1、第页 12018 届四川省达州市高高三上期 10 月数学同步测试题（二）理科数学（解析版）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一项是符合题目要求的）1. 若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（ ）(1i)(a+i)A. （，1） B. （，1） C. （1，+） D. （1，+）【答案】B【解析】试题分析：设 ，因为复数对应的点在第二象限，所以 ，解z=(1i)(a+i)=(a+1)+(1a)i a+10得： ，故选 B.a0 AB第页 3A. B. x|02【答案】D【解析】依据定义， 就是指将 除
2、去 后剩余的元素构成的集合，对于集合 ，求的是函数AB AB AB A的定义域，解得 ，对于集合 ，求的是函数 的值域，解得 ，y= 2xx2 A=x|0x2 B y=3x(x0) B=y|y1所以 ， 或 ，故选 D.AB=0,+),AB=(1,2 AB=x|0x1 x27. 在 中，角 的对边分别为 a，b，c若 为锐角三角形，且满足ABC A, B, C ABC，则下列等式成立的是（ ）sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinCA. B. C. D. a=2b b=2a A=2B【答案】A【解析】 sin(A+C)+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAs
3、inC所以 ，选 A.2sinBcosC=sinAcosC2sinB=sinA2b=a【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有 ， ， 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到 .解答三角C a=2b形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080则下列各结论正确的是 （ ）（参考数据：lg30.48）A. 1053 B. =1053 C. = 1093 D. 10 93MN MN MN MN【答
4、案】D9. 以下判断正确的是（ ）A. 函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值点的充要条件y=f(x) R f(x0)=0 x0 f(x)B. 命题“ ”的否定是“ ”x0R,x02+x01B sinAsinB【答案】C【解析】对于 ，函数 为 上可导函数，则A y=f(x) R第页 4是 为函数 极值点的必要不充分条件，如 ，满足 ，但 不是函数的极值f(x0)=0 x0 f(x) f(x)=x3,f(x)=3x2 f(0)=0 0点，故 错误；对于 ，命题“ ”的否定是 “ ”，故 错误；对于 ，若A B x0R,x20+x01B sinAsinB命题为“若 ，则 ”，由正弦定理可知，
5、在 中， ，逆命题为真命sinAsinB AB ABC abABsinAsinB题，故 错误，故选 C.D10. 设 均为正数，且 ， ， . 则（ ）a,b,c(13)b=log13b (13)c=log3cA. B. C. D. b1 b212. 若函数 ，则方程 的根的个数为（ ）f(x)=x3+e,x0exx,x0 3f(f(x)e3=0A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】当 时， ，据此可得函数在区间 上单调递减，在区间 单调递增，且 ，绘x0 f(x)=ex(x1)x (0,1) (1,+) f(1)=e制函数图象如图所示，由 可得 或 ，当 时，函数有两个根，
6、当 为f(f(x)=e33 f(x)=3 f(x)=t(0,1) f(x)=3e f(x)区间 上的某一个定值时， 有唯一的实数根，综上可得：方程 的根的个数为 ，故选 C.(0,1) f(x)=t f(f(x)=e33 3第页 6【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题 .数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换. 充分利
7、用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.第卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题 第 23 题为选考题，考生根据要求做答 。二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 函数 的定义域是_ .y=x+1x【答案】 x|x1且 x0【解析】试题分析：根据题意有 ，从而求得函数的定义域为 x+10x0 1,0)(0,+)考点：函数的定义域14. 已知函数 在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若 ，f(x)=43sin(x+3)(0) ABC=90则 _.=【答案】8【解
8、析】根据函数 在平面直角坐标系中的部分图象， f(x)=43sin(x+3)(0)， ，AC= (T2)2+(83)2= 22+192AB= (342)2+(43)2= 9242+48， ，即BC= (T4)2+(43)2= 242+48,ABC=90 AC2=AB2+BC2，故答案为 .22+192=9242+48+242+48,=8 815. 在 中， ， ， . 若 ， ，且 ，ABC A=60 AB=3 AC=2 BD=2DCAE=ACAB(R) ADAE=4则 的值为_.第页 7【答案】311【解析】 ,则ABAC=32cos600=3,AD=13AB+23AC.ADAE=(13AB
9、+23AC)(ACAB)=33+234139233=4=311【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的 已知模和夹角，选作基地AB,AC易于计算数量积.16. 对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是 的f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0) f(x) y=f(x) f(x) f(x)导数，若方程 =0 有实数解 ，则称点( ， )为函数 的“拐点”f(x) x0 x0f(x0) g(x)=x22ax+3=(xa)2+3a2经过探究发现：任何一个三
10、次函数都有“拐点” ；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数 ，则 _.【答案】 4912【解析】依题意得， ，令 ，得 ， 函数 的对称中心g(x)=6x26x,g“(x)=12x6 g“(x)=0 x=12 g(12)=12, g(x)为 ，则 ，(12,12) g(1x)+g(x)=1， 1100+99100=2100+98100=.=49100+51100=1 g(1100)+g(99100)=g(2100)+g(98100)=.=g(49100)+g(51100)=1g(1100)+g(2100)+.+g(90100),故答案为 .=49+12=4912 4912
11、【方法点睛】本题主要考查导数的应用、函数的对称性数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将求和问题转化为函数的对称问题解答是解题的关键.三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）第页 817. 在等差数列 中， ， .an a2+a
12、7=23a3+a8=29（1）求数列 的通项公式； an（2）设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求 的前 项和 .an+bn 1 q bn n Sn【答案】(1) an=3n+2.(2) 时， ，当 时，q=1 Sn=n(3n1)2 +n=n(3n+1)2 q1 Sn=n(3n1)2 +1qn1q.【解析】试题分析：(1)设等差数列 的公差是 ，由已知求出首项与公差，即可求出数列 的通项公式；an d an(2)由数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，结合(1)的结果，求出 的通项公式，再利用等差数an+bn 1 q bn列与等比数列的前 项和公式求解即可.试题解析：设等差数列 的公差是
13、 an d由已知 (a3+a8)(a2+a7)=2d=6d=3 ，得 ，a2+a7=2a1+7d=23 a1=1数列 的通项公式为an an=3n+2由数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，an+bn 1 q an+bn=qn1bn=qn1an=3n2+qn1当 时， ，当 时， .q=1 Sn=n(3n1)2 +n=3n2+n2 q1 Sn=n(3n1)2 +1qn1q考点：等差等比数列.18. 某辆汽车以 x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求 60x120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为 ，其中 k 为常数，若汽车以 120km/h 的速度行驶时，每1
14、5(xk+4500x)L小时的油耗为 11.5L.（1）求 k 的值；第页 9（2）求该汽车每小时油耗的最小值【答案】(1) k100;(2) 每小时油耗的最小值为 .ymin=7【解析】试题分析：（1）将 代入每小时的油耗 11.5，解方程可得 ；x=120 k=100（2） ）该汽车每小时的油耗为 y (60x120),利用导数研究函数的单调性，即可得到该15(x+4500x -100)汽车每小时油耗的最小值.试题解析：（1）由题意，当 x120 时， 11.5，15(x-k+4500x) k100. （2）该汽车每小时的油耗为 y L，则y (60x120)15(x+4500x -100
15、)求导知，函数在区间 上单调递增60,120 当 x=60时 y取 得 最 小 值 ymin=7答： 升当 x=60时 y取 得 最 小 值 ymin=719. 已知 ，f(x)=2cosxsin(x+6)+ 3sinxcosxsin2x（1）求函数 的单调递增区间；y=f(x)（2）设 的内角 满足 ，而 ，求证： .ABC A f(A)=2 ABAC= 3 BC 31【答案】(1) 单调递增区间为 ;(2)见解析.k3,k+6(kZ)【解析】试题分析：（1）利用两角和与差正弦余弦公式、倍角公式及辅助角公式可得 ，f(x)=2sin(2x+6)再利用三角函数的单调性，解不等式即可得函数 的单
16、调递增区间；（2）由y=f(x)得 ，由平面向量数量积公式可得 ，再利用余弦定理以及基本不等式f(A)=2sin(2A+6)=2,00,0 x+2+2kx+32+2k(kZ)求得增区间；若 ,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用2+2kx+2+2k A0,4求出 在区间 的最小值，从而可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性可得 ，只需存在g(x) 1,2 f(x1)-12，使得 ，从而可得 在 时有解，求出 的最小值，即可得结果.x21,2 g(x2)-12 bx+92x x21,2 x+92x试题解析：（1）当 时，b21,即 b2 g(x)min=g(1)=5-b当 时，12,即 b
17、4 g(x)min=g(2)=8-2bg(b)= 5-b,b24-b24,24 （2）函数 的定义域为 ，f(x) (0,+)f(x)=1x-14- 34x2=-(x-3)(x-1)4x2令 ，则f(x)0 13可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增， f(x) (0,1) (1,2)所以对任意的 ，有x1(0,2)， f(x1)f(1)=ln1-14+1-14-1=-12由条件知存在 ，使 ，x21,2 f(x1)g(x2)所以 g(x2)-12即存在 ，使得 x21,2 g(x2)-12分离参数即得到 在 时有解，bx+92x x1,2由于 （ ）为减函数，故其最小值为 ， t=x+92
18、xx1,2 174从而 b174所以实数 的取值范围是b 174,+)21. 己知函数 ， f(x)=x2exh(x)=x1x（I）求函数 上零点的个数； (x)=f(x)h(x)在 (0，+)（II）设 ，若函数 在 上是增函数求实数 的取值范围g(x)=12f(x)+h(x)12|f(x)h(x)|cx2 g(x) (0,+) c【答案】(1) 函数 在 上零点的个数为 1;(2) 实数 的取值范围是 .(x)=f(x)h(x) (0,+) c (, 12e3【解析】试题分析：（1）先求得 ，(x)=x(2-x)ex -1-1x2第页 12时， 恒成立，可证明 时， ，可得 在 上单调递减
19、，根据零点定理可x2 (x)x0, 别分离参数求最值即可求得实数 的取值范围.c试题解析：（）函数 ,(x)=f(x)-h(x) =x2ex-(x-1x)求导，得 ，(x)=x(2-x)ex -1-1x2当 时， 恒成立，x2 (x)0(2)=4e2-320 g(x)=12f(x)+h(x)-12|f(x)-h(x)|-cx2x-1x-cx2,0x0, 求导，得g(x)=1+1x2-2cx, 0x0. 由于函数 在 上是增函数， 故 在 ， 上恒成立. g(x) (0,+) g(x)0 (0,x0 (x0, +)当 时， 0 在 上恒成立，x(x0, +)x(2-x)ex -2cx (x0,
20、+)即 在 上恒成立，2c2-xex (x0, +)记 ， ，则 ，u(x)=2-xex xx0 u(x)=x-3ex所以， 在 上单调递减， 在 上单调递增， u(x) (x0, 3) (3, +) min= 极小值 = ，u(x) u(x) u(3) =-1e3第页 13故“ 在 上恒成立”，只需 ，即 2c2-xex (x0, +) 2cu(x)min=-1e3 c- 12e3当 时， ，x(0,x0 g(x)=1+1x2-2cx当 时， 在 上恒成立，c0 g(x)0 x(0,x0综合知，当 时，函数 在 上是增函数c-12e3 g(x) (0,+)故实数 的取值范围是 c (-, -
21、12e322. 将圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.x2+y2=1（）写出 C 的参数方程；（）设直线 与 C 的交点为 ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l:2x+y2=0 P1,P2过线段 的中点且与垂直的直线的极坐标方程.P1,P2【答案】(1) （t 为参）;(2) .=34sin2cos【解析】试题分析：（1）根据变换得 ，再利用三角换元得 （2）先求出直角坐标x2+4y2=4方程：由直线方程与椭圆方程解得交点坐标 P1（2，0） ，P 2（0，1） ，得中点坐标 ，利用点斜式得直线(1,12)方程 ，最后根据 得极坐标方程4x2
22、y=3 x=cos,y=sin试题解析：（I）设（x1，y1 ）为圆上的点，在已知变换下变为 C 上点（x，y） ，依题意得：圆 的参数方程为 （t 为参数）x2+y2=4所以 C 的参数方程为 （t 为参数） x=2costy=sint （II）由 解得 或x24+y2=1x+2y2=0 x=2y=0 x=0y=1. 所以 P1（2，0） ，P 2（0，1） ，则线段 P1P2 的中点坐标为 ，所求直线的斜率 k ，于是所求直线方程为(1,12) 2，并整理得y12=2(x1) 4x2y=3化为极坐标方程， ，即 .4cos2sin=3 =34cos2sin第页 14考点：椭圆参数方程，极坐
23、标与之间坐标互化23. 已知函数 ，且 的解集为 f(x)=m|x2|,mR f(x+2)0 1,1（）求 的值；m（）若 ，且 ，求证： a,b,cR+1a+12b+13c=m a+2b+3c9【答案】(1) ;(2)见解析 .m=1【解析】试题分析：(1)由 的解析式得到 解析式 ,解不等式求出 的范围,对比已知解集,得出 的f(x) f(x+2) x m值；(2)由基本不等式得到证明.试题解析：（1）因为 ，所以 等价于 ，f(x)=m|x2| f(x+2)0 |x|m由 有解，得 ，且其解集为 ，又 的解集为 ，故 |x|m m0 x|mxm f(x+2)0 1,1 m=1（2）由（1）知 ， ， ， ，1a+12b+13c=1 a b cR+由基本不等式得：a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a+12b+13c) 3+2+2+2=9考点：1.绝对值不等式的解法；2.基本不等式的应用.
