1、第 1 页 共 14 页2018 届江苏省徐州市高三上学期期中考试数学试题一、填空题1设集合 ， ，则 _A=1,2,3B=2,4,6AB=【答案】 2【解析】 AB=1,2,32,4,6=22已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的实部为_ z (1+i)z=i i z【答案】12【解析】因为 ,所以 ,即复数 的实部为(1+i)z=i z=i1+i=i+12 z 123函数 的周期为 _f(x)=2sin(3x+14)【答案】6【解析】周期为 23=64已知一组数据： 的平均数为 ，则该组数据的方差为 _87,x,90,89,9390【答案】 4【解析】 87+x+90+89+93=
2、905x=91该组数据的方差为 15(8790)2+(9190)2+(9090)2+(8990)2+(9390)2=45双曲线 的离心率为 _x2y23=1【答案】 2【解析】 a=1,c2=1+3=4c=2,e=ca=26从 2 个黄球，3 个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是_【答案】35【解析】两球颜色不同的概率是 23C25=610=357执行如图所示的流程图，则输出的 值为_x第 2 页 共 14 页【答案】4【解析】循环依次为 x=0,x=20=1,k=1;x=1,x=21=2,k=2;x=2,x=22=4,k=3;循环结束,输出 x=4,x=24=16,k=4;x=16
3、,x=log216=4,k=55; x=48各棱长都为 的正四棱锥的体积为_2【答案】423【解析】正四棱锥的高为 ,所以体积为 22( 2)2= 2 13 222=4239已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 ，若 成等比数列，an n Sn a2=6 a1,a3,a7则 的值为_S8【答案】88【解析】由 成等比数列得 ,a1,a3,a7 a23=a1a7(a1+d)2=a1(a1+6d),d0a1=2d得 a2=6 a1+d=6a1=4,d=2S8=8a1+1287d=84+12872=8810如图，在半径为 2 的扇形 中， ， 为 上的一点，若 ，AOB AOB=90 P A
4、B OPOA=2则 的值为_OPAB【答案】 2+23第 3 页 共 14 页【解析】由 得 OPOA=2 22cosAOP=2cosAOP=12AOP=3以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴建立直角坐标系，则 P(1,3),A(2,0),B(0,2)OPAB=(1,3)(2,2)=232点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式ab=|a|b|cos；三是利用数量积的几何意义 .ab=x1x2+y1y2(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.11已知函数 （ 为自然对数的底数） ，若 ，则实
5、数 f(x)=exex+1 e f(2x1)+f(4x2)2 x的取值范围为_【答案】 (1,3)【解析】令 ，则g(x)=f(x)1=exex g(x)=ex+ex0,g(x)=exex=g(x)所以 为奇函数且单调递增， 因此 g(x) f(2x-1)+f(4-x2)2g(2x1)+g(4x2)0g(2x1)g(4x2)=g(x24)即 2x1x24x22x3f(h(x)后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组) ，此时要注意 与 的取f g(x)h(x)值应在外层函数的定义域内12已知实数 满足 ， ，则 的最小值为_x,y x2+y2=3 |x|y|1(2x+y)2+ 4(
6、x2y)2【答案】35【解析】 1(2x+y)2+ 4(x-2y)2=(2x+y)2+(x2y)215 1(2x+y)2+ 4(x2y)2=1155+(x2y)2(2x+y)2+4(2x+y)2(x2y)21155+2 (x2y)2(2x+y)24(2x+y)2(x2y)2=915=35点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13已知点 是圆 上的动点，点 ，若直线 上总存在点 ，使点P O:x2+y2=4 A(4,0) y
7、=kx+1 Q恰是线段 的中点，则实数 的取值范围为_Q AP k【答案】 43,0【解析】设 ，则 ，所以Q(x,y)P(2x4,2y)(2x4)2+(2y)2=4,(x2)2+y2=1因此 |2k+1|k2+113k2+4k043k0点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法第 4 页 共 14 页(1)几何法：利用 d 与 r 的关系(2)代数法：联立方程之后利用 判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题14已知函数 ，若存在 ，使 ，则实数 的取值范围为f(x)=x3x22a x0(,a f(
8、x0)0 a_【答案】 1,02,+)【解析】由三次函数图像知只需 ，即f(a)0a3a22a0a(a2)(a+1)0a2或 1a0点睛：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.二、解答题15已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ABC A B C a b c a+2c=2bcosA（1）求角 的大小；B（2）若 ， ，求 的面积b=23 a+c=4 ABC【答案】 （1） （2）23 3【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将
9、边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角关系化简得 ，即得角 （2）由余弦定理得 ，配方得cosB=-12 B a2+c2+ac=12，解得 ，最后根据三角形面积公式求面积(a+c)2-ac=12 ac=4试题解析：（1）因为 ，a+2c=2bcosA由正弦定理，得 sinA+2sinC=2sinBcosA因为 ，C=-(A+B)所以 sinA+2sin(A+B)=2sinBcosA即 ，sinA+2sinAcosB+2cosAsinB=2sinBcosA所以 因为 ，所以 又因为 ，sinA(1+2cosB)=0 sinA0 cosB=-12 00,f()所以当 时， 取得最小值 .=0 f
10、()答：当 满足 时，符合园林局要求. cos=1+33818如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点为 ，离xOy E:x2a2+y2b2=1(ab0) A(2,0)心率为 ，过点 的直线 与椭圆 交于另一点 ，点 为 轴上的一点.12 A l E B C y（1）求椭圆 的标准方程；E（2）若 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 的方程.ABC C l【答案】 （1） （2）x24+y23=1 y=0,y=34(x+2)【解析】试题分析：（1）根据条件列关于 a,b,c 方程组，解得 a,b（2）先设直线方程（点斜式） ，与椭圆方程联立解得 B 点坐标，由 AC 与 BC 垂直，
11、以及 AC=BC 解出 C 点纵坐标，得关于 k 的二次方程，即得直线方程试题解析：（1）由题意可得： ，即 ， a=2e=12 a=2ca=12 第 7 页 共 14 页从而有 ，b2=a2-c2=3所以椭圆 的标准方程为： Ex24+y23=1（2）设直线 的方程为 ，代入 ，l y=k(x+2)x24+y23=1得 ， (3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0因为 为该方程的一个根，解得 ， x=-2 B(6-8k23+4k2, 12k3+4k2)设 ,由 ,得： ，C(0,y0) kACkBC=-1y02 12k3+4k2-y06-8k23+4k2=-1即： (3+4k2)y
12、02-12ky0+(16k2-12)=0(*)由 ,即 ，得 ，AC=BC AC2=BC2 4+y02=(6-8k23+4k2)2+(y0- 12k3+4k2)2即 ，4=(6-8k23+4k2)2+( 12k3+4k2)2- 24k3+4k2y0即 ，4(3+4k2)2=(6-8k2)2+144k2-24k(3+4k2)y0所以 或 ， k=0 y0=-2k3+4k2当 时，直线 的方程为 ，k=0 l y=0当 时，代入 得 ，解得 ，y0=-2k3+4k2 (*) 16k4+7k2-9=0 k=34此时直线 的方程为 .l y=34(x+2)综上,直线 的方程为 ， .l y=0 y=3
13、4(x+2)19已知数列 的前 项和为 ，满足 ， 数列 满足an n Sn Sn=2an1nN* bn， ，且 nbn+1(n+1)bn=n(n+1) nN* b1=1（1）求数列 和 的通项公式；an bn（2）若 ，数列 的前 项和为 ，对任意的 ，都有 ，求实cn=an bn cn n Tn nN* TnnSna数 的取值范围；a（3）是否存在正整数 ， ，使 ， ， （ ）成等差数列，若存在，求出所有m n b1 ambn n1满足条件的 ， ，若不存在，请说明理由m n【答案】 （1） （2） （3）不存在an=2n1,bn=n2 a0【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系得
14、递推关系，结合等比数列定义可an得通项公式，先对条件变形得新数列为一个等差数列，根据等差数列通项公式得 的bn第 8 页 共 14 页通项公式；（2）先根据错位相减法求出 ，化简可得 恒成立，再根据数列Tn a2n-n-1单调性可得 最小值为零，即得实数 的取值范围；（3）先根据条件化简得2n-n-1 a，再利用奇偶分析法研究方程解的情况.1+n2=2m试题解析：（1）当 时， ，所以 n=1 S1=2a1-1=a1 a1=1当 时， ， ，n2 Sn=2an-1 Sn-1=2an-1-1两式相减得 ，an=2an-1从而数列 为首项 ，公比 的等比数列，an a1=1 q=2从而数列 的通项
15、公式为 an an=2n-1由 两边同除以 ，nbn+1-(n+1)bn=n(n+1) n(n+1)得bn+1n+1-bnn=1从而数列 为首项 ，公差 的等差数列，所以 ，bnn b1=1 d=1 bnn=n从而数列 的通项公式为 bn bn=n2（2）由（1）得 ，cn=anbn=n2n-1于是 ，Tn=11+22+322+(n-1)2n-2+n2n-1所以 2Tn=12+222+323+(n-1)2n-1+n2n两式相减得 ，-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n所以 ， Tn=（ n-1） 2n+1由（1）得 ， Sn=2an-1=2n-1因为对 ，都有 ，nN
16、* TnnSn-a即 恒成立，（ n-1） 2n+1n(2n-1)-a所以 恒成立，a2n-n-1记 ，cn=2n-n-1所以 ， a(cn)min因为 ，cn+1-cn=(2n+1-(n+1)-1)-(2n-n-1)=2n-10第 9 页 共 14 页从而数列 为递增数列，所以当 时 取最小值 ，cn n=1 cn c1=0于是 a0（3）假设存在正整数 （ ） ，使 成等差数列，则 ，m， n n1 b1,am,bn b1+bn=2am即 ，1+n2=2m若 为偶数，则 为奇数，而 为偶数，上式不成立.n 1+n2 2m若 为奇数，设 ，则 ，n n=2k-1(kN*) 1+n2=1+(2
17、k-1)2=4k2-4k+2=2m于是 ，即 ，2k2-2k+1=2m-1 2(k2-k)+1=2m-1当 时， ，此时 与 矛盾；m=1 k=1 n=2k-1=1 n1当 时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.m2综上所述，满足条件的实数对 不存在(m,n)点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”Sn qSn以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列SnqSn的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.20已知函数 ( ,
18、 是自然对数的底数).f(x)=(ax1)exa0e（1）若函数 在区间 上是单调减函数,求实数 的取值范围；f(x) 1,2 a（2）求函数 的极值；f(x)（3）设函数 图象上任意一点处的切线为 ，求 在 轴上的截距的取值范围f(x) l l x【答案】 （1） （2）见解析（3）a13 (,1a41a,+)【解析】试题分析：（1）由题意转化为 在区间 上恒成立，化简可得一次函f(x)0 1,2数恒成立，根据一次函数性质得不等式，解不等式得实数 的取值范围；（2）导函数a有一个零点，再根据 a 的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得
19、切线在 x 轴上的截距，最后根据 a 的正负以及基本不等式求截距的取值范围试题解析：（1）函数 的导函数 ，f(x) f(x)=(ax-1+a)ex则 在区间 上恒成立，且等号不恒成立，f(x)0 1,2又 ，所以 在区间 上恒成立， ex0 ax-1+a0 1,2记 ，只需 ， 即 ，解得 g(x)=ax-1+a g(1)0g(2)0 a13（2）由 ，得 ，f(x)=(ax-1+a)ex=0 x=1-aa当 时，有 ； ，a0 x(1-aa,+),f(x)0 x(-,1-aa),f(x)0所以函数 在 单调递减， 单调递增，f(x)x(-,1-aa) x(1-aa,+)所以函数 在 取得极
20、小值 ，没有极大值f(x)x=1-aa -ae1-aa综上可知: 当 时，函数 在 取得极大值 ，没有极小值；a0 f(x)x=1-aa -ae1-aa（3）设切点为 ，T(t,(at-1)et)则曲线在点 处的切线 方程为 ，T l y-(at-1)et=(at-1+a)(x-t)et当 时，切线 的方程为 ，其在 轴上的截距不存在t=1-aa l y=(at-1)et=-ae1-aa x当 时，令 ，得切线 在 轴上的截距为t1-aa y=0 l xx=t-at-1at-1+a=t-(at-1+a)-aat-1+a =t-1+ aat-1+a=t-1+ 1t-1a+1， =t-1a+1+
21、1t-1a+1-2+1a当 时，t-1a+10，x=t-1a+1+ 1t-1a+1-2+1a2(t-1a+1) 1t-1a+1-2+1a=1a当且仅当 ，即 或 时取等号； t-1a+1= 1t-1a+1 t=1a t=1a-2当 时，t-1a+10) x建立平面直角坐标系，设直线 的参数方程为 （ 为参数） ，若直线 与圆 恒有l x=5t+1y=12t1 t l C公共点，求实数 的取值范围.a【答案】 a1725【解析】试题分析： 先根据加减消参法得直线普通方程，再根据 ,cos=x将圆极坐标方程化为直角坐标方程，最后根据直线与圆位置关系列不等式，2=x2+y2解得实数 的取值范围.a试
22、题解析：由 （ 为参数） ，可得直线 的普通方程为 ，x=5t+1y=12t-1 t l 12x-5y-17=0由 得=2acos(a0) 2=2acos所以，圆 的标准方程为 ， C (x-a)2+y2=a2第 12 页 共 14 页因为直线 与圆 恒有公共点，所以 ，l C|12a-17|122+52|a|又因为 ，所以 ，解之得 ，a0|12a-17|122+52a a1725所以，实数 的取值范围为 a a172524 选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分）设 均为正数,且 ,求证: .x,y xy 2(xy1)+1x22xy+y21【答案】见解析【解析】试题分析： 先配方，再
23、利用均值不等式证明不等式试题解析：证明：因为 ， 所以 ，x0,y0,xy x-y0因为，2(x-y)+1(x-y)2=(x-y)+(x-y)+ 1(x-y)233(x-y)(x-y) 1(x-y)2=3当且仅当 时等号成立， x-y=1所以 2(x-y-1)+1x2-2xy+y2125如图，在三棱锥 中， 两两垂直，点 分别为棱 的中点， 在ABOCOA,OB,OC D,E BC,AC F棱 上，且满足 ，已知 . AO OF=14OA OA=OC=4,OB=2（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；ADOC（2）求二面角 的正弦值.CEFD【答案】 （1） （2）22121 10521【解析
24、】试题分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求直线方向向量夹角，最后线线角与向量夹角关系确定结果（2）利用方程组解出各面法向量，再利用向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定结果试题解析：（1）如图，以 为原点，分别以 方向为 轴、 轴、 轴正方向建立O OB,OC,OA x y z空间直角坐标系.依题意可得： ， ， ， ， ，O(0,0,0)A(0,0,4) B(2,0,0)C(0,4,0)D(1,2,0)， E(0,2,2)F(0,0,1)第 13 页 共 14 页所以， ，AD=(1,2,-4) OC=(0,4,0)于是 ， ， ，ADOC=
25、8 |AD|= 21 |OC|=4所以， . cos= ADOC|AD|OC|= 8421=22121（2）平面 的一个法向量为 .AOC OB=(2,0,0)设 为平面 的一个法向量，m=(x,y,z) DEF又 ，EF=(0,-2,-1),DE=(-1,0,2)则 即mEF=0,mDE=0, 2y+z=0,x-2z=0. 不妨取 ，则 ，z=2 x=4,y=-1所以 为平面 的一个法向量， m=(4,-1,2) DEF从而 ,cos= OBm|OB|m|=(2,0,0)(4,-1,2)221 =42121设二面角 的大小为 ，则 .C-EF-D |cos|=42121因为 ，所以 .0,
26、sin= 1-cos2=10521因此二面角 的正弦值为 .C-EF-D10521点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.26某同学在上学路上要经过 、 、 三个带有红绿灯的路口.已知他在 、 、 三个A B C A B C路口遇到红灯的概率依次是 、 、 ，遇到红灯时停留的时间依次是 秒、 秒、 秒，13 14 34 40 20 80且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概
27、率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.【答案】 （1） （2）38 2353【解析】试题分析：（1）先确定事件：“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，第 14 页 共 14 页在第三个路口遇到红灯” ，再根据概率乘法求概率（2）即求数学期望：先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望试题解析：（1）设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 ，A因为事件 等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到A红灯” ，所以事件 的概率为 .A P(A)=(1-13)(1-14)34=38（2）记“这名同学在上学路上因遇到红灯停
28、留的总时间”为 ，由题意，可得 可能取的值为 0，40，20，80，60，100，120，140(单位:秒).即 的分布列是：； ；P(=0)=(1-13)(1-14)(1-34)=18 P(=40)=13(1-14)(1-34)=116； ；P(=20)=(1-13)14(1-34)=124P(=80)=(1-13)(1-14)34=38； ；P(=60)=1314(1-34)=148 P(=100)=(1-13)1434=18； P(=120)=13(1-14)34=316 P(=140)=131434=116所以 .E=40116+20124+8038+60148+10018+12031
29、6+140116=2353答：这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为 .2353点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得.XB(n,p) E(X)=np因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
