1、2016-2017 学年山西省太原五中高三(下)3 月月考数学试卷(文科)一、选择题1 设集合 U=0,1,2,3,4,5,A=1,2,B=xZ |x25x+40,则( UA)( UB)=( )A0 ,1 ,2 ,3 B 5 C1,2,4 D0,4,52已知复数 z 满足(z+i )( 12i)=2,则复数 z 在复平面内的对应点所在象限是( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知 , 是两个不同平面,直线 l,则“”是“l” 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松
2、日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输出的 n 等于( )A2 B3 C4 D55若向量 , 满足| |=1,| |= ,且 ,则 与 的夹角为( )A B C D6如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A9 +16 B9+18 C12+18 D18+187函数 y=ln|x|x2 的图象大致为( )A B C D8已知函数 f(x)=sin(x+)的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x轴的交点,过点 C 的直线与该图象交于 D,E 两点,则( + )( )的值为(
3、)A 1 B C D29等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若公差 d0,( S8S5)(S 9S5)0,则( )A|a 7|a 8| B|a 7|a 8| C|a 7|=|a8| D|a 7|=010长方体 ABCDA1B1C1D1 中, ,点 N 是平面A1B1C1D1 上的点,且满足 ,当长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积最大时,线段 MN 的最小值是( )A B8 C D11已知双曲线 ,双曲线 的左、右焦点分别为 F1,F 2,M 是双曲线 C2 的一条渐近线上的点,且 OMMF 2,O 为坐标原点,若 ,且双曲线 C1,C 2 的离心率相同,则双曲线 C2 的实轴长是( )
4、A32 B16 C8 D412已知函数 f(x )= ,x0,e 为自然对数的底数,关于 x 的方程 +=0 有四个相异实根,则实数 的取值范围是( )A(0, ) B(2 ,+) C(e + ,+) D( + ,+)二、填空题13设 f(x)为定义在( 3,3)上的奇函数,当3x0 时,f (x)=log2(3+x),则 f(0)+f(1 14给定区域 D: 令点集 T=(x 0,y 0)D |x0,y 0Z,(x 0,y 0)是z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点,则 T 中的点共确定 条不同的直线15过抛物线 C:y 2=4x 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,点
5、 M(1,2),若 ,则直线 l 的斜率 k= 16艾萨克牛顿(1643 年 1 月 4 日 1727 年 3 月 31 日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数 f(x )零点时给出一个数列 xn:满足 ,我们把该数列称为牛顿数列如果函数 f(x )=ax 2+bx+c(a0)有两个零点 1,2,数列xn为牛顿数列,设 ,已知 a1=2,x n2,则a n的通项公式 an= 三、解答题17(12 分)某校园内有一块三角形绿地 AEF(如图 1),其中AE=20m,AF=10m,EAF= ,绿地内种植有一呈扇形 AMN 的花卉景观,扇形
6、 AMN 的两边分别落在 AE 和 AF 上,圆弧 MN 与 EF 相切于点 P(1)求扇形花卉景观的面积;(2)学校计划 2017 年年整治校园环境,为美观起见,设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形 ABCD(如图 2),其中BAD= ,并种植两块面积相同的扇形花卉景观,两扇形的边都分别落在平行四边形 ABCD 的边上,圆弧都与 BD相切,若扇形的半径为 8m,求平行四边形 ABCD 绿地占地面积的最小值18(12 分)某河流上的一座水利发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河流上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关据统计,当X=70 时,Y=460 ;X 每增加 10,Y
7、 增加 5已知近 20 年的 X 值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220, 200,110,160,160,200,140, 110, 160,220,140,160()完成如下的频率分布表:近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220频率()求近 20 年降雨量的中位数和平均降雨量;()假定 2014 年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求 2014 年六月份该水力发电站的发电量不低于 520(万千瓦时)的概率19(12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,ADBC,ADC=
8、PAB=90,BC=CD= AD=1,E 为棱 AD 的中点,异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 ()证明:CD平面 PAD;()若二面角 PCDA 的大小为 45,求几何体 CPBE 的体积20(12 分)设椭圆 M: 的离心率为 ,点 A(a,0),B(0 ,b),原点 O 到直线 AB 的距离为 (I)求椭圆 M 的方程;()设点 C 为(a ,0),点 P 在椭圆 M 上(与 A、C 均不重合),点 E 在直线 PC 上,若直线 PA 的方程为 y=kx4,且 ,试求直线 BE 的方程21(12 分)已知函数 g(x)=x 2+ln(x+a),其中 a 为常数(1)讨论函数 g
9、(x)的单调性;(2)若 g(x)存在两个极值点 x1,x 2,求证:无论实数 a 取什么值都有选考题:(共 1 小题,共 10 分)请考生在 22、23 中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修 4-4:坐标系与参数方程22(10 分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位,已知圆 C 的参数方程为 ( 为参数),直线 l 的极坐标方程为 = ,点 P 在 l 上(1)过 P 向圆 C 引切线,切点为 F,求|PF |的最小值;(2)射线 OP 交圆 C 于 R,点 Q 在 OP 上,且满足|OP |2=|OQ|OR|,求 Q
10、点轨迹的极坐标方程选修 4-5:不等式选讲23(10 分)已知 f(x)=|x +a|,g (x )=|x+3|x,记关于 x 的不等式 f(x)g (x)的解集为 M(1)若 a3M,求实数 a 的取值范围;(2)若1,1 M,求实数 a 的取值范围2016-2017 学年山西省太原五中高三(下)3 月月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题 1 设集合 U=0,1,2,3,4,5,A=1,2,B=xZ |x25x+40,则( UA)( UB)=( )A0 ,1 ,2 ,3 B 5 C1,2,4 D0,4,5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简集合 B,根据补集与交集的定义进行
11、计算即可【解答】解:全集 U=0,1,2,3,4,5,集合 A=1,2,B=x|x25x+40 ,x U=x|1x 4,xU =2,3, UA=0,3 ,4,5 ,UB=0,1 ,4,5 ,集合( UA)( UB)= 0,4,5故选:D【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目2已知复数 z 满足(z+i )( 12i)=2,则复数 z 在复平面内的对应点所在象限是( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:由(z+i )(12i)=2,得 , 复数 z 在复平面内的对应点的坐
12、标为( ),所在象限是第四象限故选:D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题3已知 , 是两个不同平面,直线 l,则“”是“l” 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】, 是两个不同平面,直线 l,则“”“l”,反之不成立即可得出结论【解答】解:, 是两个不同平面,直线 l,则“”“l”,反之不成立, 是两个不同平面,直线 l,则“”是“l” 的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查了线面面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于
13、中档题4宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输出的 n 等于( )A2 B3 C4 D5【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:当 n=1 时,a= ,b=4,满足进行循环的条件,当 n=2 时,a= ,b=8 满足进行循环的条件,当 n=3 时,a= ,b=16 满足进行循环的条件,当 n=4 时,a= ,b=32 不满足进行
14、循环的条件,故输出的 n 值为 4,故选 C【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答5若向量 , 满足| |=1,| |= ,且 ,则 与 的夹角为( )A B C D【考点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的运算【分析】由题意可得 =0,即 1+1 cos =0,由此求得cos 的值 即可求得 的值【解答】解:由题意可得 =0,即 =0,1+1 cos=0 解得 cos = 再由 0, ,可得 = ,故选 C【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量夹角公式的应用,属于基础题6如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某
15、几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A9 +16 B9+18 C12+18 D18+18【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知:该几何体是由上下两部分组成的,上面是一个倒立的四棱锥,下面是一个圆柱【解答】解:由三视图可知:该几何体是由上下两部分组成的,上面是一个倒立的四棱锥,下面是一个圆柱该几何体的体积=3 22+=18+18故选:D【点评】本题考查了圆柱与圆锥的三视图及其体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题7函数 y=ln|x|x2 的图象大致为( )A B C D【考点】函数的图象【分析】先判断函数为偶函数,再根据函数的单调性即可判断【解答】解:令 y=f(x)
16、=ln|x |x2,其定义域为( ,0)(0,+),因为 f( x)=ln |x|x2=f(x),所以函数 y=ln|x|x2 为偶函数,其图象关于 y 轴对称,故排除 B,D,当 x0 时,f(x)=lnxx 2,所以 f(x)= 2x= ,当 x(0, )时,f(x)0,函数 f(x)递增,当 x( ,+)时,f(x)0,函数 f(x )递减,故排除 C,方法二:当 x+时,函数 y0,故排除 C,故选:A【点评】本题考查了函数的图象的识别,关键掌握函数的奇偶性和函数的单调性,属于中档题8已知函数 f(x)=sin(x+)的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x轴的交点,过点 C 的
17、直线与该图象交于 D,E 两点,则( + )( )的值为( )A 1 B C D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】可求出 f(x)的周期为 2,从而得出 ,根据正弦函数的对称性可知,点 C 为 DE 的中点,从而 ,并且 ,代入进行数量积的运算即可【解答】解:f(x)=sin(x+)的周期为 2; ;D,E 关于点 C 对称;C 是线段 DE 的中点;=2故选 D【点评】考查三角函数周期的计算公式,正弦函数的对称中心,以及向量加法的平行四边形法则,向量加法的几何意义9等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若公差 d0,( S8S5)(S 9S5)0,则( )A|a 7|a 8| B|a 7
18、|a 8| C|a 7|=|a8| D|a 7|=0【考点】等差数列的性质【分析】根据题意,由(S 8S5)(S 9S5)0 分析可得(a 6+a7+a8)(a 6+a7+a8+a9)0,结合等差数列的性质可得(a 6+a7+a8)(a 6+a7+a8+a9)0 a7(a 7+a8)0,又由a n的公差 d0,分析可得 a70,a 80,且|a 7|a 8|;即可得答案【解答】解:根据题意,等差数列a n中,有(S 8S5)(S 9S5)0,即(a 6+a7+a8)(a 6+a7+a8+a9)0,又由a n为等差数列,则有(a 6+a7+a8)=3a 7,(a 6+a7+a8+a9)=2 (a
19、 7+a8),(a 6+a7+a8)(a 6+a7+a8+a9)0a 7(a 7+a8)0,a7 与(a 7+a8)异号,又由公差 d0,必有 a70 , a80 ,且|a 7|a 8|;故选:B【点评】本题考查等差数列的性质,关键是由(S 8S5)(S 9S5)0,分析得到a7、 a8 之间的关系10长方体 ABCDA1B1C1D1 中, ,点 N 是平面A1B1C1D1 上的点,且满足 ,当长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积最大时,线段 MN 的最小值是( )A B8 C D【考点】棱柱的结构特征【分析】由题意,当长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积最大时,长方体ABCDA1B1
20、C1D1 为棱长为 4 的正方体N 的轨迹是平面 A1B1C1D1 中,以 C1 为圆心,为半径的圆的 ,设 M 在平面 A1B1C1D1 中的射影为 O,则 O 为 A1B1 的中点,ON 的最小值,即可得出结论【解答】解:由题意,当长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积最大时,长方体ABCDA1B1C1D1 为棱长为 4 的正方体N 的轨迹是平面 A1B1C1D1 中,以 C1 为圆心, 为半径的圆的 ,设 M 在平面 A1B1C1D1 中的射影为 O,则 O 为 A1B1 的中点,ON 的最小值为 ,线段 MN 的最小值是 = ,故选 C【点评】本题考查长方体的结构特征,考查学生分析解
21、决问题的能力,属于中档题11已知双曲线 ,双曲线 的左、右焦点分别为 F1,F 2,M 是双曲线 C2 的一条渐近线上的点,且 OMMF 2,O 为坐标原点,若 ,且双曲线 C1,C 2 的离心率相同,则双曲线 C2 的实轴长是( )A32 B16 C8 D4【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线 C1 的离心率,求得双曲线 C2 一条渐近线方程为 y= x,运用点到直线的距离公式,结合勾股定理和三角形的面积公式,化简整理解方程可得 a=8,进而得到双曲线的实轴长【解答】解:双曲线 的离心率为 ,设 F2(c,0 ),双曲线 C2 一条渐近线方程为 y= x,可得|F 2M|= =b,即有
22、|OM|= =a,由 ,可得 ab=16,即 ab=32,又 a2+b2=c2,且 = ,解得 a=8,b=4,c=4 ,即有双曲线的实轴长为 16故选:B【点评】本题考查双曲线的方程和性质,注意运用点到直线的距离公式和离心率公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题12已知函数 f(x )= ,x0,e 为自然对数的底数,关于 x 的方程 +=0 有四个相异实根,则实数 的取值范围是( )A(0, ) B(2 ,+) C(e + ,+) D( + ,+)【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求导数,确定函数的单调性,可得 x=2 时,函数取得极大值 ,关于x 的方程 + =0 有四个相异实根
23、,则 t+ =0 的一根在(0, ),另一根在( ,+)之间,即可得出结论【解答】解:由题意,f(x )= ,x0 或 x2 时,f (x) 0,函数单调递减,0 x2 时,f(x)0,函数单调递增,x=2 时,函数取得极大值 ,关于 x 的方程 + =0 有四个相异实根,则 t+ =0 的一根在(0, ),另一根在( ,+)之间, ,e+ ,故选:C【点评】本题考查函数的单调性,考查方程根问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题二、填空题13设 f(x)为定义在( 3,3)上的奇函数,当3x0 时,f (x)=log2(3+x),则 f(0)+f(1 1 【考点】函数奇偶性的性质【分析】
24、利用奇函数的性质即可得出【解答】解:当3x0 时,f(x )=log 2(3+x ),f( 1)=log 2(31)=1f( x)为定义在(3,3)上的奇函数,f( 1)=f( 1)= 1又函数 f(x )是奇函数,所以 f( 0)=0,所以 f( 0)+f (1)=1故答案为:1【点评】本题考查了奇函数的性质,属于基础题14给定区域 D: 令点集 T=(x 0,y 0)D |x0,y 0Z,(x 0,y 0)是z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点,则 T 中的点共确定 6 条不同的直线【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据所给的可行域,利用几何意义求最值,z=x+y 表示直线在 y
25、 轴上的截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可,从而得出点集 T 中元素的个数,即可得出正确答案【解答】解:画出不等式表示的平面区域,如图作出目标函数对应的直线,因为直线 z=x+y 与直线 x+y=4 平行,故直线 z=x+y 过直线 x+y=4 上的整数点:(4,0),(3,1),(2 ,2),(1,3)或(0,4)时,直线的纵截距最大,z 最大;当直线过(0,1)时,直线的纵截距最小,z 最小,从而点集 T=(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),(0,4),(0,1),经过这六个点的直线一共有 6 条即 T 中的点共确定 6 条不同的直线故答案为:6【点评】本题主要
26、考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题15过抛物线 C:y 2=4x 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,点 M(1,2),若 ,则直线 l 的斜率 k= 1 【考点】抛物线的简单性质【分析】求得直线 l 方程,代入抛物线的方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得 k 的值【解答】解:抛物线的方程为 y2=4x,F (1,0),设焦点弦方程为 y=k(x1 ),A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),整理得:k 2x2(2k 2+4)x+k 2=0由韦达定理:x 1+x2=2+ ,x 1x2=1,则 y1y2=4,y 1+y2= ,M( 1,2),
27、,即(x 1+1,y 12)(x 2+1,y 22)=0 ,1 2k+k2=0,k=1故答案为:1【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中档题16艾萨克牛顿(1643 年 1 月 4 日 1727 年 3 月 31 日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数 f(x )零点时给出一个数列 xn:满足 ,我们把该数列称为牛顿数列如果函数 f(x )=ax 2+bx+c(a0)有两个零点 1,2,数列xn为牛顿数列,设 ,已知 a1=2,x n2,则a n的通项公式 an= 2n 【考点
28、】数列递推式【分析】由已知得到 a,b,c 的关系,可得 f(x )=ax 23ax+2a,求导后代入,整理可得 ,两边取对数,可得是以 2 为公比的等比数列,再由等比数列的通项公式求导答案【解答】解:函数 f(x )=ax 2+bx+c(a0)有两个零点 1,2, ,解得: f( x)=ax 23ax+2a则 f(x)=2ax3a则 = = , ,则 是以 2 为公比的等比数列, ,且 a1=2,数列a n是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 ,故答案为:2 n【点评】本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,属中档题三、解答题17(12 分)(2017江苏模拟)某校园内有一块三角
29、形绿地 AEF(如图 1),其中 AE=20m,AF=10m,EAF= ,绿地内种植有一呈扇形 AMN 的花卉景观,扇形 AMN 的两边分别落在 AE 和 AF 上,圆弧 MN 与 EF 相切于点 P(1)求扇形花卉景观的面积;(2)学校计划 2017 年年整治校园环境,为美观起见,设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形 ABCD(如图 2),其中BAD= ,并种植两块面积相同的扇形花卉景观,两扇形的边都分别落在平行四边形 ABCD 的边上,圆弧都与 BD相切,若扇形的半径为 8m,求平行四边形 ABCD 绿地占地面积的最小值【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】(1)AEF 中,由余弦定
30、理可得 EF,设扇形花卉景观的半径为 r,则由 EFr=AEAFsinEAF,得到 r,即可求扇形花卉景观的面积;(2)设 AB=xm,AD=ym ,则 BD= m,由平行四边形 ABCD 的面积得8 = xy,求出 xy 的最小值,即可得出结论【解答】解:(1)AEF 中,由余弦定理可得EF= =10 m设扇形花卉景观的半径为 r,则由 EFr=AEAFsinEAF,得到 r= =m,扇形花卉景观的面积 S= = ;(2)设 AB=xm,AD=ym ,则 BD= m,由平行四边形 ABCD 的面积得 8 = xy, = , xy8 ,即 xy256,当且仅当 x=y=16 时,xy 的最小值
31、为 256,平行四边形 ABCD 的面积的最小值为 128 【点评】本题考查基本不等式的运用,考查余弦定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,难度中等18(12 分)(2014泰安一模)某河流上的一座水利发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河流上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5已知近 20 年的 X值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220, 200,110,160,160,200,140, 110, 160,220,140,160()完成如下的频率分布表:近 20 年六
32、月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220频率()求近 20 年降雨量的中位数和平均降雨量;()假定 2014 年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求 2014 年六月份该水力发电站的发电量不低于 520(万千瓦时)的概率【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布表【分析】()由近 20 年 X 的值分别查出降雨量为 110,160,220 的频数,由频数除以 20 得频率分别为 , , ,然后填入频率分布表;()直接把 20 个数值从小到大排列求中位数,由平均数公式求平均数;()由已知可知发电量与降雨量呈一次函数关系,设出
33、一次函数解析式,由X=70 时,Y=460 ;X 每增加 10,Y 增加 5 得到斜率和截距,再由 Y520 求得 X的范围,从而可知 2014 年六月份的降雨量情况,进一步求得 2014 年六月份该水力发电站的发电量不低于 520(万千瓦时)的概率【解答】解:()近 20 年降雨量为 110,160,220 的频数分别为:3、7 、2 ,由频数除以 20 得频率分别为 , , ,频率分布表如图:()20 个数从小到大排列为:70,110,110,110,140,140,140,140,160, 160,160,160,160,160,160, 200, 200,200, 220,220中位数
34、是 160; 平均降雨量 ;()由已知可设 X=70 时,Y=460 ,B=425, 当 Y520 时,由 ,解得:X 190发电量不低于 520(万千瓦时)包含降雨量 200 和 220 两类,它们彼此互斥,发电量低于 520(万千瓦时)的概率 【点评】本题考查了古典概型及其概率公式,考查了离散型随机变量的分布列,考查了频率与概率之间的关系,是基础题19(12 分)(2017 春迎泽区校级月考)如图,在四棱锥 PABCD 中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD= AD=1,E 为棱 AD 的中点,异面直线 PA与 CD 所成的角为 90 ()证明:CD平面 PAD;()若二面角 PC
35、DA 的大小为 45,求几何体 CPBE 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定【分析】()由已知异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90,知 PACD,又ADC=90,直接利用线面垂直的判定可得 CD平面 PAD;()由()知PDA 为二面角 PCDA 的平面角为 45,再由线面垂直的判定证明 PA 平面 ABCD,得 PAAD证明四边形 BCDE 为正方形,然后利用等积法求得几何体 CPBE 的体积【解答】()证明:由已知异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90,知 PACD,又ADC=90,PAAD=A,CD平面 PAD;()解:由()知,CD平面 PAD,PDD
36、C,又 ADDC,PDA 为二面角 PCDA 的平面角为 45, AD=1,AD=2,由 PA CD, PAB=90,且直线 AB 与 CD 相交,可得 PA平面 ABCD,得 PAAD在 RtPAD 中,可得 PA=2,又 ADBC,ADDC,BC=CD,四边形 BCDE 为正方形,可得 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题20(12 分)(2012包头一模)设椭圆 M: 的离心率为,点 A(a,0),B(0,b ),原点 O 到直线 AB 的距离为 (I)求椭圆 M 的方程;()设点 C 为(a ,0),点 P 在椭圆
37、M 上(与 A、C 均不重合),点 E 在直线 PC 上,若直线 PA 的方程为 y=kx4,且 ,试求直线 BE 的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程【分析】(I)由 = ,得 a= b,由点 A(a ,0),B (0,b),知直线AB 的方程为 ,由此能求出椭圆 M 的方程()由 A、B 的坐标依次为(2,0)、(0, ),直线 PA 经过点A(2 ,0 ),即得直线 PA 的方程为 y=2x4,因为 ,所以 ,由此能求出直线 BE 的方程【解答】解:(I)由 = =1 = ,得 a= b,由点 A(a,0),B(0,b ),知直线 AB 的方程为 ,于是可得直线 AB
38、的方程为 x y b=0,因此 = = ,解得 b= ,b 2=2,a 2=4,椭圆 M 的方程为 ()由(I)知 A、B 的坐标依次为(2,0)、( 0, ),直线 PA 经过点 A(2,0),0=2k4,得 k=2,即得直线 PA 的方程为 y=2x4,因为 ,所以 kCPkBE=1,即 ,设 P 的坐标为(x 0,y 0),由,得 P( ),则 ,k BE=4,又点 B 的坐标为(0, ),因此直线 BE 的方程为 y=4x 【点评】本题考查椭圆方程和直线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化21(12 分)(2017潍城区校级二模)已知函数
39、 g(x)=x 2+ln(x +a),其中a 为常数(1)讨论函数 g(x)的单调性;(2)若 g(x)存在两个极值点 x1,x 2,求证:无论实数 a 取什么值都有【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值【分析】(1)利用求导法则求出函数 g(x)的导函数,把导函数解析式通分化简,分 4a280 ,或 4a280 两种情况讨论函数的单调性;(2)当 a 时,函数 g(x)在( ,+)或( a, )上单调递增,在( , )上单调递减; = a2 ln2,g ( )=g( )= +ln ;令 f(a)= lna+ ln2 ,从而得证【解答】解:(1)g( x)=x 2+ln(x+
40、a),函数的定义域为(a,+)g(x)=2x+ ,令 2x+ 0,2x2+2ax+10,当 4a280 时,即 a 时,g(x )0,即函数 g(x)在(a,+)单调递增,当 4a280 时,即 a ,或 a 时,令 g(x)=0,解得 x= ,或 x= ,若 a ,当 g(x)0 时,即 x ,或ax ,函数 g(x)单调递增,当 g(x)0 时,即 x ,函数 g(x)单调递减,若 a ,g (x)0,即函数 g(x )在( a, +)单调递增,综上所述:当 a 时,即函数 g(x)在( a,+)单调递增,当 a 时,函数 g(x)在( ,+)或( a, )上单调递增,在( , )上单调递
41、减,(2)由(1)可知,当 a 时,函数 g(x)在( ,+)或( a,)上单调递增,在( , )上单调递减,x1+x2=a;x 1x2= ,= a2 ln2,g( )=g( )= +ln ;故 g( )=( a2 ln2)( +ln )= lna+ ln2 ;令 f(a)= lna+ ln2 ,则 f(a )= a = ,a , 0;f( a)= lna+ ln2 在( ,+)上增函数,且 f( )=0,故 lna+ ln2 0,故无论实数 a 取什么值都有 【点评】本题考查了导数的综合应用,同时考查了恒成立问题,属于难题选考题:(共 1 小题,共 10 分)请考生在 22、23 中任选一题
42、作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修 4-4:坐标系与参数方程22(10 分)(2016衡水模拟)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位,已知圆 C 的参数方程为 ( 为参数),直线 l 的极坐标方程为 = ,点 P 在 l上(1)过 P 向圆 C 引切线,切点为 F,求|PF |的最小值;(2)射线 OP 交圆 C 于 R,点 Q 在 OP 上,且满足|OP |2=|OQ|OR|,求 Q 点轨迹的极坐标方程【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程【分析】(1)由同角的平方关系可得圆 C 的普通方程,由 y=sin,x=cos
43、 ,可得直线的普通方程,由勾股定理和点到直线的距离公式,可得切线长的最小值;(2)设 P,Q ,R 的极坐标分别为( 1,),(,),( 2, ),代入圆 C的极坐标方程和直线的极坐标方程,由同角公式和二倍角的正弦公式,计算即可得到所求轨迹方程【解答】解:(1)圆 C 的参数方程为 ( 为参数),可得圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4,直线 l 的极坐标方程为 = ,即有 sin+cos=4,即直线 l 的直角坐标方程为 x+y4=0由|PO| 2=|PF|2+|OF|2,由 P 到圆心 O(0,0)的距离 d 最小时,|PF|取得最小值由点到直线的距离公式可得 dmin= =2 ,可得
44、|PF|最小值为 =2;(2)设 P,Q ,R 的极坐标分别为( 1,),(,),( 2, ),由 1= , 2=2,又|OP| 2=|OQ|OR|,可得12=2,即有 = = = 即 Q 点轨迹的极坐标方程为 = 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化,考查切线长的最值的求法,注意运用勾股定理和点到直线的距离公式,考查轨迹的极坐标方程的求法,注意运用代入法,考查化简整理的运算能力,属于中档题选修 4-5:不等式选讲23(10 分)(2017深圳一模)已知 f(x)= |x+a|,g(x)=|x +3|x,记关于x 的不等式 f(x)g(x)的解集为 M(1)若 a3M,求实数
45、a 的取值范围;(2)若1,1 M,求实数 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】(1)将 x=a3 代入不等式,解关于 a 的不等式即可;(2)得到|x+a|3 恒成立,即3xa3x,当 x1,1时恒成立,求出 a 的范围即可【解答】解:(1)依题意有:|2a3|a| (a3),若 a ,则 2a33, a3 ,若 0a ,则 32a3,0a ,若 a0,则 32aa(a3),无解,综上所述,a 的取值范围为(0,3);(2)由题意可知,当 x1,1时,f (x)g(x)恒成立,|x+a|3 恒成立,即3 xa3 x,当 x1,1时恒成立,2 a 2【点评】本题考查了绝对值不等式问题,考查绝对值的性质,是一道中档题