1DBC定定理证明命题成立；(2)利用等体积转化 ,求出111 C
16、BADCBADCABVV；(3)在平面 中作 ,过 作41A1 Q于交1,推出 ,证明 ,推出 相似于1/PBCQ于交 AP11,求得 .DRt1291试题解析：解：（1）在长方体 中，可知 ，1BCD11/,ABDC由四边形 是平行四边形，所以 .因为 分别是 的中点，1ABC/A,EF所以 ，则 ，/DEF1/又 面 面 ，则 平面 4 分1,BC/1BC（2） 11111102233ABCDABCDBACVVA， 8 分14A（3）在平面 中作 交 于 ，过 作 交 于点 ，1CD1QC1Q/PCB1P则 . 1P因为 平面 平面 ， ，而A1,1D11A， ，/,/QCBD1/QPA又
17、 ， 平面 ,11C1且 平面 ， ，AP1 ， ， ，又 ，11DCQRt:1QD1C/PQBC42PB四边形 为直角梯形，且高 ，1A15 12 分21 95【考点】1.线面平行的判定定理；2.等体积求点线距；3.三角形相似.20如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ，其中 是半ABCDMN径为 1 百米的扇形， 管理部门欲在该地从 到 修建小路：在弧3ABC上选一点 （异于 两点） ，过点 修建与 平行的小路 问：点MNP,MNPPQ选择在何处时，才能使得修建的小路 与 及 的总长最小？并说明理由Q【答案】 时,总长最小.BCP【解析】试题分析：由题意, ,过 分别作 的
18、垂线,在直角三角形EABQP于交 QBC中用 表示线段长度,将总长最小转化为三角函数的最值问题,对函数求导判断单1调性,得出在 时,总长最小.试题解析：解：连接 ，过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ，11P11Q设 ，120,3PBMP若 ，在 中， ，1RtB11sin,cosB若 ，则 ，21sin,co若 ，则 ，31scsP 4 分cosinPQ在 中， ,1RtB11323si,CQsin,sinP6 分23sinDQ所以总路径长 ， 8 24cos3in03f分 10 分sin3cos12in13f 令 ，当 时， ，0,f0f当 时， 11 分230f所以当 时，总路径最短答：当
19、 时，总路径最短 12 分BPC【考点】三角函数的实际应用.21已知函数 22lnfxxa（1）当 时，求 在点 处的切线方程；af1,f（2）当 时，设函数 ，且函数 有且仅有一个零点，若02gxxgx，ex，求 的取值范围gm【答案】(1) ；(2) .043yxem32【解析】试题分析：(1) 时,对 求导, ,切点为 ,因此切1axf31fk1线方程是 ；(2)令 分离变量得 ,构造043yx,0xgxaln21,求导判断单调性可得, 在 递增, 递减,且 ,因hln21xh1h此 有一个交点,可得出 ,又 在 恒成立,因此对xhya与 1agme2求导,求出最大值,即可得 的范围.x
20、g试题解析：解：（1）当 时， 定义域为 ，a22lnfxx0, 3 分2ln2fxx ，又 在 处的切线方131,ff1,f程 4 分40xy（2）令 ，则 ，即20gfx22lnxax，令 ， 6 分1lna:1h:则 ， 7 分222llnxxhx令 ， 在 上是减1ln,1tt 0,ttx,函数，又 ，所以当 时， ，当 时，0thxh1，0hx所以 在 上单调递增，在 上单调递减，,11, ，因为 ，所以当函数 有且仅有一个零点时，max0agx 9 分当 ，若 ，只需证明221,lngxx2,em，max，令 得 或 ，又 ，132lngx0g1x32e2xe函数 在 上单调递增，
21、在 上单调递减，在 上单调递增，x,e32,e1,又 ，332221,gge ， 3 22max, 3gege 23me 12 分【考点】1.函数的零点；2.导数的应用.【思路点睛】本题主要考查导数在研究函数中的运用以及零点问题,属于中档题.第一问将 代入 ,由导数的几何意义得到 就是切线斜率,由直线点斜式可求1axf 1f出切线方程；第二问把题中给的函数零点问题转化为了方程的根个数问题,再进一步转化为两个函数的交点个数问题,通过判断单调性,画出函数大致图象,确定出 的值代入a中,进一步把恒成立转化为最值,求出参数范围.xg22选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 （ 为参
22、数，实数 ，曲线xOy1cos:inxaCy0a（ 为参数，实数 ） 在以 为极点， 轴的正半轴为极轴2cos:inbCy0bOx的极坐标系中，射线 与 交于 两点，与 交于:,2l 1CA、 2C两点当 时， ；当 时， OB、 01OAB（1）求 的值；,ab（2）求 的最大值2AB:【答案】(1) ；(2) .1,2【解析】试题分析：(1)将 化为普通方程,再化为极坐标方程,从而求出 的值；Cba,(2)根据 的极坐标方程,将 用三角函数表示,根据化一公式,转21COBA2化为三角函数的最值问题.试题解析：解：（1） 的普通方程为： ，其极坐标方程为122xay，2cosa由题可得当 时
23、， ， ， 2 分0OA12的普通方程为： ，其极坐标方程为 ，2C22xybsinb由题可得当 时， ， 5 分B1（2）由可得 的方程分别为 ，12, cos,2i22cosincosi2cos12sin14OAB :， ， 的最大值为 ，52,42si14当 时取到 10 分,8【考点】1.参数方程与普通方程互化；2.三角函数的最值.23选修 4-5：不等式选讲已知函数 的最大值为 12fxxk（1）求 的值；k（2）若 ，求 的最大值22,acbRbac【答案】(1) ；(2) .k【解析】试题分析：(1)对函数 零点分段写出解析式,画出函数图象,可知在xf时取到最大值 ；(2)1x2,分别根据重要不等式42 222cbacbabca放缩,可求得最大值.试题解析：解：（1）由于 ，所以3,1,xf 5 分max12kff（2）由已知 ，有 ，2cb224abc因为 （当 取等号） ， （当 取等号） ，2a2b所以 ，即 ，24bcabc2c故 10 分max【考点】1.分段函数的最值；2.基本不等式.
