1、2017 届安徽省安庆十中、二中、桐城天成中学联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知复数 z 满足 zi=2i，i 为虚数单位，则 z=（ ）A2 i B1+2i C1+2i D 12i2用数学归纳法证明“（n +1） （n+2） （n +3） （n+n）=2 n13（2n1） ”（n N+）时，从“n=k 到 n=k+1”时，左边应增添的式子是（ ）A2k+1 B2（2k+1 ） C D3已知函数 f（x）=sin（x +） （0，| | ）的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数
2、为奇函数，则函数 y=f（x）的图象（ ）A关于点（ ，0）对称 B关于直线 x= 对称C关于点（ ，0）对称 D关于直线 x= 对称4下列命题的说法错误的是（ ）A对于命题 p：xR，x 2+x+10，则p：x 0R，x 02+x0+10B “x=1”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件C若命题 pq 为假命题，则 p，q 都是假命题D命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 n 的值为（ ）A6 B8 C10 D126已知ABC 中，AB=AC=4，BC= ，点 P 为 BC 边所在直线上的一个动
3、点，则 满足（ ）A最大值为 16 B最小值为 4C为定值 8 D与 P 的位置有关7已知函数 y=eax+3x 有平行于 x 轴的切线且切点在 y 轴右侧，则 a 的范围为（ ）A （ ，3 ） B （，3） C （3，+） D （3，+）8点 P（4，2）与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）A （x 2） 2+（y+1） 2=1 B （x 2） 2+（y+1 ） 2=4 C （x+4） 2+（y2） 2=1D （x +2） 2+（y1） 2=19等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a2a5=2a3，且 a4 与 2a7 的等差中项为 ，则 S5=（ ）A29 B
4、31 C33 D3610已知双曲线 C： =1（a0，b 0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF 2 分别交双曲线 C 左、右支于另一点 M，N ，|PF 1|=2|PF2|，且MF 2N=60，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D11已知函数 f（x ）满足 f（x）=f（ ）且当 x ，1时，f（x）=lnx ，若当x 时，函数 g（ x）=f （x ） ax 与 x 轴有交点，则实数 a 的取值范围是（ ）A ，0 Bln，0 C ， D ， 12设 D 是函数 y=f（x ）定义域内的一个区间，若存在 x0D，使 f
5、（x 0）=x 0，则称 x0 是 f（x）的一个“次不动点”，也称 f（x ）在区间 D 上存在次不动点若函数 f（ x）=ax 23xa+ 在区间 1，4上存在次不动点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，0 ） B （0， ） C ，+） D （， 二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分）13已知向量 ， ，则 的最大值为 14设实数 x、y 满足 x+2xy1=0，则 x+y 取值范围是 15若函数 y=f（x） （x R）满足 f（x +1）=f （x 1）且 x1，1时，f（x）=1x2，函数 g（x）= ，则实数 h（x）=f（x）g（x）在区间5，5
6、内零点的个数为 16如图，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E、 F 分别是点 A 在 PB、PC 上的射影，给出下列结论：AFPB ；EFPB；AFBC ；AE平面 PBC；平面 PBC平面PAC其中正确命题的序号是 三、解答题17ABC 中，角 A，B， C 的对边分别是 a，b，c 且满足（2ac）cosB=bcosC （1）求角 B 的大小；（2）若ABC 的面积为 ，求 a+c 的值18设数列a n，其前 n 项和 Sn=3n2，b n为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a 1+b1=a3+b3（1）求数列a n，b n的通项；（2）若
7、cn= ，数列c n的前 n 项和 Tn，求证： 119如图：四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面ABCD，PA=AB=1 ，AD= ，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动（1）证明：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF；（2）当 BE 等于何值时，PA 与平面 PDE 所成角的大小为 4520已知 F1，F 2 分别是椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点，P（1 ， ）是椭圆上一点，且 |PF1|，|F 1F2|， |PF2|成等差数列（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知动直线 l 过点 F2，且与椭圆 C 交于 A、B 两点，试问 x
8、 轴上是否存在定点 Q，使得 = 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由21已知 O 为坐标原点， P（x，y ）为函数 y=1+lnx 图象上一点，记直线 OP 的斜率 k=f（x） （）若函数 f（x）在区间（ m，m+ ） （m0）上存在极值，求实数 m 的取值范围；（）当 x1 时，不等式 f（x） 恒成立，求实数 t 的取值范围请考生在第 22 和第 23 题中任选一题作答，如果多做，则按第 22 题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（共 1 小题，满分 10 分）22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （其中 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x
9、 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =4sin（）若 A，B 为曲线 C1，C 2 的公共点，求直线 AB 的斜率；（）若 A，B 分别为曲线 C1，C 2 上的动点，当|AB |取最大值时，求AOB 的面积选修 4-5：不等式选讲（共 1 小题，满分 0 分）23已知函数 f（x ）=|x2|+|2x+a |，aR（）当 a=1 时，解不等式 f（x）5；（）若存在 x0 满足 f（x 0）+|x 02|3，求 a 的取值范围2017 届安徽省安庆十中、二中、桐城天成中学联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5
10、分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知复数 z 满足 zi=2i，i 为虚数单位，则 z=（ ）A2 i B1+2i C1+2i D 12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 zi=2i，得 故选：D2用数学归纳法证明“（n +1） （n+2） （n +3） （n+n）=2 n13（2n1） ”（n N+）时，从“n=k 到 n=k+1”时，左边应增添的式子是（ ）A2k+1 B2（2k+1 ） C D【考点】数学归纳法【分析】从 n=k 到 n=k+1 时左边需增乘的代数式是 ，化简即可得出【解答
11、】解：用数学归纳法证明（n+1） （n +2） （n+3）（n+n）=2n135（2n1） （nN *）时，从 n=k 到 n=k+1 时左边需增乘的代数式是 =2（2k+1） 故选 B3已知函数 f（x）=sin（x +） （0，| | ）的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 y=f（x）的图象（ ）A关于点（ ，0）对称 B关于直线 x= 对称C关于点（ ，0）对称 D关于直线 x= 对称【考点】正弦函数的图象【分析】由周期求出 =2，故函数 f（x ）=sin（2x+ ） ，再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x +是奇函数，可得 = ，
12、从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性【解答】解：由题意可得 =，解得 =2，故函数 f（x）=sin（2x +） ，其图象向右平移 个单位后得到的图象对应的函数为y=sin2（x ）+ =sin（2x +是奇函数，又| ，故 = ，故函数 f（x ）=sin（2x ） ，故当 x= 时，函数 f（x）=sin =1，故函数f（x）=sin（2x ） 关于直线 x= 对称，故选：D4下列命题的说法错误的是（ ）A对于命题 p：xR，x 2+x+10，则p：x 0R，x 02+x0+10B “x=1”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件C若命题 pq 为假命题，则 p，q 都是假命题D命题
13、“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用命题的否定判断 A 的正误；充要条件判断 B 的正误；复合命题的真假判断 C 的正误；四种命题的逆否关系判断 D 的正误；【解答】解：对于 A，命题 p：x R，x 2+x+10，则 p：x 0R，x 02+x0+10，满足命题的否定关系，正确；对于 B， “x=1”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件，满足“x=1”“x 23x+2=0”，反之，不成立，所以 B 正确；对于 C，若命题 pq 为假命题，则 p，q 至少一个是假命题，所以 C 不正确；对于 D，命题 “
14、若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”，满足逆否命题的形式，正确故选：C5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 n 的值为（ ）A6 B8 C10 D12【考点】程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n=0，S=0不满足条件 S1，执行循环体， n=2，S= ，不满足条件 S1，执行循环体， n=4，S= + ，不满足条件 S1，执行循环体， n=6，S= + + ，不满足条件 S1，执行循环体， n=8，S= + + + = ，满足
15、条件 S1，退出循环，输出 n 的值为 8故选：B6已知ABC 中，AB=AC=4，BC= ，点 P 为 BC 边所在直线上的一个动点，则 满足（ ）A最大值为 16 B最小值为 4C为定值 8 D与 P 的位置有关【考点】平面向量数量积的运算【分析】取 BC 的中点 D，则 AD= =2，由平行四边形法则， =2 ，故 =2 ，由此能求出结果【解答】解：取 BC 的中点 D，则 AD= =2，由平行四边形法则， =2 ，=2 =2| | |cosPAD=2| |2=24=8故选 C7已知函数 y=eax+3x 有平行于 x 轴的切线且切点在 y 轴右侧，则 a 的范围为（ ）A （ ，3 ）
16、 B （，3） C （3，+） D （3，+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，由函数 y=eax+3x 有平行于 x 轴的切线且切点在y 轴右侧，得导函数对应的方程有解且 a0，由此求得 a 的范围【解答】解：由函数 y=eax+3x，得 y=aeax+3，函数 y=eax+3x 有平行于 x 轴的切线且切点在 y 轴右侧，则 y=aeax+3=0（x 0 ）有解，即 0，a0即有 0 1，解得 a3 实数 a 的取值范围是（， 3） 故选：A8点 P（4，2）与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）A （x 2） 2+（y+1） 2=1 B
17、（x 2） 2+（y+1 ） 2=4 C （x+4） 2+（y2） 2=1D （x +2） 2+（y1） 2=1【考点】轨迹方程【分析】设圆上任意一点为（x 1，y 1） ，中点为（x，y） ，则 ，由此能够轨迹方程【解答】解：设圆上任意一点为（x 1，y 1） ，中点为（x，y） ，则代入 x2+y2=4 得（2x 4） 2+（2y+2） 2=4，化简得（x 2） 2+（y +1）2=1故选 A9等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a2a5=2a3，且 a4 与 2a7 的等差中项为 ，则 S5=（ ）A29 B31 C33 D36【考点】等比数列的前 n 项和【分析】利用 a2a3
18、=2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 ，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论【解答】解：数列a n是等比数列，a 2a3=2a1=a1q =a1a4，a 4=2a 4 与 2a7 的等差中项为 ，a 4 +2a7 = ，故有 a7 = q 3= = ，q= ，a 1= =16S 5= =31故选：B10已知双曲线 C： =1（a0，b 0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF 2 分别交双曲线 C 左、右支于另一点 M，N ，|PF 1|=2|PF2|，且MF 2N=60，则双曲线 C 的离心率为（ ）
19、A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，|PF 1|=2|PF2|，|PF 1|PF2|=2a，可得|PF 1|=4a，|PF 2|=2a，由MF 2N=60，可得F 1PF2=60，由余弦定理可得 4c2=16a2+4a224a2acos60，即可求出双曲线 C 的离心率【解答】解：由题意，|PF 1|=2|PF2|，|PF 1|PF2|=2a，|PF 1|=4a，|PF 2|=2a，MF 2N=60，F 1PF2=60，由余弦定理可得 4c2=16a2+4a224a2acos60，c= a，e= = 故选：B11已知函数 f（x ）满足 f（x）=f（ ）且当 x ，1时，f
20、（x）=lnx ，若当x 时，函数 g（ x）=f （x ） ax 与 x 轴有交点，则实数 a 的取值范围是（ ）A ，0 Bln，0 C ， D ， 【考点】抽象函数及其应用【分析】由题意先求出设 x1， 上的解析式，再用分段函数表示出函数f（x） ，根据对数函数的图象画出函数 f（x）的图象，根据图象求出函数 g（x）=f（x）ax 与 x 轴有交点时实数 a 的取值范围【解答】解：设 x1， ，则 ，1，因为 f（ x）=f（ ）且当 x ，1时，f（x）=lnx ，所以 f（ x）=f（ ）=ln =lnx，则 f（x）= ，在坐标系中画出函数 f（x ）的图象如图：因为函数 g（
21、x）=f（x）ax 与 x 轴有交点，所以直线 y=ax 与函数 f（ x）的图象有交点，由图得，直线 y=ax 与 y=f（x）的图象相交于点（ ，ln ） ，即有ln= ，解得 a=ln由图象可得，实数 a 的取值范围是：ln，0故选：B12设 D 是函数 y=f（x ）定义域内的一个区间，若存在 x0D，使 f（x 0）=x 0，则称 x0 是 f（x）的一个“次不动点”，也称 f（x ）在区间 D 上存在次不动点若函数 f（ x）=ax 23xa+ 在区间 1，4上存在次不动点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，0 ） B （0， ） C ，+） D （， 【考点】二次函数的性质
22、【分析】根据“f（x）在区间 D 上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x 在区间D 上有零点”，依题意，存在 x1，4，使 F（x）=f（x）+x=ax 22xa+ =0，讨论将 a 分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出 a 的范围【解答】解：依题意，存在 x1，4，使 F（x）=f（x）+x=ax 22xa+ =0，当 x=1 时，使 F（1）= 0；当 x1 时，解得 a= ，a= =0，得 x=2 或 x= ， （ 1，舍去） ，x （1 ，2） 2 （2 ，4）a + 0 a 最大值 当 x=2 时，a 最大= = ，所以常数 a 的取值范围是（， ，故选：
23、D二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分）13已知向量 ， ，则 的最大值为 【考点】向量的模；三角函数的最值【分析】根据所给的坐标表示出两个向量的差的模长，问题转化为三角函数的问题，应用三角函数的辅角公式整理，在角的取值不加限制的情况下，得到三角函数的取值范围，求出最大值【解答】解： ， =|sincos|= |sin（ ）| R ，故答案为： 14设实数 x、y 满足 x+2xy1=0，则 x+y 取值范围是 【考点】基本不等式【分析】由 x+2xy1=0，可得 y= ， （x0） 则 x+y=x+ =x+ ，对 x分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：
24、x+2xy1=0，y= ， （x0） 则 x+y=x+ =x+ ，x0 时，x +y = ，当且仅当 x= 时取等号x0 时，x +y= 2 = ，当且仅当 x= 时取等号综上可得：x+y 取值范围是 故答案为： 15若函数 y=f（x） （x R）满足 f（x +1）=f （x 1）且 x1，1时，f（x）=1x2，函数 g（x）= ，则实数 h（x）=f（x）g（x）在区间5，5内零点的个数为 8 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象；函数零点的判定定理【分析】由 f（x+2）=f（x ） ，知函数 y=f（x） （x R）是周期为 2 的函数，进而根据 f（ x）=1x 2 与函
25、数 g（x）= ，的图象得到交点为 8 个【解答】解：因为 f（x+2）=f （x ） ，所以函数 y=f（x ） （xR ）是周期为 2 函数，因为 x1， 1时，f（x）=1x 2，所以作出它的图象，则 y=f（x ）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数 g（x）= ，的图象，容易得出到交点为 8 个故答案为：816如图，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E、 F 分别是点 A 在 PB、PC 上的射影，给出下列结论：AFPB ；EFPB；AFBC ；AE平面 PBC；平面 PBC平面PAC其中正确命题的序号是 【考点】空间中直线与平面之间的
26、位置关系【分析】PA 圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点BC平面 PAC，继而可证 BC AF，AFPC，从而易证 AF平面 PBC，从而可对作出判断【解答】解：PA圆 O 所在的平面 ，BC，PABC，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，BCAC，又 PA AC=A，BC平面 PAC，AF 平面 PAC，BC AF，又 AFPC ，PC BC=C ，AF平面 PBC，PB平面 PBC，AFPB ，即正确；又 AEPB ，同理可证 PB平面 AFE，EF平面 AFE，EF PB ，即正确；由 BC 平面 PAC，AF 平面 PAC 知，BC AF，即
27、正确；AF平面 PBC（前边已证） ，AEAF=A，AE 不与平面 PBC 垂直，故 错误，AF平面 PBC，且 AF平面 PAC，平面 PAC平面 PBC，即正确综上所述，正确结论的序号是故答案为：三、解答题17ABC 中，角 A，B， C 的对边分别是 a，b，c 且满足（2ac）cosB=bcosC （1）求角 B 的大小；（2）若ABC 的面积为 ，求 a+c 的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】 （1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据 sinA 不为 0，得到 cosB 的值，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数；（2）由 B
28、 的度数求出 sinB 和 cosB 的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，将 sinB 及已知的面积代入求出 ac 的值，利用余弦定理得到b2=a2+c22accosB，再利用完全平方公式整理后，将 b，ac 及 cosB 的值代入，开方即可求出 a+c 的值【解答】解：（1）又 A+B+C=，即 C+B=A，sin （C +B）=sin （A）=sinA，将（2a c）cosB=bcosC ，利用正弦定理化简得：（2sinA sinC）cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin （C +B）=sinA，在ABC 中，0 A，s
29、inA0，cosB= ，又 0B，则 B= ；（2）ABC 的面积为 ，sinB=sin = ，S= acsinB= ac= ，ac=6，又 b= ，cosB=cos = ，利用余弦定理 b2=a2+c22accosB 得：a 2+c2ac=（a +c） 23ac=（a +c） 218=3，（a +c） 2=21，则 a+c= 18设数列a n，其前 n 项和 Sn=3n2，b n为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a 1+b1=a3+b3（1）求数列a n，b n的通项；（2）若 cn= ，数列c n的前 n 项和 Tn，求证： 1【考点】数列与不等式的综合【分析】 （1）由已知得
30、a1=3，当 n2 时，a n=SnSn1=（3n 2+3（n1） 2=6n+3，由此能求出 an=6n+3；由已知得 ，由此能求出 bn=2n+1（2） ，由此利用裂项求和法能证明 1【解答】 （1）解：数列a n，其前 n 项和 Sn=3n2，a 1=3，当 n2 时，a n=SnSn1=（ 3n2+3（n 1） 2=6n+3，当 n=1 时，上式也成立，a n=6n+3，b n为单调递增的等比数列，b 1b2b3=512，a 1+b1=a3+b3， ，解得 b1=4，q=2 或 （舍） ，b n=2n+1（2）证明：T n=c1+c2+c3+cn= Tn 是递增数列，19如图：四棱锥 P
31、ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面ABCD，PA=AB=1 ，AD= ，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动（1）证明：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF；（2）当 BE 等于何值时，PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质【分析】 （1）建立如图所示空间坐标系，得出 P、B、F 、D 的坐标设 BE=x 得E（ x，1，0） ，算出 的坐标，得出 ，由此可得无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF；（2）利用垂直向量数量积为零的方法，算出 是平面 PDE的一个法向量，结合 =（ 0，0
32、，1）与题中 PA 与平面 PDE 所成角，利用空间向量夹角公式建立关于 x 的方程，解出 x 的值即可得到 PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45时， BE 的长【解答】解：（1）分别以 AD、AB、AP 所在直线为 x、y、z 轴，建立如图所示空间坐标系则可得 P（0 ，0，1） ，B（0，1，0） ，F（0， ， ） ，D（ ，0，0）设 BE=x，则 E（x，1，0） =（ x，1，1）得 =x0+1 +（1） =0可得 ，即 AFPE 成立；（2）求出 =（ ，0， 1） ，设平面 PDE 的一个法向量为则 ，得PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45， =（0，0，1）sin
33、45= = ，得 =解之得 x= 或 x=BE=x ，BE= ，即当 BE 等于 时，PA 与平面 PDE 所成角的大小为 4520已知 F1，F 2 分别是椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点，P（1 ， ）是椭圆上一点，且 |PF1|，|F 1F2|， |PF2|成等差数列（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知动直线 l 过点 F2，且与椭圆 C 交于 A、B 两点，试问 x 轴上是否存在定点 Q，使得 = 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出 a= c，把 P 点坐标代入椭圆方程列方程组解出
34、a，b 得出椭圆方程；（2）设 Q（m，0） ，当直线斜率为 0 时，求出 A，B 坐标，列方程解出 m，当直线斜率不为 0 时，设 AB 方程为 x=ty+1，联立方程组得出 A，B 坐标的关系，根据 = 列方程解出 m【解答】解：（1） |PF1|，|F 1F2|， |PF2|成等差数列， |PF1|+ |PF2|=2|F1F2|，即 2 a=4c，a= ，解得 椭圆方程为 （2）假设在 x 轴上存在点 Q（m，0） ，使得 恒成立当直线 l 的斜率为 0 时，A （ ，0） ，B（ ， 0） =（ m，0） ， =（ m，0） =m22= ，解得 或 m= 若直线 l 斜率不为 0，设直
35、线 AB 的方程为 x=ty+1联立方程组 ，消元得：（t 2+2）y 2+2ty1=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2= ，y 1y2= x 1+x2=t（y 1+y2）+2= ，x1x2=（ ty1+1） （ty 2+1）=t 2y1y2+t（y 1+y2）+1= =（ x1m，y 1） ， =（x 2m，y 2） =（ x1m） （x 2m）+y 1y2=x1x2m（x 1+x2）+m 2+y1y2= +m2 = = ，解得 m= 综上，Q 点坐标为（ ，0） 21已知 O 为坐标原点， P（x，y ）为函数 y=1+lnx 图象上一点，记直线 OP 的
36、斜率 k=f（x） （）若函数 f（x）在区间（ m，m+ ） （m0）上存在极值，求实数 m 的取值范围；（）当 x1 时，不等式 f（x） 恒成立，求实数 t 的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）先根据斜率公式求 f（x ） ，再由极值确定 m 的取值范围， （）恒成立问题通常转化为最值问题【解答】解：（） 由题意知， ，所以当 0x1 时，f（x ）0；当 x1 时，f（x）0；f（ x）在（0，1）上单调递增，在（ 1，+）上单调递减故 f（x）在 x=1 处取得极大值函数 f（x ）在区间 上存在极值 得 ，
37、即实数 m 的取值范围是 （） 由题意 得 ，令 ，则 ，令 h（x）=x lnx， （x1） ，则 ，x1h（ x）0，故 h（x）在1，+）上单调递增，h（x）h（1）=10 从而 g（x）0，故 g（ x）在1，+）上单调递增，g （x）g （1）=2 ，实数 t 的取值范围是（，2请考生在第 22 和第 23 题中任选一题作答，如果多做，则按第 22 题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（共 1 小题，满分 10 分）22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （其中 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =4s
38、in（）若 A，B 为曲线 C1，C 2 的公共点，求直线 AB 的斜率；（）若 A，B 分别为曲线 C1，C 2 上的动点，当|AB |取最大值时，求AOB 的面积【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】 （）消去参数 得曲线 C1 的普通方程，将曲线 C2 化为直角坐标方程，两式作差得直线 AB 的方程，则直线 AB 的斜率可求；（）由 C1 方程可知曲线是以 C1（1，0）为圆心，半径为 1 的圆，由 C2 方程可知曲线是以 C2（0，2 ）为圆心，半径为 2 的圆，又|AB|AC 1|+|C1C2|+|BC2|，可知当|AB|取最大值时，圆心 C1，C 2 在直线 A
39、B上，进一步求出直线 AB（即直线 C1C2）的方程，再求出 O 到直线 AB 的距离，则AOB 的面积可求【解答】解：（）消去参数 得曲线 C1 的普通方程 C1：x 2+y22x=0（1）将曲线 C2：=4sin 化为直角坐标方程得 x2+y24y=0 （2）由（1）（2）得 4y2x=0，即为直线 AB 的方程，故直线 AB 的斜率为 ；（）由 C1：（x1） 2+y2=1 知曲线 C1 是以 C1（1， 0）为圆心，半径为 1 的圆，由 C2：x 2+（y2） 2=4 知曲线 C2：是以 C2（0，2 ）为圆心，半径为 2 的圆|AB|AC 1|+|C1C2|+|BC2|，当|AB|取
40、最大值时，圆心 C1，C 2 在直线 AB 上，直线 AB（即直线 C1C2）的方程为：2x+y=2 O 到直线 AB 的距离为 ，又此时|AB|=|C 1C2|+1+2=3+ ，AOB 的面积为 选修 4-5：不等式选讲（共 1 小题，满分 0 分）23已知函数 f（x ）=|x2|+|2x+a |，aR（）当 a=1 时，解不等式 f（x）5；（）若存在 x0 满足 f（x 0）+|x 02|3，求 a 的取值范围【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法【分析】 （）当 a=1 时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式 f（x）5；（）求出 f（x）+|x2|的最小值，根据不等式的关系转化
41、为（f（x）+|x 2|）min3 即可求 a 的取值范围【解答】解：（）当 a=1 时，f （x）=|x 2|+|2x+1|， 由 f（x）5 得 x2|+|2x+1|5当 x2 时，不等式等价于 x2+2x+15，解得 x2，所以 x2； 当 x2 时，不等式等价于 2x+2x+15 ，即 x2，所以此时不等式无解；当 x 时，不等式等价于 2x2x15 ，解得 x ，所以 x 所以原不等式的解集为（， 2，+） （）f（x ）+|x2|=2|x2|+|2x+a|= |2x4|+|2x+a|2x+a （2x 4）|= |a+4|因为原命题等价于（f（x ）+|x2|） min3，所以|a+4|3，所以7a 1 为所求实数 a 的取值范围
