1、 四川省 2016 届高三普通高考适应性测试文数试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2 1 0 2A， ， ， ， ，集合 21Bx， AB（ ）A ， ， ， B 1 ， C 0， D 1 0， ， 【答案】D考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元
2、素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.已知 i是虚数单位，复数 2i的共轭复数为（ ）A 34 B 34 C 54i D 54i【答案】A【解析】试题分析：因为 234ii，所以共轭复数为 34i，选 A. 考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ()()(),(.)abicdabdciabdR. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 ,iR的实部为 、虚部为 、模为 2、对应点为 (,ab、共轭为 .abi3.设向量 21 3xm， ，向量 1 n
3、， ，若 mn，则实数 x的值为（ ）A 1 B1 C2 D3 【答案】C【解析】试题分析： 021302xxmn，选 C.考点：向量垂直坐标表示【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab| a|b|cos ；二是坐标公式 ab x1x2 y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.4.执行如图所示的程序框图，输出 S的值为（ ）A45 B55 C.66 D110【答案】B考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及
4、流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.已知圆的方程为 260xy，过点 1 2， 的该圆的所有弦中，最短的弦长为（ ）A 12 B 1 C.2 D4【答案】C【解析】试题分析：2 260(3)9xyxy，最短的弦长为29(31)，选 C.考点：直线与圆位置关系6.已知双曲线2:13Ex的左焦点为 F，直线 2x与双曲线 E相交于 A， B两点，则 ABF 的面积为（ ）A.12 B.24 C.43 D.83【答案】A考点：双曲线焦点7.函数 sin0 2fxAx， ， 的
5、部分图象如图所示，则函数 fx的解析式为（ ）A 2sin6fx B 2sin3fxx C. i1f D i6f【答案】B【解析】试题分析：52552, ,sin222()41616TAT kZ(),33kZ，所以选 B.考点：三角函数解析式【方法点睛】已知函数 sin()(A0,)yAxB的图象求解析式(1) maxinmaxin,22yyAB.(2)由函数的周期 T求 ,. (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .8.实数 x， y满足不等式组012xy，则 2xy的最大值为（ ）A 12 B0 C.2 D4【答案】D考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合
6、的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.利用计算机产生 120 个随机正整数，其最高位数字（如：34 的最高位数字为 3，567 的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这 120 个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为1 29d， ， ，的概率为 P.下列选项中，最能反映 P与 d的关系的是（ ）A 1lgPd B 12Pd C. 2510dPD 3152dP【答案】B【解析】试题分析： P是 d的减函数，所以去掉 C; 由 (
7、1)2(9)1PP 得，选 A:对于1lg，30()2(9)lglgP ；对于 2Pd，1()()14 ；对于3152d，9()32()2(9)51P考点：频数分布图10.设 ab， 是不相等的两个正数，且 lnlbab，给出下列结论： 1； 2ab； 12.其中所有正确结论的序号是（ ）A B C. D【答案】D考点：利用导数证明不等式【思路点睛】利用导数证明不等式解题策略证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是增函数，同时若 F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)
8、g(x)。二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11.某单位有 500 位职工，其中 35 岁以下的有 125 人，3549 岁的有 280 人，50 岁以上的有 95 人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本，需抽取 35 岁以下职工人数为 【答案】25【解析】试题分析：抽取 35 岁以下职工人数为1250考点：分层抽样12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】 考点：三视图【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)
9、若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解13.已知 tan3，则 3sin2的值是 【答案】 10【解析】试题分析： 23tan3sinsinco21190考点：弦化切【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。(
10、3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。14.已知函数 2xf，若不等式 230fxaf对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围是 【答案】 6，考点：利用函数性质解不等式恒成立【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 f“”，即将函数值的大小转化自变量大小关系15.如图， 12 A， 为椭圆2195
11、xy的长轴的左、右端点， O为坐标原点， SQT， ， 为椭圆上不同于12 ，的三点，直线 12 QAOS， ， ， T围成一个平行四边形 PR，则 22O .【答案】14【解析】试题分析：设 12 (x,y) ,) (x,y)QTS， ， ， 12 QA， 斜率为 12,k，则 ,OTS斜率为 12,k，且212 539yykxx，所以222211145()9kOTxykx，同理2245(1)9kOS，因此22OST22222221 1111145()45()()()8()8670+49559kkkkkk考点：解析几何定值问题 【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点
12、”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 16.（本小题满分 12 分）一种饮料每箱装有 6 听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml）如以下茎叶图所示.（）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；（）如果从这箱饮料中随机取出 2 听饮用，求取到的 2 听饮料中至少有 1 听的容量为 250ml 的概率【答案】 （）根据平均
13、数计算公式得饮料的平均容量为0492496，中位数为中间两个数的平均值：249（）先利用枚举法确定从这 6 听饮料中随机抽取 2 听的所有可能结果，共有 15 种，其中取到的 2 听饮料容量都不为 250ml 的种数有 6 种，因此取到的 2 听饮料中至少有 1 听的容量为 250ml 的有 9 种，故根据古典概型概率公式得90.15考点：随机事件的概率、古典概型【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的
14、题目简单化、抽象的题目具体化.17.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 BC， ， 所对的边分别为 abc， ， ，且满足 cosaBbA.（）判断 的形状；（）求 sinco6A的取值范围.【答案】 （）等腰三角形（）1( 2，【解析】试题分析：（）利用正弦定理将边化为角 sincosicABA，即 sin0B，再根据三角形内角范围得 AB，因此结合正弦函数性质得 （）先根据两角和余弦公式、配角公式将解析式化为基本三角函数sin3，再根据三角形内角范围及正弦函数性质得取值范围试题解析：（）由 cosaBbA，根据正弦定理，得 sinico，即 sin0AB，在 ABC 中，有 ，所以
15、 0，即 B，所以 是等腰三角形 .5 分考点：和差角公式、二倍角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑” 。(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等。(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等。18.（本小题满分 12 分）设数列 na各项为正数，且 214a， 2*nnaN.（）证明：数
16、列 3logn为等比数列； （）设数列 l1na的前 项和为 nT，求使 520n成立时 n的最小值. 【答案】 （）详见解析（）10.（）由（）可知， 13log2na，所以211nnT.由 50n，得 *5nN，所以 1.于是 2nT成立时 n的最小值为 10.12 分考点：等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n项和【方法点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列的判定方法(1)定义法：若 q(q 为非零常数)或 q(q 为非零常数且 n2)，则 an是等比数列；an
17、1an anan 1(2)等比中项法：在数列 an中， an0 且 a anan2 (nN *)，则数列 an是等比数列；2n 1(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an cqn(c， q 均是不为 0 的常数， nN *)，则 an是等比数列；(4)前 n 项和公式法：若数列 an的前 n 项和 Sn kqn k(k 为常数且 k0， q0,1)，则 an是等比数列.19.（本小题满分 12 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD中，点 E， F分别是 AB， C的中点，将 AEDCF ， 分别沿 DE，DF折起，使 ， 两点重合于 P.（）求证：平面 PBDFE平 面 ；（）求四棱
18、锥 的体积.【答案】 （）详见解析（）49试题解析：（）证明：连接 EF交 BD于 O，连接 P.在正方形 ABCD中，点 E是 AB中点，点 F是 BC中点，所以 EF， ，所以 ，所以在等腰 中， O是 EF的中点，且 EFOD，因此在等腰 P 中， P，从而 EFD平 面 ，又 B平 面 ，所以平面 OP平 面 ，即平面 PBDFE平 面 .6 分考点：空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角 【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、
19、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解20.（本小题满分 12 分）过点 2 C， 作一直线与抛物线 24yx交于 A， B两点，点 P是抛物线 24yx上到直线 :2lyx的距离最小的点，直线 AP与直线 l交于点 Q.（）求点 P的坐标；（）求证：直线 BQ平行于抛物线的对称轴.【答案】 （） 1 2， （）详见解析【解析】试题分析：（）到直线 l距离最小的点，可根据点到直线距离公式，取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线 l平行且与抛物线相切的切点：如根据点 P到直线 l的距离20200 44yyxd得当且仅
20、当 02y时取最小值， （）要证直线 BQ平行于抛物线的对称轴，就是要证 BQ、 两点纵坐标相等，设点 A 1 4，求出直线 AP 方程11420xyy，与直线 l方程联立，解出点 Q纵坐标为128Qy.同理求出直线 AB 方程1x，与抛物线方程联立，解出点 B纵坐标为12By.试题解析：（）设点 P的坐标为 0 xy， ，则204x，所以，点 到直线 l的距离 20200 44yyxd. 当且仅当 02y时等号成立，此时 P点坐标为 1， .4 分此时11 121428Qyyy，即知 Bx 轴，当218y时，直线 AC的方程为124yx，化简得 221114880yxyy，与抛物线方程 联立
21、，消去 x，可得 2211180yyy，所以点 B的纵坐标为2118B.从而可得 Qx 轴，所以， 轴.13 分考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系【思路点睛】解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的
22、弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.21.（本小题满分 14 分）设 abR， ，函数 3211fxaxb， xge（ 为自然对数的底数） ，且函数 fx的图象与函数 gx的图象在 0处有公共的切线.（）求 b的值；（）讨论函数 fx的单调性；（）证明：当 12a时， gfx在区间 0， 内恒成立.【答案】 （） 1b（）详见解析（ ）详见解析试题解析：（） 2 xfxaxbge，由 01fbg，得 .2 分（） 22 2 1fxaxa，当 21a时，即 1时， 0fx，从而函数 fx在定义域内单调递增，当 2时， 22 1fxaa，此时若2 1x， 0fx，则
23、函数 fx单调递增；若2 aa， f，则函数 f单调递减；若 21 x，时， 0fx，则函数 fx单调递增 .6 分（）令 2 1hgxfea，则01he.2xea，令 xuh，则 2xu.当1a时， 0120a，又当 x时， ux，从而 ux单调递减；所以 0.故当 x， 时， hx单调递增；又因为 0h，故当 0时， 0，从而函数 gxf在区间 ， 单调递减；又因为 0f所以 gxf在区间 0， 恒成立.14 分考点：导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点 【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
