1、2017 届江西吉安一中高三上学期段考（二）数学（文）试题一、选择题1设 ， ，则 的元素个数是（ ）|2AxZ2|1,ByxABA5 B4 C3 D无数个【答案】C【解析】试题分析：依题意有 ，代入 得到 ，2,10,A21yx0,2故 有 个元素.B【考点】绝对值不等式，元素与集合的关系.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是定义域还是值域，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间
2、是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2已知 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）i 2iziAzA1 B C D23【答案】C【解析】试题分析： ， .12izii3z【考点】复数概念及运算.3根据如下的样本数据：得到的回归方程为 ybxa，则（ ）A B 0,a0,C D 【答案】B【解析】试题分析：由图表可知回归直线方程单调递减 ，由于 时，0b7x，所以 ，故选 B.0y,0xya【考点】回归分析.4设 ， ， ，则（ ）0.1a4log.1b0.1cA B C. Dcaacbbcax 1 2 3 4 5 6
3、 7y 7.3 5.1 4.8 3.1 2.0 0.3 -1.7【答案】C【解析】试题分析：由于 故 .1,01abcab【考点】比较大小5已知三个数 2， ，8 构成一个等比数列，则圆锥曲线21xym的离心率为（ m）A B 23C. 或 D 2或6【答案】D【解析】试题分析：根据等比数列的基本性质，有 ，当 时，表216,4mm示椭圆，离心率为 ，当 ，为双曲线，离心率为 .24m3【考点】等比数列，圆锥曲线离心率.6已知 ， ，则 （ ）7cos25,0sinco2A B 1251C. D 【答案】C【解析】试题分析： ， ，724cos,sin5,0，其中 ，所以7cosini225c
4、osin02，两边平方得 ，所以 .i02411sin1i5【考点】二倍角公式7按下图所示的程序框图运算：若输出 ，则输入 的取值范围是（ ）kxA B 20,530,57C. D328【答案】D【解析】试题分析：运行程序，输入 ， ， ，判断否，t0k21,xtk，判断是，输出 ，故 ，故选 D.43,2xtk4358【考点】算法与程序框图.8已知函数 的部分图象如图所示，则sin0,2fxAx的递增区间为（ ）fxA 52,1kkZ B ,6C. 5,12kkZD ,6【答案】C【解析】试题分析：由图可知 , ，2A313,2464TT，所以 ，由2sin0,66f2sinfxx，解得 .
5、23kxk5,1kkZ【考点】三角函数图象与性质.9平面直角坐标系中，不等式组 （ 为常数）表示的区域面积等于01xyaa3，则 a的值为（ ）A-5 B-2 C. 2 D5【答案】D【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，面积为 .13,52a【考点】线性规划.10已知 是双曲线 上的不同三点，且 连线经过坐标原点，若,ABP21xyabAB直线 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率 （ ）, 3PABkeA B 5215C. D102【答案】B【解析】试题分析：设 ，所以112,AxyByPx，故 .2213PABybkxa2251,3beea【考点】直线与圆锥曲线位置关系.11已知某几何体的
6、三视图如图所示，则该几何体的各侧面中，面积最小值为（ ）A B 5232C. D 1【答案】D【解析】试题分析：直观图如下图所示，由直观图可知，三角形 的面积的面积最ABE小，为 .12BEDCA【考点】三视图.【思路点晴】(一)主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥.还有两种特殊的情况：1、是棱锥和半圆锥的组合体.2、就是半圆锥.到底如何如确定就是通过俯视图观察.（1）若俯视图是三角形时，就是三棱锥.（2）若俯视图是多边形时，就是多棱锥.（3）若俯视图是半圆和三角形时，就是是棱锥和半圆锥的组合体.（4）若俯视图是半圆时，就是半圆锥.（5）注意虚线和实线的意义，虚线代表
7、的是看不到的线，实线代表的是能看的见得都是一种平行投影所创造出来的.(二)三视图求体积时候，先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的，并且肯定是立体图形的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑.（1）如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，判定后算出俯视图的面积即可，应用体积公式.（2）如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出面积，应用公式即可.（3）如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可.12已知函数 满足 ，且存在实数 使得不等gx120xgex 0x式 成立，则
8、 的取值范围为（ ）021mmA B ,3C. D0【答案】C【解析】试题分析：令 ，有 ，令 ，x1gex，求导 ，令 ， 1102gg10x1x，解得 ，所以 0,ge， ， . e12xg， ，所以 单调递增，而 ，故 1xgex 0g是函数的极小值点也是最小值点，所以 .0 21,m【考点】函数导数与不等式.【思路点晴】本题主要考查导数的运算公式，考查待定系数法求函数解析式，考查函数导数不不等式及恒成立问题.首先采用赋值法，求得函数的系数，在求导过程中，要注意 ，常数的导数为零.求出函数的解析式后，利用导数研究函数afxf的单调性、极值与最值，注意一阶导数可以直接看出单调区间，极值点要
9、通过观察得出.二、填空题13设 ， ，若 ，则 ,3ax2,1bab2【答案】 5【解析】试题分析：.22320,45022abxabab【考点】向量运算.14若函数 是周期为 4 的奇函数，且在 上的解析式为f ,，则 1,01sin2xxf6f【答案】 4【解析】试题分析： ，41771sin662fff.12f【考点】函数的周期性，分段函数求值.15已知圆 和两点 ， ，若圆上存22:341Cxy,0Am,0B在点 ，使得 ，则 的取值范围是 P90AB【答案】 4,6【解析】试题分析：设圆上任意一点为 ，依题意有 ，3cos,4inP0PAB将点的坐标代入上式，化简得，故 .2223c
10、os4sin610i16,3m4,6m【考点】圆的参数方程.【思路点晴】本题主要考查圆的参数方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查两个向量垂直的概念，考查三角恒等变换等知识.由于题目给定 ，所以考虑90APB设出点的坐标，然后利用数量积等于零来建立方程，故设出点 的参数方程，即，然后将坐标代入 ，化简后利用三角函数的最值来3cos,4inP 0PAB求 的取值范围.m16已知 外接圆的圆心为 ，且 32OC则 ABC AO【答案】 23【解析】试题分析：不妨设外接圆半径为 ，1，两边平方得 ，023OABCOACB143OAC即 ，故 .1cos2【考点】向量运算.【思路点晴】本题主要考查两
11、个向量数量积的概念，考查两个向量夹角公式的应用，考查特殊角的三角函数值.由于三角形的边长不固定，所以不妨假设外接圆的半径为 ，1也可以假设为 ，这个数会在后面运算过程中约掉.三个向量的和为零向量，先将一个r移动到另一边，然后两边平方，利用向量运算公式，即可化简出关于 余弦值的AOC表达式，由此求得角的大小.三、解答题17已知 为数列 的前 项和满足 ， .nSna0na243nnaS（）求 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和.1nbanb【答案】 （I） ；（II） .2n164【解析】试题分析：（I）利用 化简已知条件，求得通项公式为1()2nnSa；（II）由于 ，用裂项求和法21n
12、a1233nbn求得前 项和为 .64试题解析：（）当 时， ，因为 ，所以 ，1n21134aSa0n13a当 时， ，2 13nnS即 ，因为 ，所以 所以数列1112nan12n是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 .2a（）由（）知， ，所以数列 的1313nbnnnb前 项和为n.1211113572364nb nn 【考点】数列求通项与求和.18某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛”闲在本校进行初赛（满分 150 分） ，若该校有 100 名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，计算这 100 名学生参加初赛成绩的中
13、位数；（2）该校推荐初赛成绩在 110 分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取 2 人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率.【答案】 （1） ；（2） .8815P【解析】试题分析：（1）中位数是使频率分布直方图左右两边面积等于 的地方，0.5由此列出方程求得中位数为 ；（2）分数在 10,3有 人，分数在 有413,人，利用列出法求出基本事件的总数和符合题意点的事件数，由此求得概率为2.815P试题解析：（1）设初赛成绩的中位数为 ，则:x040.92.070.5解得 ，所以初赛成绩的中位数为 81.8x（2）该校学生的初赛分数在
14、 1,3有 4 人，分别记为 ，分数在,ABCD有 2 人，分别记为 ，在这 6 人中随机选取 2 人，总的事件有130,5ab,ABCDABCaba,b,ab共 15 个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有 8 个.故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为 .815P【考点】频率分布直方图，古典概型.19如图，正三棱柱 中， 是 中点.1ABCEAC（）求证：平面 ；11BECA（）若 ， ，求点 到平面 的距离.12A1BEC【答案】 （I）证明见解析；（II） .63【解析】试题分析：（I）利用正三棱柱侧棱和底面垂直，有 ，而1A，所以 平面 ，所以平面 ；（II）
15、利用等体BEACBE1AC1BEC积法求点到面的距离，首先求得 ，换顶点为1 163BEAVS，解得 .11362CABECVhh试题解析：（） 是正三棱柱， ， ，11ABC 平 面 EABC平 面，BEA是正三角形， 是 中点， ， ，CECE 1，1平 面 AB平 面 1EC 平 面， ，1BEC 平 面 11BEAC 平 面 平 面（）正三棱柱 中，1A， ，因为 为 中点，12A 2sin603.1 12333CBEABEVS在直角 中， ， ，11C1E， ， .1BEAC平 面 11EAC平 面 1BEC.设点 到面 的距离为1 3222SB A1BE.h， ， .11CABEC
16、V36h 3（另解：用等体积法求解可视情况酌情给分）【考点】立体几何证明垂直与求点面距.20已知椭圆 的离心率为 32，其左顶点 在圆2:10xyWabA上.2:16Oxy（）求椭圆 的方程；（）若点 为椭圆 上不同于点 的点，直线 与圆 的另一个交点为 ，是PAPOQ否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.3Q【答案】 （I） ；（II）不存在，理由见解析.2164xy【解析】试题分析：（I）左顶点 代入圆的方程，求得 ，根据离心率为,0a4a，求得 ，故椭圆方程为 ；（II）设点 ，323,2cb2164xy1,Pxy，直线 的方程为 ,联立直线的方程和椭圆的方程，
17、求出,QxyAPyk的坐标，进而求得 的值，利用圆心到直线 的距离求得 ，代入PAPQ，所以不存在.13QAAP试题解析：（I）因为椭圆 的左顶点 在圆 2:16Oxy上，令 ，得 ，所以W0y4x.又离心率为 ，所以 ，所以 ，所以 .4a323cea3c22bac所以 的方程为 .W2164xy（II）设点 ， ，设直线 的方程为 ，1,P2,QAP4ykx与椭圆方程联立得 ，2164ykx化简得到 ，因为-4 为方程的一个根，2221360kxk所以 ，所以124x124x所以 28kAP因为圆心到直线 的距离为 ，241kd所以 .2226816AQk因为 ，1PAQP代入得到 ，22
18、2 2843114kkAPk显然 ，所以不存在直线 ，使得 .231kAP3Q【考点】直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解21已知函数 ， .3226ln1fxaxaR（1）当 时，求函数 在 上的单调区间；0af
19、0,（2）若函数 存在两个极值点，求 的取值范围.fx【答案】 （1） 在 上单调递减，在 上单调递增；（2）,11,.0,【解析】试题分析：（1）当 时， 36fx，定义域为 ，求导得0a0,，故函数在 上递减，在 上递增；（2）令61fxx ,11,， ，利用导数求得函数2lng2xgx，由此可去掉绝对值，再对函数 求导，对 分成 ，10xfa01， 三类，讨论函数的极值情况，由此求得实数 的取值范围.a试题解析：（1）当 时， 326fx的定义域为 ，0,，261fx当 时， ；当 时， .0f xfx函数 在 上单调递减，在 上单调递增. x, ,（2）令 ， ，2ln1gx21xgx
20、当 时， ；当 时， .01x0 0在 上单调递增，在 上单调递减， .g ,1,10gx，3226lnfxax.6xaf 当 时， ； ，0a10xfx 10f函数 在 上单调递减，在 上单调递增，函数 fx恰有一个极小值，f,不符合题意.当 时， ， 或 ，01a10xfx xa10fx函数 fx在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，函数, ,1,恰有一个极大值一个极小值，符合题意.当 时， ，函数 在 上单调递增，既无1a2610xf fx0,极大值也无极小值，不符合题意.当 时， xafx ； 或 ，1af函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，函数f0,1,a
21、,恰有一个极大值一个极小值，符合题意.x综上所述， 的取值范围是 .a0,1,【考点】函数导数与不等式.【方法点晴】本题主要考查导数与不等式的知识，考查含有绝对值函数的处理方法.第一问由于参数 值是知道的，函数 的解析式知道，利用导数就可以求得函数的fx单调区间.第二问先处理绝对值里面的函数，方法是利用导数，求得其最大值大于零，由此去掉绝对值.对函数 求导后，利用分类讨论的方法，可 的取值范围.f a22选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （ 为参数） ，曲线 （ 为参数）.1,2:3.xtly1cos,:inxCy（）设 与 相交于 两点，求 ；l1C,AB（）若把曲线 上各点的横坐标压
22、缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，1 1232得到曲线 ，设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值.2P2 l【答案】 （I） ；（II） .1AB614【解析】试题分析：（I）将直线的参数方程消去 得到 ，圆的参数方程t31yx消去参数得 ，联立直线的方程和圆的方程，求得交点坐标，利用两点间的21xy距离公式求得 ；（II）利用 的参数方程，进行伸缩变换后，得到 点的AB1C2C参数方程为 ，利用点到直线距离公式，求得距离的表达式，利用三角1cos,23in,xy函数求最值的方法，求得最小值为 .6214试题解析：（）直线的普通方程为 3yx， 的普通方程 .1C21xy
23、联立方程组 ，解得 与 的交点为 ， ，则21,yxl1,0A3,B.1AB（）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，故点 的坐标是2C1cos,23in,xyP，13cos,in2从而点 P到直线 的距离是l，csi322sin244d由此当 时， 取得最小值，且最小值为 .sin14d61【考点】坐标系与参数方程23选修 4-5：不等式选讲设函数 .2fxx（）求不等式 的解集；f（）若 ， 恒成立，求实数的取值范围.xR27t【答案】 （I） ；（II） .|63x或 32t【解析】试题分析：（I）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为 ；（II）由（I）值，函数 的最小值为2|x或 fx，即 ，由此解得 .13f27t32t试题解析：（I） ，4,12,xf当 ， ， ，1x6x当 ， ， ，2323x当 ， ， ，42综上所述 .|6x或（II）易得 ，若 ， 恒成立，min13ffxR21ft则只需 ，22i7360xtt综上所述 .32t【考点】不等式选讲
