1、第 1 页 共 18 页2017 届湖南师大附中高三上学期月考（三）数学（理）试题一、选择题1已知集合 ，则 （ ）2log,21,0xAxByABA B C Dxx【答案】C【解析】试题分析：由已知可得 0,21AxByAB，故选 C.AB21x【考点】集合的基本运算.2将直线 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移 1 个单位，所得到的直线为（ 3y）A B 1x13yxC D3y【答案】A【解析】试题分析：将直线 绕原点逆时针旋转 所得到的直线为 ，3yx0913yx再向右平移 个单位，所得到的直线 ，即 ,故选 A.11()13yx【考点】图象的变换.3已知命题 ；命题 ，则下列命题:,0
2、23xpx:0,sin2qx为真命题的是（ ）A B qpC Dpq【答案】C【解析】试题分析：因为当 时， 即 ，所以命题 为假，从而x23x3xp为真.因为当 时，即 ，所以命题 为真，所以 为真，p0,2sinqq故选 C.【考点】命题的真假.第 2 页 共 18 页4某工厂生产某种产品的产量 (吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)有如下几组样xy本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为 0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A B 0.72.5yx0.71yxC. D345【答案】C【解析】试题分析：设回归直线方程为 ，由样本数据
3、可得，0.7yxa.因为回归直线经过点 ，所以 ，解得4.5,3xy,3.5074.a.故选 C.0a【考点】线性回归直线.5已知 ，则 的值为（ ）sin25cos2A B 47C. D725425【答案】B【解析】试题分析：由 ，得 .所以3sin3cos5，故选 B.297cosco1c22【考点】三角恒等变换.6等比数列 中， ，则数列 的前 8 项和等于（ ）na45,algnaA6 B5 C. 4 D3【答案】C【解析】试题分析：数列 的前 项和lgna84812812818lg lgSaa .445l【考点】1、等比数列；2、对数运算.7已知 ，则 的最小值为（ ）0a81aA
4、B4 3 4 5 62.5 3 4 4.5第 3 页 共 18 页C. D5272【答案】D【解析】试题分析： ,a,故选 D.84141724212a【考点】基本不等式.【方法点晴】本题主要考查的基本不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.8已知 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的范围为（ ,ababc2abc）A B 1,22,C. D 32【答案】B【解析】试
5、题分析：如图， ，又,()OAabBcAab，故选 B.|2|2OAabc10864224681015 10 5 5 10 15【考点】向量及其运算性质. 9已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆,A1,0B,Pxy:3lyx以 为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为（ ）C,BCA B 5105C. D22【答案】A【解析】试题分析： 关于直线 的对称点为 ，连接1,0A:3lyx3,2AOAB O第 4 页 共 18 页交直线 于点 ，则椭圆 的长轴长的最小值为 ，所以椭圆 的离ABlPC25ABC心率的最大值为 ,故选 A.15ca【考点】1、椭圆的离心率；2、点关于直线的对
6、称.10 已知偶函数 对于任意的 满足 ，yfx0,2xcosin0fxfx(其中 是函数 的导函数)，则下列不等式中成立的是（ ）fxfA B423ff 234ffC. D0ff 4ff【答案】D【解析】试题分析：构造函数在 为增函数2cosin, 0cosfxfxfxF Fx0,2，故选 D.43()43cos234fffff【考点】1、函数的导数；2、函数的单调性.【方法点晴】本题考查函数的导数、函数的单调性，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先构造函数在 为增函数2cosin, 0cosfxfxf
7、xF Fx0,2()43，构造函数 是本题的突破口.2fffcosfx11 定义 ，已知实数 满足 ，设max,ab,y2,xy，则 的取值范围是（ ）ax4,3yzzA B 7,106,10C. D6878第 5 页 共 18 页【答案】A【解析】试题分析：由题设 ，且142max4,3xyxzy.作可行域，由图知，目标函数 在点 处取最大值 ，2,xyzx,10在点 处取最小值 .目标函数 在点 处取最大值 ，在点173y2,8处取最小值 .所以 的取值范围是 ，故选 A., z7,10xyoxyo【考点】线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型考生应注总结解决
8、线性规划问题的一般步骤：（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）由目标函数 变形为 ；（3）作平行线：将直线zaxbyazxb平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使 最大（或最小）时0axby zb所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 的最大（小）值.z12将圆的一组 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次n记录 个点的颜色，称为该圆的一个“ 阶段序” ，当且仅当两个 阶色序对应kkk位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的 阶色序.若某圆的任意两个“ 阶段序”均不相同，则称该圆为“ 阶魅力圆”.
9、“3 阶魅力圆”中最多可有的等分点个数k第 6 页 共 18 页为（ ）A4 B6 C. 8 D10【答案】C【解析】试题分析：“ 阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“ 阶色序”共3 3有 共 种，一方面， 个点可以构成 个“ 阶色序”，故“ 阶魅力圆”中2nn3的等分点的个数不多于 个；另一方面，若 ，则必需包含全部共 个“ 阶色序”888，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件.故“ 阶魅力圆”中最多可有 个等分点.【考点】排列组合.二、填空题13如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 .若在矩形A1,0C2,42fx内
10、随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 BCD【答案】 512【解析】试题分析：此点取自阴影部分的概率为： .215(4)312xd【考点】1、几何概型；2、定积分.14若 ，则 5234501xaxaxx135a【答案】【解析】试题分析：令 ，令501234xx，012345aax.513【考点】二项式展开式.15对于数列 ，若对任意 ，都有 成立，则称数列 为nx*nN21nnxnx“减差数列”.设 ，若数列 是“减差数21nntb*567,5,nbN列” ，则实数 的取值范围是 t第 7 页 共 18 页【答案】 3,5【解析】试题分析：由数列 是“减差数列” ，得*567,5,nbN
11、，即21nnb2nt，即2 21n nt t，化简得 ，当222nnnttt24tn时，若 恒成立，则 恒成立，又524t2142t当 时， 的最大值为 ，则 的取值范围是 .n12n35t3,5【考点】1、数列的通项公式；2、函数与不等式.【方法点晴】本题考查数列的通项公式、函数与不等式，涉及函数与不等式论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 先利用定义建立不等式 ，再利用215nnb转化化归思想转化为 恒成立，再求得 的2144nt42最大值为 ，可得 的取值范围是 .35t3,516如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
12、量为 ，在它的顶点处分别受力106kg，每个力同它相邻的三角形的两边之间的角都是 60，且 .123,F 123F要提起这块钢板， 均要大于 ，则 的最小值为 123,Fxkg【答案】 10【解析】试题分析：由已知可得三个力的合力的大小为第 8 页 共 18 页2233|()610VOxxx.min10AB ACV【考点】向量及其几何运算.【方法点晴】本题考查向量及其几何运算，涉及分函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得三个力的合力的大小为，解之得 ，从而可得 .数形结2233|()610
13、VOxx 10xmin10x合思想和空间想象能力是解决本题的关键.三、解答题17在 中，角 所对的边分别为 ，且 .ABC、 、 abc、 、 2,60C（）求 的值；sinab（）若 ，求 的面积.AB【答案】 （） ；（） .43si【解析】试题分析：（）由正弦定理可得 243sinisini60abcABC4343sinA,sinabB；（）由余弦定理得i43sisB， ，又 2243ababab2340ab4ab.1sin4ABCS试题解析： （）由正弦定理可得： ，243sinisini60abcABC第 9 页 共 18 页所以 .43sin4343 43sinA,sin,siAB
14、ababBA（）由余弦定理得 ，即 ，22cocC22abab又 ，所以 ，解得 或 (舍去)，ab2340ab41所以 .1sinABCS【考点】解三角形.18为了参加师大附中第 30 界田径运动会的开幕式，高三年级某 6 个班联合到集市购买了 6 根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1(单位：米).（）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过 0.5 米的概率；（）若长度不小于 4 米的竹竿价格为每根 10 元，长度小于 4 米的竹竿价格为每根元.从这 6 根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为 18 元，求 的a a值.【答
15、案】 （） ；（） .57a【解析】试题分析： （）因为 根竹竿长度之差超过 米的两根竹竿长可能是60.5和 ， 和 ， 和 .3.64.3.845先求对立事件的概率 所求概率 ；261PAC1415PA（）设任取两根竹竿的价格之和为 的可能取值2,0,a182,0,0515PaaP.61642183E7试题解析：（）因为 根竹竿的长度从小到大依次为 ，其6.,0,43,5中长度之差超过 米的两根竹竿长可能是 和 ， 和 ， 和 .0.5.65.设“抽取两根竹竿的长度之差不超过 米”为事件 ，则05A，所以 .2631PAC11PA故所求的概率为 .45（）设任取两根竹竿的价格之和为 ，则 的
16、可能取值为 .2,10,a其中 .1 224426 6618,0,555CCPaPaPC 所以 .83E第 10 页 共 18 页令 ，得 .240183a7a【考点】1、古典概型；2、数学期望.19已知正三棱柱 中， ，点 为 的中点，点1ABC12,3ABDAC在线段 上.E1（）当 时，求证 ；1:2AE1DEBC（）是否存在点 ，使二面角 等于 60？若存在，求 的长；若不AAE存在，请说明理由.【答案】 （）证明见解析；（）存在点 ,当 时，二面角 等2DB于 .60【解析】试题分析：（）证明：连接 ， 由 为正三棱柱1DC1ABC为正三角形 ，ABCBA又平面 平面 平面 .易得
17、11DE1DC丄平面 .（）假设存在点 满足条件，设 .由DE1EAm丄平面 ，建立空间直角坐标系 ，求得平面11,ADBxyz的一个法向量为B，平面 的一个法向量为 1,0nm23,10n12231cos,cos601m试题解析：（）证明：连接 ，1DC因为 为正三棱柱，所以 为正三角形，1ABCAB又因为 为 的中点，所以 ，D又平面 平面 ，平面 平面 ，11CA所以 平面 ，所以 . ADE因为 ，所以 ，11:2,3AEB3,1D第 11 页 共 18 页所以在 中， ，RtADE30在 中， ，所以 ，即 .1C16190EDC1EDC又 ，B所以 丄平面 ， 面 ，所以 .E1B
18、11B（）假设存在点 满足条件，设 .AEm取 的中点 ，连接 ，则 丄平面 ，1AC1D11DC所以 ， ,分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ，1B、 、 ,xyzDxyz则 ，1,0,30,AEm所以 ，,1,30,DABAEm设平面 的一个法向量为 ，B1nxyz则 ， 令 ，得 ，10nE130yxmz11,0n同理，平面 的一个法向量为 ，A22,xyz则 ， 取 ，20nB23xyz21 .23,1 ，解得 ，1221cos,cos602mn23m故存在点 ,当 时，二面角 等于 .EADBEA60【考点】1、线面垂直；2、二面角的平面角.20如图，抛物线 与双曲线 有公共
19、焦点 ，21:8Cyx2:10,xyCab2F点 是曲线 在第一象限的交点，且 .A12, 25AF第 12 页 共 18 页（）求双曲线 的方程；2C（）以 为圆心的圆 与双曲线的一条渐近线相切，圆 .已知1FM2:1Nxy点 ，过点 作互相垂直且分别与圆 、圆 相交的直线 和 ，设被圆,3P 1l2截得的弦长为 ， 被圆 截得的弦长为 .试探索 是否为定值？请说明理由.Ms2lNtts【答案】 （） ；（） 为定值 .13yxst3【解析】试题分析：（）抛物线 的焦点为21:8Cyx2,0F.双曲线 的焦点为 .设1sin432ABCSab2 12,0、在抛物线 上，且0,xy21:8yx
20、25A0x362367F52a双曲线的方程为： ；（）设圆 的方程为：1a21yxM，双曲线的渐近线方程为： .22xyr3x由圆 与渐近线 相切 为 圆M3x21r.设 的方程为 ，设 的方程为2:xy1l30kyk2l点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离30k1l12dN2l为 直线 被圆 截得的弦长 ，直线 被圆221dk1lM263ks2l截得的弦长N第 13 页 共 18 页为定值 .2321kt226363kskt st3试题解析：（）抛物线 的焦点为 ，21:8Cyx2,0F双曲线 的焦点为 .22,0,F、设 在抛物线 上，且 .0,Axy1:yx25A由抛物线的定义得，
21、 ， .0503 ， .2083y26y21 7AF又点 在双曲线上，由双曲线定义得， ， .275a1a双曲线的方程为： .213yx（） 为定值.下面给出说明：st设圆 的方程为： ，双曲线的渐近线方程为： .M22xyr3yx圆 与渐近线 相切，圆 的半径为 .3yM21r故圆 .2:x依题意 的斜率存在且均不为零，所以12l、设 的方程为 ，即 ，31ykx30kyk设 的方程为 ，即 ，2l1x点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，M1l12kdN2l2231kd直线 被圆 截得的弦长 ，1l 2236311ksk直线 被圆 截得的弦长 ，2lN222t k第 14 页 共
22、 18 页 ，故 为定值 .226363kskt st3【考点】1、双曲线的方程；2、直线与圆锥曲线.21设函数 的图象在点 处的切321,0fxabxcaR,xf线的斜率为 ，且函数 为偶函数.若函数 满足下列条件：k1gkxk ；对一切实数 ，不等式 恒成立.10x2（）求函数 的表达式；kx（）设函数 的两个极值点212ln30fxhm恰为 的零点.当 时，求122,x2lxst32m的最小值.1212y【答案】 （） ；（） .214kxx2ln3【解析】试题分析：（）由已知可得 kfxabc122gxkxx恒成立20ac101402ac14c2kx；（）由（）得，2x32114fxx
23、2ln30,hxmh12x2120,.mx2129x.又120x12,(x第 15 页 共 18 页为 零点 ，又2)x2lnxst12lnx212120sxtx1t.设y1212lnx记为 .利用导数工具求得120xn1ln012yMn所求最小值为 .min2ln3Ml3试题解析：（）由已知可得 .2kxfaxbc函数 为偶函数，12gxk ，12xkx即 恒成立，22axbcabc 恒成立，2110x011402ac . .ac24kxx（）由（）得， .3211f x .22 1ln0, xmhxxmxh由题意得 124,.x又 ，3m第 16 页 共 18 页 .2129xm解得 .1
24、20x 为 的零点，1,2lnxstx ，2 2112ln0,l0xststx两式相减得， .1212122lxxt又 ，从而xst121212121212xxy sxt .121122lnlnx设 ，120x则 记为 .121211ln02xyMn221nM 在 上单调递减.10, .min2ln3故 的最小值为 .1212xy2ln3【考点】1、函数的解析式；2、函数的奇偶性；3、函数的极值；4、函数的最值.【方法点晴】本题考函数的解析式、函数的奇偶性、函数的极值和函数的最值，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题
25、型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意数形结合和分类讨论思想的综合应用.第 17 页 共 18 页22选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为1C210cosinxy 2C.2cos6in（）将曲线 的参数方程化为普通方程，将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方1 2程；（）在同一坐标系下，曲线 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相12,C交，请说明理由.【答案】 （） ， ；（） .20xy223
26、10xy2【解析】试题分析： （）由 消去参数 得cos,1in210xy线 的普通方程为 .又1C20xy26in的直角坐标方程2cos6in6xyC；（）由230xy两圆相交 2121310C.20dd试题解析： （）由 （ 为参数)得 ，1cos,inxy210xy曲线 的普通方程为 .1C20 ， .2cos6incos6in有 即 为所求曲线 的直角坐标方程. xy22131xy2C（）圆 的圆心坐标 ,圆 的圆心坐标为 ，1C02C,3 ，所以两圆相交.2212 0设相交弦长为 ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 ，d 12C ，222310 .d第 18 页 共 18 页即所
27、求公共弦的长为 .2【考点】坐标系与参数方程.【方法点晴】本题主要考查参数方程、极坐标方程和韦达定理，由于涉及直线参数的几何意义，具有一定的难度，属于中等题型.解此类题型时要注意熟练掌握直角坐标方程(普通方程)、参数方程和极坐标方程三者之间的互化，并应掌握相关定义和性质，特别要熟练掌握直线参数的几何意义及其应用，它的几何意义可以大大降低题目的计算量，对于提高解题速度和解题质量很有帮助.23选修 4-5：不等式选讲设对于任意实数 ，不等式 恒成立.x71xm（）求实数 的取值范围；m（）当 取最大值时，解关于 的不等式： .321x【答案】 （） ；（） .81x【解析】试题分析：（） 可以看做数轴上的点 到点 和点 的距离7x71之和 最小值为 ；（）由（）得 的最大值为71x8mm8或324324x324.x或 原不等式的解集为 .x113试题解析： （） 可以看做数轴上的点 到点 和点 的距离之和.71xx71 ， .71min8x（）由（）得 的最大值为 ,原不等式等价于： .324x有 或324x324.x从而 或 ，1原不等式的解集为 .13x【考点】不等式选讲.
