1、1上海市杨浦区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 函数 的零点是 lg1yx2. 计算： 2im4n3. 若 的二项展开式中 项的系数是 54，则 n (3)x2x4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 5. 若 、 满足 ，则目标函数 的最大值为 xy02x2fxy6. 若复数 满足 ，则 的最大值是 z1zi7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3、3、2 的三角形，则该圆锥的体积是 8. 若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 2163xyp(0)2ypxp9. 若
2、，则 的值为 3sin()cossin5xtan10. 若 a为等比数列， ，且 ，则 的最小值为 0a20182017911. 在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， ， . siniAC若 为钝角， ，则 的面积为 B1cos2412. 已知非零向量 、 不共线，设 ，定义点集OPurQ1mOMPOQurrur. 若对于任意的 ，当 ， 且不在直线 上时，| |FMArr31F2AP不等式 恒成立，则实数 的最小值为 12|kk二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知函数 的图象如图所示，则 的值为（ ） ()sin)(0,|)fxA. B.
3、42C. D. 23 xyO1241233214. 设 A、B 是非空集合，定义： 且 .|ABxUxABI已知 ， ，则 等于（ ）2|xyx|1A. B. C. D. 0,1(,)U0,)(2,)0,10,215. 已知 ， ，则“ ”是“直线 与2ab2ab12ab11:laxbyc平行”的（ ）条件 2:lxycA. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要16. 已知长方体的表面积为 ，棱长的总和为 24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大452值为（ ）A. B. C. D. 1arcos3arcos33arcos96arcos9三. 解答题（本大题共 5
4、 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润 y（单位：元）与营运天数 x 满足函数关系()*N式 .21608yx（1）要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润 的值最大？yx18. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 E 是棱 AB 上的动点.1ABCD（1）求证： ；DAE（2）若直线 与平面 所成的角是 45 ，请你确定点 E 的位置，并证明你的结论.11319. 已知数列 ，其前 项和为 ，满
5、足 ， ，其中 ，nanS12a1nnSa2，n*N， .R（1）若 ， ， （ ） ，求数列 的前 项和；0412nnba*Nnb（2）若 ，且 ，求证：数列 是等差数列.23a3a20. 已知椭圆 ，直线 不过原点 O 且不平行于坐标轴， 与 有22:9xym(0)l l两 个交点 A、B ，线段 AB 的中点为 M.（1）若 ，点 K 在椭圆 上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围；3m1F2 12KF（2）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；Ol（3）若 过点 ，射线 OM 与 交于点 P，四边形 能否为平行四边形？ l(,)3OAB若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由l2
6、1. 记函数 的定义域为 D. 如果存在实数 、 使得 对任意满()fxab()()faxfb足 且 的 x 恒成立，则称 为 函数 .a()fx（1）设函数 ，试判断 是否为 函数，并说明理由；1()ff（2）设函数 ，其中常数 ，证明： 是 函数；2xgt0t()gx（3）若 是定义在 上的 函数，且函数 的图象关于直线 （m 为常数）对()hRhx称，试判断 是否为周期函数？并证明你的结论.4上海市杨浦区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 函数 的零点是 lg1yx【解析】 02.
7、 计算： 2lim4n【解析】 13. 若 的二项展开式中 项的系数是 54，则 n (3)nx2x【解析】 254C4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 【解析】 125. 若 、 满足 ，则目标函数 的最大值为 xy02x2fxy【解析】三个交点为 、 、 ，所以最大值为 3(1,),(,0)6. 若复数 满足 ，则 的最大值是 zzi【解析】结合几何意义，单位圆上的点到 的距离，最大值为 2(,1)7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3、3、2 的三角形，则该圆锥的体积是 【解析】 1233V8. 若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 26xyp(0)2ypxp【解析
8、】 419. 若 ，则 的值为 3sin()cos()sin5xyxytan2y 2 335【解析】 ， ，3sin5y3tan4y24tan7y10. 若 na为等比数列， ，且 ，则 的最小值为 0n201820179a【解析】 219720170820184a11. 在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， ， . siniAC若 为钝角， ，则 的面积为 Bcos4【解析】 ， ， ， ，2a2110s1sinsi44C6cos4， ， ，10sin8A5co85i()BA521S12. 已知非零向量 、 不共线，设 ，定义点集OPurQ1mOMPOQurrur. 若对于任
9、意的 ，当 ， 且不在直线 上时，| |FMrr31F2AP不等式 恒成立，则实数 的最小值为 12|kPur k【解析】建系，不妨设 ， ， ， ， ，(1,0)(,)Q1(,0)mM31,)2m ，设 ， ，即 ，点 在此圆3FMQ,Fxy29()y25946xyF内， ，12max|42ur 34k二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知函数 的图象如图所示，则 的值为（ ） ()sin)(0,|)fxA. B. 42C. D. 23【解析】 ， ， ，选 CT()122f14. 设 A、B 是非空集合，定义： 且 .|ABxUxABI已知 ， ，则 等于
10、（ ）2|xyx|A. B. C. D. 0,1(,)U0,1)(2,)0,10,2xyO12416【解析】 ， ， ，选 A0,2A0,)BU(1,2ABI15. 已知 ， ，则“ ”是“直线 与1ab2ab20ab11:0laxbyc平行”的（ ）条件 22:lxycA. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要【解析】 推出直线平行或重合，选 B120ab16. 已知长方体的表面积为 ，棱长的总和为 24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大452值为（ ）A. B. C. D. 1arcos3arcos33arcos96arcos9【解析】设三条棱 ， ， ，
11、，b45bb227b，整理得 ， ， 22245(6)abcaca230a1a最短棱长为 1，体对角线长为 ， ，选 D36cos93三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润 y（单位：元）与营运天数 x 满足函数关系()*N式 .21608yx（1）要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润 的值最大？yx【解析】 （1）要使营运累计收入高于 800 元，令 ， 2 分806
12、21解得 . 5 分804x所以营运天数的取值范围为 40 到 80 天之间 .7 分（2） 9 分 61xxy24062当且仅当 时等号成立，解得 1280x分 所以每辆单车营运 400 天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20 元每天 .14 分718. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 E 是棱 AB 上的动点.1ABCD（1）求证： ；DAE（2）若直线 与平面 所成的角是 45 ，请你确定点 E 的位置，并证明你的结论.11【解析】以 D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 ， ， ，(0,)(1,0)A(,)BC(0,1,0) ，D 1(0,1,2) ，A 1(1,0
13、,1)，设 (,0)Em1（1）证明： ， 2 分()4 分1AE所以 DA1ED 1. 6 分另解： ，所以 . 2 分DA平 面E1又 ，所以 . 4 分111平 面所以 6 分E（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴、 AD 为 y 轴、AA 1 为 z 轴建立空间直角坐标系 7 分所以 、 、 、 ，设 ，则 8 分)1,0(),(D)0,1(C),(1DtAE)0,(t设平面 CED1 的法向量为 ，由 可得 ，,zn01Cn1yxtz所以 ，因此平面 CED1 的一个法向量为 10 分xtyz)( ),(由直线 与平面 所成的角是 45 ，可得 11 分1DA1CE |45si1n
14、DA可得 ，解得 13 分)(2|2t21t由于 AB=1，所以直线 与平面 所成的角是 45 时，点 在线段 AB 中点处. 14 分11EDE19. 已知数列 ，其前 项和为 ，满足 ， ，其中 ，nanS12a1nnSa2，n*N， .R（1）若 ， ， （ ） ，求数列 的前 项和；0412nnba*Nnb（2）若 ，且 ，求证：数列 是等差数列.23a3a【解析】 （1） ，所以 .两式相减得 .1nSnS41 114nnaS即 2 分4n所以 ，即 ， 3 分)2(11naa12nbx yzC1D1B1A1 CDABE8又 ，所以 ，得 48412aS612aS2121ab分因此数
15、列 为以 2 为首项，2 为公比的等比数列. ，前 n 项和为 7 分nb n 21n（2）当 n = 2 时， ，1aS所以 . 又 ，可以解得 ， 9 分63312所以 ， ，两式相减得1nnan12 1112 nnn aa即 . 猜想 ，下面用数学归纳法证明： 10 分12a 当 n = 1 或 2 时， ， ，猜想成立；123 假设当 （ ）时， 成立k2,*kN1k则当 时， 猜想成立. 2)1(2)(1 kaak由、可知，对任意正整数 n， . 13 分所以 为常数，所以数列 是等差数列. 14 分1nan另解：若 ，由 ，得 ，23121aa562又 ，解得 9 分 ，由 ， ，
16、 ，代入 得 ，1a2 1nnSa34所以 ， ， 成等差数列，由 ，得 ，3 12na12na两式相减得： ，即112nnna11()()0nn所以 11 分2()0a相减得： 1 1()20nnnna所以 21 1()2a所以21 1-2()()nnnnnna a ， 132()a 因为 ，所以 ，即数列 是等差数列.14 分1230a10nnana20. 已知椭圆 ，直线 不过原点 O 且不平行于坐标轴， 与 有22:9xym()l l两 个交点 A、B ，线段 AB 的中点为 M.9（1）若 ，点 K 在椭圆 上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围；3m1F2 12KF（2）证明：
17、直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；OMl（3）若 过点 ，射线 OM 与 交于点 P，四边形 能否为平行四边形？ l(,)3 OAB若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由l【解析】 （1）椭圆 ，两个焦点 、 ，设9:2yx)2,0(1F)2,(),(yxK所以 8),(),(2 yxKF由于 ，所以 ， 3 分9yx22 1)9(2221 K由椭圆性质可知 ，所以 5 分1x,7（2）设直线 （ ） ， ， ， ，bkl:0,k)(1yxA),(2B),(0yxM所以 为方程 的两根，化简得 ，21x、 22)(9m92mbkk所以 ， . 8 分20k 220bbkxy，所以直线 的斜率
18、与 的斜率的乘积等于 为定值. 10 分xykOM0OMl（3）直线 过点 ， 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ，l(,)3mlC0k设 设直线 （ ） ，即 .),(pyxPxkyl)(: 0,kmxy3由（2）的结论可知 ，代入椭圆方程 得 12 分O9229x8192kp由（2）的过程得中点 ， 14 分)3(,)(22kmM若四边形 为平行四边形，那么 M 也是 OP 的中点，所以 ，APB px02得 ，解得819)3(422kmk74k所以当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形 16 分l47OAPB21. 记函数 的定义域为 D. 如果存在实数 、 使得 对任意满()f
19、xab()()faxfb足 且 的 x 恒成立，则称 为 函数 .a()fx（1）设函数 ，试判断 是否为 函数，并说明理由；1()ff10（2）设函数 ，其中常数 ，证明： 是 函数；1()2xgt0t()gx（3）若 是定义在 上的 函数，且函数 的图象关于直线 （m 为常数）对hRhx称，试判断 是否为周期函数？并证明你的结论.()【解析】 （1） 是 函数 . 1 分1fx理由如下： 的定义域为 ，()|0x只需证明存在实数 ， 使得 对任意 恒成立.ab()()fafbxa由 ，得 ，即 .()()faxf12x()x所以 对任意 恒成立. 即 2b,0.从而存在 ，使 对任意 恒成
20、立.0,()()fafbxa所以 是 函数. 4 分1()fx（2）记 的定义域为 ，只需证明存在实数 ， 使得当 且 时，gDxDax恒成立，即 恒成立.()()axb12axaxbtt所以 ， 5 分2()axxttt化简得， .(1)aat所以 , . 因为 ，可得 ， ,0bt20t1bt2log|at即存在实数 ， 满足条件，从而 是 函数. 10 分()2xgt（3）函数 的图象关于直线 （ 为常数）对称，)(xhxm所以 （1）， 12 分m又因为 （2）， ba)()(所以当 时 ，)2(axhxh由（1） ()( x由（2） （3）(bab所以 )2(2)2()4( amhamxhxh （取 由（3）得）t再利用（3）式， .)()( xba所以 为周期函数，其一个周期为 . 15 分()fxa4当 时，即 ，又 ，am)()(xh)()(h11所以 为常数. 所以函数 为常数函数，2)(bxah)(xh， 是一个周期函数. 17 分1)(x综上，函数 为周期函数 18 分)(（其他解法参考评分标准，酌情给分）
