1、2016-2017 学年江苏省镇江市丹阳高中高三（下）期初数学试卷一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1设全集 U=R，集合 A=1，0，1，2，3，B=x|x 2 ，则 A UB= 2已知 z=（ ai） （1+i） （aR ，i 为虚数单位） ，若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，则 a= 3设向量 ，若向量 与向量 共线，则 = 4某校为了解高三同学寒假期间学习情况，调查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图） 则这 100 名同学中学习时间在 6至 8 小时的同学为 人5
2、如图是一个算法的流程图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 S 的值为 6已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 7如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点若 AA1=4，AB=2，则四棱锥 BACC1D 的体积为 8已知圆 C：（ x+1） 2+（y3） 2=9 上的两点 P，Q 关于直线 x+my+4=0 对称，那么 m= 9设 ， 为两个不重合的平面， m，n 为两条不重合的直线，给出下列的四个命题：（1）若 mn，m，则 n ；（2）若 n，m ， 与 相交且不垂直，则 n
3、 与 m 不垂直（3）若 ，=m，n ，n m，则 n（4）若 mn，n，则 m其中，所有真命题的序号是 10将 25 个数排成五行五列：已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等若a24=4，a 41=2，a 43=10，则 a11a55 的值为 11已知函数 f（x ）=|log 2x|，若实数 a，b （ab）满足 f（a）=f（b） ，则a+2017b 的范围是 12在平面直角坐标系中，A（0，0） ，B （1，2）两点绕定点 P 顺时针方向旋转 角后，分别到 A（4，4） ，B （5，2）两点，则 cos 的值为 13F 1，F 2 是椭圆 =1（ab 0）的两个焦
4、点，P 为椭圆上一点，如果PF1F2 的面积为 3，tanPF 1F2= =3，则 a= 14已知 f（ x）= ，f 1（x）=f （x） ，f n（x ）= ，则 = 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c设向量 =（a，c） ，=（ cosC，cosA） （1）若 ，c= a，求角 A；（2）若 =3bsinB，cosA= ，求 cosC 的值16如图所示，四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ABAD，CDAD ，CD=2AB点 E 是 P
5、C 的中点（）求证：BE平面 PAD；（）已知平面 PCD底面 ABCD，且 PC=DC在棱 PD 上是否存在点 F，使CF PA？请说明理由17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 分别是椭圆： +y2=1 的左、右顶点，P（2 ，t ） （tR ，且 t0）为直线 x=2 上一动点，过点 P 任意引一直线 l与椭圆交于 C、D ，连结 PO，直线 PO 分别和 AC、AD 连线交于 E、F（1）当直线 l 恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求 t 的值；（2）若 t=1，记直线 AC、 AD 的斜率分别为 k1，k 2，求证： + 定值；（3）求证：四边形 AFBE 为平行四边形18如图
6、所示，直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD，AB=10 m，CD=3 m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距 1m，在 AB 上取一点 E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示） 则 BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距 3 m，在 AB 上取一点 E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在 D 处、B 处和 E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示） 则 BE 多长时钢丝绳最短？19已知数列a n满足 a1=1，a 2=r（r 0） ，且a nan+
7、1是公比为 q（q 0）的等比数列，设 bn=a2n1+a2n（ nN*） ，（1）求使 anan+1+an+1an+2a n+2an+3（nN *）成立的 q 的取值范围；（2）求数列b n的前 n 项和 Sn；（3）试证明：当 q2 时，对任意正整数 n2，S n 不可能是数列b n中的某一项20已知函数 f（x ）=x 2x，g（x）=lnx（）求函数 y=xg（x）的单调区间；（）若 t ，1，求 y=fxg（x）+t在 x1， e上的最小值（结果用 t 表示）；（）设 h（x）=f（x） x2（2a+1）x+（2a +1）g（x ） ，若 ae，3，x1，x 21， 2（x 1x 2
8、） ，| | 恒成立，求实数 m 的取值范围三、附加卷（1-8，13，14 班）21设矩阵 M= ，N= ，若 MN= ，求矩阵 M 的特征值22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为： （t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为=2cos直线 l 与圆相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长23在某学校组织的一次篮球总投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分，如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第 3 次某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25，在 B 处的
9、命中率为 q2该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮的训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5P 0.03 P1 P2 P3 P4（1）求 q2 的值；（2）求随机变量 的数学期望 E；（3）试比较该同学选择在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过3 分的概率的大小24已知数列a n和b n的通项公式分别为 an=3n19，b n=2n将a n与b n中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为c n（1）试写出 c1，c 2，c 3，c 4 的值，并由此归纳数列 cn的通项公式；（2）证明你在（1）所猜想的结论2016-2017
10、 学年江苏省镇江市丹阳高中高三（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1设全集 U=R，集合 A=1，0，1，2，3，B=x|x 2 ，则 A UB= 1， 0，1 【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】根据补集与交集的定义，写出 UB 与 A UB 即可【解答】解析：因为全集 U=R，集合 B=x|x2，所以 UB=x|x2=（，2） ，且集合 A=1，0，1，2，3，所以 A UB=1，0，1 故答案为：1，0，12已知 z=（ ai） （1+i） （aR ，i 为虚数单位
11、） ，若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，则 a= 1 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】由题意化简 z=a+1+（a 1）i，由题意可得，其虚部（ a1）=0，故可得答案【解答】解：由题意化简 z=a+1+（a 1）i，因为复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，所以复数 z 为实数，即其虚部 a1=0，解得 a=1故答案为：13设向量 ，若向量 与向量 共线，则 = 2 【考点】96：平行向量与共线向量【分析】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解【解答】解：a=（1，2 ） ，b= （2，3） ，a +b=（，2）+（2，3）=（+2，2+3） 向量 a+
12、b 与向量 c=（ 4，7）共线，7 （+2 ）+4（2 +3）=0，=2故答案为 24某校为了解高三同学寒假期间学习情况，调查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图） 则这 100 名同学中学习时间在 6至 8 小时的同学为 30 人【考点】B8：频率分布直方图【分析】由已知中频率分布直方图，我们可以计算出学习时间在 6 至 8 小时频率，根据频数=频率样本容量，得到这 100 名同学中学习时间在 6 至 8 小时的同学人数【解答】解：由已知中的频率分布直方图可得学习时间在 6 至 8 小时的频率为1（ 0.04+0.05+0.12+0.14）2=0.3故学习
13、时间在 6 至 8 小时的人数为 0.3100=30故答案为 305如图是一个算法的流程图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 S 的值为 100 【考点】EF：程序框图【分析】据流程图可知，计算出 S，判定是否满足 S50 ，不满足则循环，直到满足就跳出循环即可【解答】解：由流程图知，第一次循环：x=1，S=1，不满足 S50第二次循环：x=2，S=9 ；不满足 S50第三次循环：x=3，S=36 ，不满足 S50第四次循环：x=4，S=100，满足 S50此时跳出循环，所以输出 S=100故答案为：1006已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所
14、取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】求出从 6 瓶饮料中随机抽出 2 瓶的所有的抽法种数，取出的 2 瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率可求得所取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率【解答】解：从 5 瓶饮料中随机抽出 2 瓶，所有的抽法种数为 =10（种） ，取出的 2 瓶不是果汁类饮料的种数为 =3（种） 所以所取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 P=1 = 故答案为： 7如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点若 AA1=4，AB=2，则四棱锥 BACC1D 的体积为 2 【考点】LF：棱柱
15、、棱锥、棱台的体积【分析】取 AC 的中点 O，连接 BO，则 BOAC，BO平面 ACC1D，求出SACC1D= =6，即可求出四棱锥 BACC1D 的体积【解答】解：取 AC 的中点 O，连接 BO，则 BOAC，BO平面 ACC1D，AB=2，BO= ，D 为棱 AA1 的中点，AA 1=4，S ACC1D= =6，四棱锥 BACC1D 的体积为 2 故答案为：2 8已知圆 C：（ x+1） 2+（y3） 2=9 上的两点 P，Q 关于直线 x+my+4=0 对称，那么 m= 1 【考点】J1：圆的标准方程【分析】由题意可得，圆心（1，3）在直线 x+my+4=0 上，把圆心坐标代入直线
16、方程即可求得 m 的值【解答】解：由题意可得，圆心（1，3）在直线 x+my+4=0 上，1 +3m+4=0，解得 m=1，故答案为：19设 ， 为两个不重合的平面， m，n 为两条不重合的直线，给出下列的四个命题：（1）若 mn，m，则 n ；（2）若 n，m ， 与 相交且不垂直，则 n 与 m 不垂直（3）若 ，=m，n ，n m，则 n（4）若 mn，n，则 m其中，所有真命题的序号是 （3） （4） 【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】由线面的位置关系，结合条件可得 n 或 n，即可判断（1） ；由面面位置关系和线线位置关系，可得 n 与 m 可能垂直，即可判断（2） ；由面面
17、垂直的性质定理可得 n，即可判断（3） ；由两条平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，两条平行平面中一条垂直于一条直线，另一个也垂直于这条直线，即可判断（4） 【解答】解：设 ， 为两个不重合的平面， m， n 为两条不重合的直线，（1）若 mn，m，则 n 或 n，故（1）错误；（2）若 n，m ， 与 相交且不垂直，则 n 与 m 可能垂直，故（2）错误；（3）若 ，=m，n ，n m，由面面垂直的性质定理可得 n，故（3）正确；（4）若 mn，n，可得 m ，又 ，则 m，故（4）正确故答案为：（3） （4） 10将 25 个数排成五行五列：已知第一行成等差数列，而每一列都
18、成等比数列，且五个公比全相等若a24=4，a 41=2，a 43=10，则 a11a55 的值为 11 【考点】8M ：等差数列与等比数列的综合【分析】根据题意设第一行等差数列的公差为 d，设公比为 q，由题意列出等式，构造方程组解得即可【解答】解：设第一行等差数列的公差为 d，则 a13=a11+2d，a 14=a11+3d，a 15=a11+4d又每一列成等比，五个公比全相等，设为 q，而 a24=4，a 41=2，a 43=10，则 a41=a11q3=2；（1）a24=a14q=（a 11+3d）q=4 ；（2）a43=a13q3=（a 11+2d）q 3=10；（3）a55=a15q
19、4=（a 11+4d）q 4（4）由（1） 、 （3）得5a 11=a11+2d，即 d=3a11，代入（2）得8a 11q=4，（5）（1） 、 （5）得 q=2，a 11= ，d= 或 q=2，a 11= ，d= 所以 a11a55=a11（a 11+4d）q 4=11，故答案为：1111已知函数 f（x ）=|log 2x|，若实数 a，b （ab）满足 f（a）=f（b） ，则a+2017b 的范围是 【考点】57：函数与方程的综合运用【分析】画出函数 f（x） =|log2x|的图象，可得 a 1b，且 log2b=log2a，结合对数的运算性质和对勾函数的图象和性质，可得答案【解答
20、】解：函数 f（x） =|log2x|的图象如下图所示：若 0ab ，且 f（a）=f（ b） ，则 a1b ，且 log2b=log2a，即 ab=1，2017b+a=2017b+ 2018， （b 1）故 2a+b 的取值范围是，故答案为：12在平面直角坐标系中，A（0，0） ，B （1，2）两点绕定点 P 顺时针方向旋转 角后，分别到 A（4，4） ，B （5，2）两点，则 cos 的值为 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】求出 AA和 BB的中垂线方程，联立得出点 P 的坐标，然后求出 PB 与PB的斜率，利用两条直线所成的角公式求出 tan，即可求出 cos 的值【解答】解：
21、由题意，画出图形，如图所示；AA的中点坐标为（2 ，2） ，它的中垂线方程：y2=（x2） ，即 x+y4=0；同理 BB的中垂线方程为 x=3；由 ，解得 ；点 P（3 ，1）为固定点又 kPB= = ， = = ，tan= = ；cos= 13F 1，F 2 是椭圆 =1（ab 0）的两个焦点，P 为椭圆上一点，如果PF1F2 的面积为 3，tanPF 1F2= =3，则 a= 【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】由题意求得 sinPF 1F2= ，sinPF 2F1= ，利用两角和的正切公式，即可求得 tanF 2PF1，则求得 sinF 2PF1，利用正弦定理即可求得丨 PF1 丨及丨
22、 PF2 丨，根据椭圆的定义即可求得 a 的值【解答】解：由 tanPF 1F2= ，则 sinPF 1F2= ，tanPF 2F1=3，则sin PF2F1= ，tanF 2PF1=tan（PF 1F2+ PF2F1）= =则 sinF 2PF1= ，在PF 1F2 中，由正弦定理可知： = = =2R，R 为PF 1F2 外接圆的半径，则丨 PF2 丨=2RsinPF 1F2=2R ，丨 PF1 丨=2RsinPF 2F1=2R ，丨F1F2 丨=2Rsin F 2PF1=2R ，由 S= 丨 PF1 丨丨 PF2 丨 sinF 2PF1= 2R 2R =3，解得：R= ，则丨 PF1 丨
23、= ，丨 PF2 丨= ，由椭圆的定义丨 PF1 丨+丨 PF2 丨=2a=2 ，则 a= ，故答案为： 14已知 f（ x）= ，f 1（x）=f （x） ，f n（x ）= ，则 = 【考点】8B：数列的应用； 3T：函数的值；8H：数列递推式【分析】根据题意，令 f1（x）=a 1=f（x）= ，则有 f2（x）=a 2=ff1（x）=，依次可得 fn+1（x）=a n+1=ffn（x ）= ，分析可得即有 +1=+ +1=（ +1） 2，由等比数列的性质分析可得 lg（ +1）是首项为 lg（+1） ，公比为 2 的等比数列；进而可以求出数列a n的通项公式，将 n=10 代入可得 a
24、10=f10（x）的解析式，再将 x= 代入计算可得答案【解答】解：f（x）= ，f 1（x）=f（x ） ，f n（x ）= ，令 f1（x ）=a 1=f（x）= ，f2（x）=a 2=ff1（x）= ，fn+1（x）=a n+1=ffn（x ）= ，即有 an+1= ，变形可得： = + ，+1= + +1=（ +1） 2，lg（ +1）=lg（ +1） 2=2lg（ +1） ，故 lg（ +1）是首项为 lg（ +1） ，公比为 2 的等比数列；则有 lg（ +1）=lg（ +1）2 n1，+1=（ +1） ，当 n=10 时，有 +1=（ +1） ，又由 a1= ，则 +1=（ ）
25、2，a10=f10（x）= ，令 x= ，则 = ；故答案为： 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c设向量 =（a，c） ，=（ cosC，cosA） （1）若 ，c= a，求角 A；（2）若 =3bsinB，cosA= ，求 cosC 的值【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；9R：平面向量数量积的运算；HP：正弦定理【分析】 （1）利用向量共线定理和倍角公式可得 sin2A=sin2C再利用正弦函数的单调性、诱导公式即可得出；（2）利
26、用向量垂直与数量积的关系、正弦定理、两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式即可得出【解答】解：（1） ，acosA=ccosC由正弦定理，得 sinAcosA=sinCcosC化简，得 sin2A=sin2CA，C（0， ） ，2A=2C 或 2A+2C=，从而 A=C（舍）或 A+C= 在 RtABC 中，tanA= = ， （2） =3bcosB，acosC+ccosA=3bsinB由正弦定理，得 sinAcosC+sinCcosA=3sin2B，从而 sin（A+C）=3sin 2BA+B +C=，sin （A +C）=sinB 从而 sinB= ，A（0，） ， ，sinA= si
27、nAsinB，ab，从而 AB，B 为锐角， cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB ，= 16如图所示，四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ABAD，CDAD ，CD=2AB点 E 是 PC 的中点（）求证：BE平面 PAD；（）已知平面 PCD底面 ABCD，且 PC=DC在棱 PD 上是否存在点 F，使CF PA？请说明理由【考点】LS：直线与平面平行的判定； LY：平面与平面垂直的判定【分析】 （1）根据线面平行的判定定理即可证明：BE平面 PAD；（2）棱 PD 上存在点 F 为 PD 的中点，使 CFPA，利用三垂线定理可得结论【解答】 （1）证明：取 P
28、D 中点 Q，连结 AQ、EQE 为 PC 的中点，EQCD 且 EQ= CD又ABCD 且 AB= CD，EQAB 且 EQ=AB四边形 ABED 是平行四边形，BE AQ又BE平面 PAD，AQ平面 PAD，BE 平面 PAD（2）解：棱 PD 上存在点 F 为 PD 的中点，使 CFPA，平面 PCD 底面 ABCD，平面 PCD底面 ABCD=CD，AD CD，AD平面 PCD，DP 是 PA 在平面 PCD 中的射影，PC=DC，PF=DF，CF DP，CF PA17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 分别是椭圆： +y2=1 的左、右顶点，P（2 ，t ） （tR ，且 t
29、0）为直线 x=2 上一动点，过点 P 任意引一直线 l与椭圆交于 C、D ，连结 PO，直线 PO 分别和 AC、AD 连线交于 E、F（1）当直线 l 恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求 t 的值；（2）若 t=1，记直线 AC、 AD 的斜率分别为 k1，k 2，求证： + 定值；（3）求证：四边形 AFBE 为平行四边形【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题【分析】 （1）由题意得 l：y= x+1，由此能求出 t 的值（2）直线 AC：y=k 1（x+2） ，与 联立得 C： ，同理得 D：，由此能证明 =4（定值） （3）要证四边形 AFBE 为平行四边形，即只需证 E、F 的中点即
30、点 O【解答】 （1）解：由题意：椭圆： +y2=1 上顶点 C（0，1） ，右焦点 E（ ，0） ，所以 l： y= x+1，令 x=2，得 t=1 （2）证明：直线 AC：y=k 1（x+2） ，与 联立得 C： ，同理得 D： ，由 C， D，P 三点共线得：k CP=kDP，得 =4（定值） （3）证明：要证四边形 AFBE 为平行四边形，即只需证 E、F 的中点即点 O，设点 P（2 ，t ） ，则 OP：y= x，分别与直线 AC：y=k 1（x+2）与 AD：y=k 2（x +2）联立得：xE= ，x F= ，下证：x E+xF=0，即 + =0化简得：t（ k1+k2）4k 1
31、k2=0由（2）知 C： ，D ： ，由 C， D，P 三点共线得：k CP=kDP，得 t（k 1+k2）4k 1k2=0，所以四边形 AFBE 为平行四边形18如图所示，直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD，AB=10 m，CD=3 m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距 1m，在 AB 上取一点 E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示） 则 BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距 3 m，在 AB 上取一点 E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在
32、 D 处、B 处和 E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示） 则 BE 多长时钢丝绳最短？【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 5C：根据实际问题选择函数类型【分析】设钢丝绳长为 ym，CFD= ，（1） （其中 0 0，tan 0=7 ） ，求导，由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（2） （其中 0 0，） ，求导，由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值【解答】解：（1）设钢丝绳长为 ym，CFD= ，则（其中 0 0，tan 0=7 ） ，易知 为（0， 0）上的增函数，且当 tan= 时，y=0；故 在（0， 0）上先减后增，故当 时，即 时，y min=8；（2
33、）设钢丝绳长为 ym，CFD= ，则（其中0 0， ） ，令 y=0 得 sin=cos，当 时，即 时，；答：按方法（1） ， 米时，钢丝绳最短；按方法（2） ， 米时，钢丝绳最短19已知数列a n满足 a1=1，a 2=r（r 0） ，且a nan+1是公比为 q（q 0）的等比数列，设 bn=a2n1+a2n（ nN*） ，（1）求使 anan+1+an+1an+2a n+2an+3（nN *）成立的 q 的取值范围；（2）求数列b n的前 n 项和 Sn；（3）试证明：当 q2 时，对任意正整数 n2，S n 不可能是数列b n中的某一项【考点】8H：数列递推式； 8E：数列的求和【分
34、析】 （1）利用等比数列的通项公式、不等式的解法即可得出（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出（3）利用求和公式、作差方法即可得出【解答】 （1）解：由 anan+1+an+1an+2a n+2an+3（nN *） ，依题意得 qn1+qnq n+1，即 q2q10， （2）解：，且 b1=a1+a2=1+r0，数列b n是以 1+r 为首项，q 为公比的等比数列， （3）证明：当 q2 时， ， =，S na n+1，又 Sn=a1+a2+an， ，S na n，故当 q2 时，对任意正整数 n2，S n 不可能是数列b n中的某一项20已知函数 f（x ）=x 2x，g（x）=ln
35、x（）求函数 y=xg（x）的单调区间；（）若 t ，1，求 y=fxg（x）+t在 x1， e上的最小值（结果用 t 表示）；（）设 h（x）=f（x） x2（2a+1）x+（2a +1）g（x ） ，若 ae，3，x1，x 21， 2（x 1x 2） ，| | 恒成立，求实数 m 的取值范围【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6B：利用导数研究函数的单调性【分析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）设 u=xlnx，x1， e，得到 y=u2+（2t 1）u+t 2t，根据二次函数的性质求出 y 的最小值即可；（）求出函数 h（x）的导数，问题
36、可化为 h（x 1） h（x 2） ，设v（x）=h （x） ，根据函数的单调性求出 m 的范围即可【解答】解：（）y=xlnx，x（0，+） ，y=lnx +1，x（0， ）时，y0，y=xlnx 递减，x（ ，+ ）时，y 0，y=xlnx 递增，y=xlnx 在（0， ）递减，在（ ，+）递增；（）y=（xlnx+t） 2（xlnx+t）= （xlnx） 2+（2t 1） xlnx+t2t，设 u=xlnx，x1，e，由（）得 u=xlnx 在1， e递增，故 u0，e，此时 y=u2+（ 2t1）u+t 2t，对称轴 u= ，t ，1 ， ， 0，u0，e，故 u=0 时，y min=
37、t2t；（）h（x）= x2（2a +2）x+（2a+1）lnx，h（x）= ，x 1，2，ae，3时，2a+12e+1，7，故 h（x ）0 在1，2成立，即 h（x）在1，2递减，x 1x 2，不妨设 1x 1x 22，则 h（x 1）h（x 2） ，x 1x 2，故原不等式可化为 h（x 1） h （x 2） ，对 1x 1x 22 成立，设 v（x ）=h （ x） ，则 v（x ）在 1，2递增，其中 ae，3，即 v（x）0 在1，2恒成立，而 v（x）= + 0，即 x（2a+2）+ + 0 恒成立，即（2x2x 2）a+x 32x2+x+m0 恒成立，ae，3，由于 x1，2，
38、2x2x 20，故只需（2x2x 2）a+x 32x2+x+m0，即 x38x2+7x+m0，令 k（x）=x 38x2+7x+m，x1，2，k（x） =3x216x+70，故 k（x）在 x1，2上递减，k（x） min=k（2）=m 100，m10，m10 ，+ ） 三、附加卷（1-8，13，14 班）21设矩阵 M= ，N= ，若 MN= ，求矩阵 M 的特征值【考点】OV ：特征值与特征向量的计算【分析】先求矩阵 M，再根据特征值的定义列出特征多项式，令 f（）=0 解方程可得特征值【解答】解：M= ，N= ，若 MN= ， ，x=4，y=3；矩阵 M 的特征方程为 245=0，=1
39、或 5，矩阵 M 的特征值为 1 或 522在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为： （t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为=2cos直线 l 与圆相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】由直线 l 的参数方程消去参数 t 化为直线 l 的普通方程；圆 C 的极坐标方程为 =2cos，即 2=2cos，利用 可把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；利用点到直线的距离公式可得圆心 C（1，0）到直线 l 的距离为d，再利用弦长公式可得|AB |= 【解答】解：
40、直线 l 的参数方程为： （t 为参数） 消去参数 t 化为直线 l 的普通方程为：2x +y4=0； 圆 C 的极坐标方程为 =2cos，即 2=2cos，圆 C 的 z 直角坐标方程为：（x1） 2+y2=1；圆心 C（1，0）到直线 l 的距离为： ；|AB|= 23在某学校组织的一次篮球总投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分，如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第 3 次某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25，在 B 处的命中率为 q2该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮的训
41、练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5P 0.03 P1 P2 P3 P4（1）求 q2 的值；（2）求随机变量 的数学期望 E；（3）试比较该同学选择在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过3 分的概率的大小【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】 （1）由题设知， “=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质，能求出 q2（2）分别求出 p1=p（=2） ，p 2=p（=3） ，p 3=p（=4） ，p 4=p（=5） ，由此能求出 E（3）用 C 表示事件 “该同学选择第一次在 A 处投
42、，以后都在 B 处投，得分超过3 分”，用 D 表示事件“该同学选择都在 B 处投，得分超过 3 分”，则 P（C）=P（ =4）+P（=5） ，P（ D）= ，由此能求出结果【解答】解：（1）由题设知， “=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质，知 p（=0）=（1q 1） （1q 2） 2=0.03，q 1=0.25，解得 q2=0.8（2）根据题意 p1=p（=2）=（1q 1） （1q 2）q 2=0.7520.20.8=0.24，p2=p（=3）= =0.25（10.8 ） 2=0.01，p3=p（=4）= （1 q1） =0.750.82=0.
43、48，p4=p（=5）=q 1q2+q1（1q 2）q 2=0.250.8+0.250.20.8=0.24，因此 E=00.03+20.24+30.01+40.48+50.24=3.63（3）用 C 表示事件 “该同学选择第一次在 A 处投，以后都在 B 处投，得分超过3 分”，用 D 表示事件 “该同学选择都在 B 处投，得分超过 3 分”，则 P（ C）=P（ =4）+P（ =5）=P 3+P4=0.48+0.24=0.72，P（D ）= =0.82+20.80.20.8=0.896，故 P（ D）P（C） 即该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大于该同学选择第一次在 A 处投
44、以后都在 B 处投得分超过 3 分的概率24已知数列a n和b n的通项公式分别为 an=3n19，b n=2n将a n与b n中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为c n（1）试写出 c1，c 2，c 3，c 4 的值，并由此归纳数列 cn的通项公式；（2）证明你在（1）所猜想的结论【考点】DC：二项式定理的应用；F1：归纳推理【分析】 （1）按照已知条件写出 c1，c 2，c 3，c 4 的值，并由此归纳数列 cn的通项公式；（2）利用二项式定理直接证明在（1）所猜想的结论【解答】解：（1） ， ， ，由此归纳： （2）由 an=bm，得 ， ，由二项式定理得 ，当 m 为奇数时，n 有整数解，
