1、页 1 第2018 届内蒙古赤峰市第二中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知 ，为虚数单位， ，则 （ ）A. 9 B. -9 C. 24 D. -34【答案】A【解析】因为 ，所以 ，根据复数相等的定义知， ，解得 ， ，所以 ，故选 A.2. 若集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，则故选 B.3. 下列选项中，说法正确的是( )A. 命题“ ”的否定是“ ”B. 命题“ 为真”是命题“ 为真”的充分不必要条件C. 命题“若
2、 ,则 ”是假命题D. 命题“在 中，若 ，则 ”的逆否命题为真命题【答案】C【解析】A 命题“ ”的否定是 故选项错误。B 命题“ 为真 ”是命题“ 为真” 的必要不充分条件，故选项错误。C 命题“ 若 ，当 m=0 时，a,b 的关系是任意的。故是假命题。选项正确。D 命题“在 中，若 ，则 ”的逆否命题为，若 则 .故选项错误。故答案为 C.4. 正项数列a n成等比数列，a 1+a2=3，a 3+a4=12,则 a4+a5的值是（ ）A. -24 B. 21 C. 48 D. 24页 2 第【答案】D【解析】正项数列a n成等比数列， ,所以 .故选 D.5. 九章算术是我国古代的数学
3、巨著，内容极为丰富，其中卷六均输里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”意思是：“5 人分取 5 钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前 2 人所得钱数之和与后 3 人所得钱数之和相等.” （“钱”是古代的一种重量单位） ，则其中第二人分得的钱数是（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a2d，ad，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a2d+ad=a+a+d+a+2d，即 a=6d，又 a2d+a d+a+a+d+a+2d=5a=5，a=1，d= = ，则 ad=1（ ）=故乙得 钱故选：C点睛：这是一个数学文
4、化的题目，读懂题意，和数学知识联系起来即可，这是一个和等差数列相关的题目，依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a2d，ad，a，a+d，a+2d，由题意求得 a=6d，结合a2d+a d+a+a+d+a+2d=5a=5 求得 a=1，则答案可求6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）页 3 第A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为正方形其面积为 ，由正视图可知该四棱锥的高为 1， 该几何体的体积为 ，故选 D考点：本题考查了三视图的运用点评：解决三视图问题的关键是还原空间几何体，然后再利用相关公式求解即可7. 已
5、知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x 2+2x，若 f（2a 2）f（a） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A. （ ，1）（2，+） B. （2，1）C. （1，2） D. （，2）（1，+）【答案】B【解析】试题分析：由题意可先判断出 f（x）=x 2+2x=（x+1） 21 在（0，+）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（，0 ）上单调递增，从而可比较 2a2 与 a 的大小，解不等式可求 a的范围解： f（x）=x 2+2x=（x+1） 21 在（0，+）上单调递增又 f（x）是定义在 R 上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知
6、，f（x）在（，0）上单调递增f（x）在 R 上单调递增f（2a 2）f （a）2a2a解不等式可得，2 a1故选 B考点：奇偶性与单调性的综合8. 如图所示，程序框图的功能是页 4 第A. 求 前 10 项和 B. 求 前 10 项和C. 求 前 11 项和 D. 求 前 11 项和【答案】D【解析】依题意得，第一次运行，S ，n4 ，k 2 ；第二次运行，S ，n6，k3；第九次运行，S ，n 20 ，k 10；第十次运行，S ，n22 ，k11，此时结束循环，故程序框图的功能是求数列 的前 10 项和9. 如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量与
7、中位数分别为（ ）A. 13，12 B. 12，12C. 11，11 D. 12，11【答案】B【解析】平均重量为中位数为 ，选 B.页 5 第点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为 1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.平均数等于组中值与对应概率乘积的和10. 在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 BC 边上的高为 a，则 的最大值是( )A. 8 B. 6 C. 3 D. 4【答案】D【解析】 ，这个形式很容易联想到余弦定理：
8、cosA ，而条件中的“高”容易联想到面积， bcsinA，即 a22 bcsinA，将代入得：b 2c 22bc (cosA sinA)， 2(cosA sinA)4sin(A )，当 A 时取得最大 值 4，故 选 D点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11. 已知双曲
9、线 C： - =1（a0，b0）的右焦点 F 和 A（0，b）的连线与 C 的一条渐近线相交于点P，且 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）A. 3 B. C. 4 D. 2【答案】D【解析】由题意知，右焦点为 。设点 P 的坐标为 ，则 ， ,解得 ，故点 P 的坐标为 ，又点 P 在渐近线 上， ，即 。页 6 第 。选 D。12. 已知函数 （其中为自然对数底数）在 取得极大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 所以可得 。当 由 可得 在 上递增， 得 在 上递减，所以 在 取得极小值，无极大值，不符合题意；当 令 得 或 ，只有当 时，由 可得 在 ，
10、上递增， 得 在 上递减，在 取得极大值，所以函数 （其中为自然对数底数）在 取得极大值，则的取值范围是 ,故选 D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、分类讨论思想、.属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13. 设 是递增等差数列，前三项的和为 ，前三项的积
11、为 ，则它的首项是_【答案】2【解析】设等差数列的 公差为 前三项的积为 48 即 解得 数列 是单调递增的等差数列， 故答案为 214. 已知 ,则 _.页 7 第【答案】-1【解析】 ,即 ，故答案为 .15. 已知函数 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数满足 ，则实数的取值范围为_【答案】【解析】因为函数 是定义在 R 上的偶函数, 所以= ，又在区间 上单调递增，故 ，解得 、16. 设函数 对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】已知 为增函数且 ，若 ，由复合函数的单调性可知 和 均为增函数，故不合题意；当 时， ，可得 ，可得 ， 在 上的最
12、小值为 ， ，即 ，解得： 或 （舍） ，故实数 的取值范围是 点睛：由不等式恒成立求参数的解题思路页 8 第一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离这两个思路的依据是：af(x) af(x)max，af(x)af(x)min. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .（1）求角 的大小；（2）若边长 ，求 的面积的最大值.【答案】1）A= ；（2） .【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到 ，又 ，从而求出角 ；（2）由
13、余弦定理得 ，利用基本不等式得 ，求出 最大值，进一步得到面积最大值。试题解析：（1） ，得 ，即，得 ，（2） ，即 ， ，即 （当 时等号成立） ，点睛：解三角形是高考中的基本题型，学生需完全掌握，不失分。第一小题考察正余弦定理的基本应用，中间还考察了三角形中的三角函数转换 ；第二小题考察最值问题，本题采用余弦定理结合基本不等式来解决问题，也可采用正弦定理结合三角函数性质来解决最值问题。18. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来” ，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200人进行抽样
14、分析，得到表格：（单位：人）经常使用 偶尔或不用 合计页 9 第30 岁及以下 70 30 10030 岁以上 60 40 100合计 130 70 200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的 30 岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人.（i）分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这 5 人中，再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率.参考公式： ，其中 .参考数据：0.15 0.10 0.05 0.025 0.0102.072 2
15、.706 3.841 5.024 6.635【答案】(1)能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关；(2)(i)经常使用共享单车的有 3 人，偶尔或不用共享单车的有 2 人.(ii) 【解析】试题分析：(1)由列联表可得 ，所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关.(2)（i）依题意可知，经常使用共享单车的有 （人） ，偶尔或不用共享单车的有（人）.（ii）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的 2 人中至少有1 人经常使用共享单车的概率 .试题解析：（1）由列联表可知，页 10 第.因为
16、，所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的 5 名 30 岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人） ，偶尔或不用共享单车的有 （人）.（ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为， ，；偶尔或不用共享单车的 2 人分别为 ，.则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10 种.其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为 共 1 种，故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 .19. 如图，四棱锥 中，底面四边形 是直角梯形， ， 是边长为 2 的等边三
17、角形， 是 的中点， 是棱 的中点， （1）求证：平面 平面 ；（2）求三棱锥 的体积【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由 ，可得 ，由勾股定理可知 ，从而可得平面 ，进而根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）连接 ，先证明 平面 ，再根据等积变换可得 ，从而可得结果.试题解析：（1）页 11 第底面四边形 是直角梯形， 是 的中点， ，四边形 为平行四边形， ， ， ，又 是 的中点，故 ，又 ， ，由勾股定理可知 ，又 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ； （2）解：连接 ， ， 是 的中点， ，平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，又 是棱 的中点，故 ，而 ，
18、 ， 20. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为 5.（1）求该抛物线 的方程；（2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，判断直线 是否过定点？页 12 第并说明理由.【答案】 （1） .（2）【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于 p 的等式求 p,则抛物线方程可求;(2)由(1)求出 M 的坐标,设出直线 DE 的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于 y 的一元二次方程后 D,E 两点纵坐标的和与积,利用 得到 t 与 m 的关系,进一步得到 DE 方程,由直线系方程可得直线 DE 所过定点.试题解析：（
19、1）由题意设抛物线方程为 ，其准线方程为 ， 到焦点的距离等于 到其准线的距离， ， .抛物线 的方程为 .（2）由（1）可得点 ，可得直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为： ，联立 ，得 ，则 .设 ，则 .即 ，得： ， ，即 或 ，代人式检验均满足 ，页 13 第直线 的方程为： 或 .直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物
20、线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化21. 已知函数 ， .（1）求函数 的单调区间；（2）若关于 的方程 有实数根，求实数的取值范围 .【答案】 （1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ;(2) .【解析】试题分析：（1）函数求导 ，从而得单调区间；（2）方程 有实数根，即函数 存在零点，分类讨论函数 的单调性，从而得有零点时参数的范围.试题解析：（1）依题意，得 ， .令 ，即 .解得 ；令 ，即 .解得 .故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（2）由题得， .依题意，方程 有实数根，即函数 存在零点 .又 .页 14 第令 ，得 .当 时， .即函数 在区间
21、 上单调递减，而 ， .所以函数 存在零点；当 时， ， 随 的变化情况如下表：所以 为函数 的极小值，也是最小值 .当 ，即 时，函数 没有零点；当 ，即 时，注意到 ，所以函数 存在零点.综上所述，当 时，方程 有实数根.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修 4-4:坐标
22、系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线过点 ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 (1)写出直线的参数方程和曲线 的直角坐标方程；页 15 第(2)设直线与曲线 交于 两点，证明 : 【答案】 （1）直线的参数方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 .（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用直线参数方程的定义可得直线的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程可化为 ，两边同时乘以 ，利用 可得结果.试题解析：（1）直线的参数方程为 （为参数） ，曲线 的直角坐标方程为 .（2）设直线与曲线 交于 两点所对应的参数为 ，则 ，即 ，而23. 选修 45：不等式选讲设， ，均为正数，且 ，证明：(1) ； (2) 【答案】见解析【解析】试题分析： 利用已知可得即 ,可用基本不等式替换平方项，整理后即得所需不等式。将不等式与 两端对应相加，再次利用基本不等式即得所需证明的不等式。证明：(1)由 a2b 22ab，b2c 22bc，c2a 22ca得 a2b 2c 2abbc ca.由题设得(abc) 21，即 a2b 2c 22ab2bc 2ca1，所以 3(abbcca)1 ，即 abbc ca .(2)因为故 (abc )2(abc)，即 abc.页 16 第所以 1.
